无穷级数习题及答案

第十一章 无穷级数

(A)

用定义判断下列级数的敛散性

1．

(

)

∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞

=+12221n n n ；3．∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1513

1

n n n ρ。

判断下列正项级数的敛散性

4．∑∞

=1100!n n

n ；5．∑∞=1n n e e n ；6．∑∞

=+1

21

n n n ；7．()∑∞=++1332n n n n ；8．∑∞=14!n n n ； 9．n

n n n ∑∞

=⎪⎭⎫

⎝⎛+113；10．()∑∞

=-+1

21n n

n

n 。 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛

11．()

∑∞

=---11

1

21n n n n ；12．()

∑∞

=-2

ln 1

1n n

n

；13． +-+-0001.1001.101.11.1； 14．

++-+++-1

4413312221222； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间

15．∑

∞

=13n n

n

x n ；16．()∑∞

=-11n n n n

n x ；17．∑∞=1!n n

x n ；18．()∑∞

=-1121n n n x n ；

19．∑

∞

=+-11

21

2

1

n n n x

；20．∑∞

=123

n n

n x n ；

求下列级数的和函数

21．∑∞

=-11

n n nx

；22．121

1

2

1+∞

=+∑

n n n x ； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数

23．2

x

x e e shx -=，00=x ；24．x 2cos ，00=x ；

25．()()x x ++1ln 1，00=x ；26．

x

1

，30=x ； 将下列函数在区间[]ππ,-上展开为付里叶级数

27．()2

cos x

x A =，()ππ≤≤-x 。28．()t x f 2-=，()ππ≤≤-x

29．将函数()⎩

⎨⎧≤≤≤≤-=30,0

3,2t x t x x x f 展开成付里叶级数。

30．将函数()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l

x l x l l x x x f 2,2

0,分别展开成正弦级数和余弦级数。

(B)

用定义判断下列级数的敛散性

1．()()∑∞

=++043131n n n ；2．()()∑∞=++1

211

n n n n ；3．(

)

∑

∞

=++-+1222n n n n ；

判断下列正项级数的敛散性

4．∑∞

=1n !2n n n n ；5．∑∞+⎪

⎭⎫ ⎝

⎛-13

2132n n n n ；6．()∑∞

=++1

12n n

n

n n a n ，(0>a )； 7．∑∞=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1n n

n

a b

，其中a a n →(∞→n )，n a ，b ，a 均为正数； 8．∑∞

=+1111n n ，(0>a )；9．∑⎰∞

=+1

10421n n x x x ； 判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛

10．()

∑∞

=+-1

1

!212

n n n n ；11．()∑∞

=-+++-121111n n n n n ；12．()()()

∑∞=++-⎪

⎭⎫ ⎝⎛

+-1

1

232312ln 1n n n n n ；

求下列幂级数的收敛半径和收敛域

13．()()∑∞

=-1

2!21n n

n

n x ；14．∑∞

=+1n n

n n b a x ，(0>a ,0>b )； 15．()()∑∞

=++-11

254211n n n n n

x ；16．()()∑∞

=+-+1

123n n n

n x n ；

求下列级数的和函数

17．∑∞

=12n n

nx ；18．n

n x n n 21!12∑∞

=+；19．∑∞

=1

2n n x n ； 20．求证：∑

∞

=⋅=12

1

2ln n n

n ；

将下列函数展开成0x x -的幂的级数

21．()13212+-=

x x x f ，00=x ；22．()21

x x f =，10=x ；23．21x

x +，00=x ； 24．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项； 25．写出函数()()πk x x f 22

1

+=

，()()[]ππ12,12+-∈k k x ， ,2,1,0±±=k 的付里叶级数，并讨论收敛情况。

26．设()x f 是周期为π2的周期函数，它在[]ππ,-上的表达式为

()⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧≤≤<

≤--<<--=ππππππππ

x x x x x f 2,222,2,2，将()x f 展开成付里叶级数。 27．将函数()2x x f =，(l x ≤≤0)分别展开成正弦级数和余弦级数。

(C)

1．用定义判断下列级数的敛散性

()()()∑∞

=++-1

3212121

n n n n 2．设0>i a ，() ,2,1=i ，判断级数

()()

()()() ++++++++++n n a a a a a a a a a 11111121212

11的敛散性。

判断下列正项级数的敛散性

3．∑∞

=⋅1!3n n n n n ；4．∑∞=1212

ln n n

n n ；5．∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112

n n n ； 6．判断级数∑∞

=1

2sin 1n n n π

的敛散性。

求下列幂级数的收敛半径和收敛区间

7．(

)

∑

∞

=-+1221n n

n x

n n ；8．()∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+++-1

n 12111n n x n ；