我国股指期货定价模型

我国股指期货定价模型
作者：崔砚犁刘冰
来源：《合作经济与科技》2008年第05期
股指期货是一种以股票指数为标的物的金融衍生产品。

1982年2月24日美国堪萨斯期货交易所（KCBT）率先推出价值线综合指数期货合约，标志着股指期货的产生。

1982年4月芝加哥商品交易所（CME）推出了S&P500股票指数期货交易。

同年5月，纽约期货交易所（NYFE）推出了纽约证券交易所综合指数期货合约。

随后，日本、伦敦、香港、新加坡等地交易所也先后开始了股指期货交易。

目前，股指期货已成为交易最为活跃的金融期货品种之一。

股指期货在证券市场上发挥着价格发现、套期保值和对冲风险、优化资产配置、活跃股票现货市场等重要作用。

与股票交易相比，期货交易费用较低，交易成本大致为现货交易的十分之一。

此外，利用股指期货可以不必构造复杂的资产组合，就可以调整市场的头寸，对于养老金等大型资金特别适用。

目前，沪深300股指期货即将在我国资本市场推出，投资者在利用股指期货进行套期保值时，科学而合理地预期价格则成为投资能否成功的关键因素。

经典的股指期货定价模型（持有成本定价模型）对于股票市场的波动性，资本市场存在的摩擦以及交易数据的不频繁等方面考虑得并不全面，为了更加科学地对股指期货定价，本文介绍了Hemler和Longstaff于1991年给出的一般均衡股指期货定价模型。

该模型充分考虑了资本市场的波动以及利率的随机过程，尤其当实证数据包含了1987年10月美国股灾的数据后，一般均衡模型的模拟效果明显好于持有成本模型。

由于我国目前的股票市场存在交易成本相对过高和个别股票交易不够频繁等现象，本文在一般均衡定价模型的基础上，又介绍了Stoll和Whaley在1990年发表的一篇文章，该文章着重介绍了解决买卖差价和交易数据不频繁的方法。

在解决了这两个问题后，进行修正过的一般均衡定价模型明显可以更加科学、更加实际地模拟并预测股指期货价格的走势。

一、持有成本理论介绍
最著名的股指期货定价模型无疑就是持有成本定价模型了，该模型是Cornell和French于1983年基于一些理想市场假设推导出来的。

本节我们将介绍持有成本模型的具体形式以及在定价方面存在的缺陷。

（一）假设前提。

1、金融期货市场是完全的，即没有税收和交易成本，也没有对金融期货合约自由买卖的限制。

2、假定相关金融资产可以卖空，又可以储存。

3、市场是有效的，即卖空行为易于进行，相关金融资产有足够的供给，无明显的季节性调整、没有季节性消费等。

（二）持有成本理论模型的给出。

在满足以上的前提假设下，持有成本模型可以写为：
F（t，T）＝S（t）e（r-q）（T-t）
其中，F（t，T）是在时点t的期货价格，该期货到期时间为T；S（t）即期指数在时点t 的价格；q为恒定的年红利率，r为采用连续复利的无风险利率。

（三）持有成本理论模型的缺陷。

尽管理论上指数套利操作会使得股指期货实际价格回归其理论价格，但该模型的假设过多，违反现实情况和忽略市场环境因素，使得其在解释及预测股指期货价格走势时显得不够完美。

国外已有多位学者通过实证发现，股指期货实际价格与持有成本定价模型所估算出的理论价格之间存在显著差异。

Mackinlay和Ramaswamy在1988年指出，实际的股指期货价格与根据持有成本计算出的股指期货价格的差异来源于模型的序列相关。

Figlewski在1984年指出二者的差异来源于：1、股指期货市场不是有效的。

2、有些隐藏的套利成本或障碍是持有成本理论模型捕捉不到的。

Figlewski同时还指出，其他的一些成本也是需要关注的，如一些不可以忽视的交易成本，Uptick Rule规则缺少充足的资金和期货市场对于投资者的仓位限制等。

由于这些影响，明显的定价差异可能会产生并且会持续下去。

另外，Resnick和Hennigar在1983年指出，这种价格背离的情况与利率水平和标的证券所在市场的波动有关。

正是由于持有成本理论模型无法很好地模拟市场波动对于股指期货价格的影响，Hemler 和Longstaff给出了对于持有成本定价模型的修正——一般均衡股指期货定价模型。

本文的下一节将着重介绍该模型的理论形式及其特点。

二、股指期货价格的一般均衡模型
（一）模型的给出。

Hemler和Longstaff基于CIR于1985年纂写的一篇文章“An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices”给出了一般均衡股指期货定价模型：
其中，Fx代表股指期货价格，W代表股票指数价值，r代表无风险利率，V代表市场收益方差。

