椭球面上的基本计算

第七章椭球面上的基本计算

§1 地球椭球的基本知识

一、地球形状的概念

地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；

大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然

表面；

∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）

与该点处切面正交；

又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。

∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。

实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。

结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。

大地体——大地水准面包围的形体；

地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；

总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。应满足：

①其中心应与地球质心重合；

②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；

③体积应与大地体体积相等；

④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。

参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。

二、椭球的几何元