（二）模型的特征
1、模型的静态特征。

从方程（1）可以明显看到，股指期货价格F是股票指数水平的单调递增函数，同理，F又是红利率的减函数，这是由于W被红利率因子贴现。

股指期货价格F是无风险利率r的均匀递增函数，这一特点与持有成本模型是一致的，而且从直观上很好理解。

无风险利率r可以看成是为了获得期货价格而加在指数价值里的“持有成本”。

然而，在本文的后半段我们可以看到，关于无风险利率r对于股指期货价格敏感性的讨论，两个模型是不一致的。

期货价格对于收益方差偏倒的符号是无法确定的，从直观上理解，目前市场的波动不仅影响未来指数价格的分布，同样也影响未来无风险利率的走势。

因此，市场波动的变化对于股指期货价格的影响随着到期日的变化是非常复杂的。

同样，期货价格的符号也是无法确定的。

原因是不论是市场波动还是无风险利率都存在均值回归的特点，结果无风险利率r的增加对于期货价格的影响在一定程度上被未来股票指数的均值回归影响所减弱，且减弱的程度很难去衡量。

2、股指期货的动态特点。

Hemler和Longstaff对方程（1）应用伊藤引理，得到期货价格百分比变化的期望和方差：
（3）
从方程（2）可以看到，预期的期货价格百分比变化是随时间变化而变化的，这一特点对于股指期货的时间序列特性具有重要意义。

例如，我们可以看到，股指收益方差V的动态自回归性质造成了预期期货价格百分比变化的序列相关性，从而一般均衡模型可以利用序列相关的方法来分析连续的期货价格变化。

从方程（3）我们可以看到，期货价格百分比的方差与r和V的水平有关，这表明期货价格百分比的方差具有条件异方差性。

进一步，如果协方差项是非负的，那么期货价格百分比的方差就会大于指数收益的方差。

三、实证结果
（一）数据选取。

Hemler和Longstaff使用的数据来自于纽约期货交易所（NYFE），而在此之前，更多的实证研究使用的是来自芝加哥商品交易所（CME）的标准普尔500
（S&P500）的交易数据。

他们的解释是虽然标准普尔500具有较大的交易数据，但是有关月份或每日的红利率数据很难找到。

之前的一些实证研究均是引用“证券价格研究中心”
（CRSP）所收集的红利数据，然而CRSP的数据是与NYFE相对应的。

为了避免混用两个交易所的数据，两位作者在文章中选用了来自NYFE的数据。

指数价格和期货价格的数据均来自于The Wall Street Journal的报价，时间从1983年1月到1987年11月，观察点是每月的最后一个交易日。

期货价格取自近期合约。

为了衡量市场波动率V，无风险利率r和红利率，Hemler和Longstaff分别应用股票市场月份收益的方差、Treasury-bill贴现率的买卖报价的平均值和CRSP每月公布的对于纽约期货交易所组合的价值加权收益。

（表1）
从表1中我们可以看到，数据最明显的特点就是自相关性。

如同前面我们期望的那样，指数水平类似一阶自回归过程，且自回归参数接近于1。

无风险利率同样类似一阶自回归过程，且它的自回归系数消退的很慢。

较大的自回归系数表明，在即将讨论的回归分析中可能会产生残差自相关问题。

（二）回归方程的给出。

为了检验均衡股指期货模型，Hemler和Longstaff首先构造了一个红利调整的期货价格与即期价格的比率。

使用这样一种变量的意义在于将回归方程调整为线性回归方程，便于实证研究。

经过调整的回归方程如下：
L?子t＝?琢?子＋?茁?子rt+?酌?子Vt+?着t（4）
其中，最后一项残差项是相互独立的，且同分布于一个均值为0的正态分布，它的作用是衡量回归方程中自变量无法解释因变量的那部分。

而这部分衡量误差可能是因为买卖价差、非频繁交易数据或非同步价格数据等原因造成的。

这部分误差的衡量我们将在下一节进行具体的讨论。

（三）回归结果分析。

由于1987年10月的市场波动远远大于样本的其他月份，Hemler和Longstaff分别对包含该月数据和不包含该月数据作了两次回归。

从结果分析中得到，市场波动率V的系数在1987年数据被排除情况下是显著的，当包括1987年数据时，三个系数的估计均是显著的。

这说明，当市场的波动越加明显时，回归方程中V的地位越加重要。

四、对一般均衡模型的补充
在上一节，我们提到了一般均衡模型的一些不足之处，即没有考虑买卖差价和交易数据的不频繁。

由于市场上的个股交易并不是完全连续的，导致以最后一天交易价格计算出来的加权平均股票指数滞后于实际的股票市场发展，股指期货价格无法与市场上的新信息同步。

Fisher 在1966年详细描述了这一现象。

1988年Lo和Mackinlay模拟了在一定假设条件下，不频繁交易对于指数收益的影响，他们提出由于不频繁交易的存在，期货价格可能会引起相应的股票指数变动。

买卖差价对于模型也会产生一定的影响，由于指数的计算采用的是交易价格，而这些交易价格又是在买价和卖价之间随机游动。

这种在连续交易中的价格随机游动会导致价格之间负的序列相关，从而对一般均衡模型的回归方程产生影响。

Stoll和Whaley在1990年发表的一篇文章中介绍了解决买卖差价和交易数据不频繁的方法。

文章指出，对于一个交易十分频繁的市场，采用MA模型即可消除买卖差价问题，而对于一个交易不是十分频繁的市场，采用ARMA模型便可很好地解决买卖差价和交易不频繁的双重问题。

下面我们将简要地介绍该模型的推导过程以及实证分析。

（一）数据选取。

Stoll和Whaley选取了三组数据：a、S&P500指数期货合约完整的交易价格以及相应的股票指数价格，时间从1982年4月21日至1987年3月31日，共1，249天，86，952个五分钟分时数据。

b、主要市场指数（MMI）期货合约完整的交易价格以及相应的股票指数价格，时间从1984年7月23日至1987年3月31日，共678天，43，083个五分钟分时数据。

c、S&P500指数、主要市场指数（MMI）和IBM期货合约完整的交易价格以及相应的股票指数价格，时间从1984年7月23日至1986年12月31日，共609天，43，978个五分钟分时数据的资料。

选择a和b两组数据的目的是更加全面地比较期货价格和它的标的指数的价格。

而选择IBM股票的数据，是因为IBM股票是S&P 500和主要市场指数这两个市场里交易最为活跃的股票，在后面的实证研究中可以被用作只存在买卖价差的股票样本。

之所以选择高频数据（五分钟分时数据），是因为通过分时数据可以度量交易的频繁程度。

（二）模型的构造。

Stoll和Whaley首先修正了买卖差价对于股票价格或是股票收益的影响，然后在此基础上，考虑不频繁交易的影响。

在假设股票i在每一个取样区间内至少存在一次交易的条件下（即总是频繁交易），Stoll 和Whaley给出了关于股票组合S的收益模型：
在等式（5）的基础上，让我们来考虑不频繁交易对于股票价格收益的影响，假设所有股票在每n个取样点存在至少一次交易，则股票组合在时点t的收益可以表示为所有当时以及滞后的组合收益的加权平均数，Stoll和Whaley给出了最终的具体形式：
（6）
等式（6）表明，当同时考虑买卖差价和不频繁交易时，股票组合收益可以看成是一个无限的ARMA（p，q）过程。

（三）参数估计。

经过Stoll和Whaley反复检验发现，当股票交易十分频繁时（如IBM 股票），利用MA（3）过程进行修正是恰当的。

分析结果显示，IBM股票MA模型的系数均通过了显著性检验。

然而，当同时考虑买卖差价和交易不频繁双重因素时，从分析结果中可以看出，利用ARMA（2，3）去修正股票价格是恰当的。

五、结论
本文介绍了Hemler和Longstaff于1991年发表的一篇文章，该文章在经典股指期货定价模型（持有成本模型）的基础上，拓展出了“一般均衡股指期货定价模型”，该模型考虑了在连续时间经济背景下，随机无风险利率和市场波动对于期货定价的影响。

文章应用经红利率调整的期货价格与指数价格比率的自然对数对利率和市场波动做回归，发现市场波动对于股指期货的定价有着显著的影响。

由于我国的股票市场存在着交易成本高、交易不够频繁等特点，本文在最后一部分简要介绍了Stoll和Whaley于1990年发表的一篇文章，该文章证明了对于一个交易十分频繁的股票组合，利用MA（3）过程可以消除买卖差价对于股票指数走势的影响，若股票的交易不是十分频繁，利用ARMA（2，3）过程可以同时消除买卖差价和交易不频繁的双重影响。

结合这两篇文章，我们将会得到一个更加全面、更加科学、更加符合中国实际的股指期货定价模型。

因为当我们利用指数水平预测期货价格之前，我们应用ARMA模型消除买卖差价和不频繁交易对于指数水平的影响；在进行预测时，新引进的市场波动变量又可以将市场收益的任何一个异常波动充分地考虑进来。

当然，任何一个模型，无论考虑如何细致，都无法完全无误地模拟、预测真实的期货价格走势，但是经过上述两种对于持有成本模型的修正，相信模拟及预测的结果将更加接近真实的期货价格。

我国股票市场自成立至今，已有近18年的历史，市场规模不断扩大，截至2007年8月9日，沪深两市股票总市值达到创纪录的21.15万亿元，首次超过了2006年我国的国民生产总值（GDP），推出股指期货的条件已经成熟。

适时推出股指期货，是发展我国多层次资本市场体系的必然要求，也是完善市场机制、丰富市场交易工具的有效途径。

另外，对我国股指期货的定价必须理论与实践相结合，在实际操作中不断探索适合我国国情的股指期货定价机制，有效发挥股指期货的套期保值、价格发现等功能，从而达到有效降低整个经济体系统风险的目的，使资本市场乃至整个国民经济平稳、健康地发展。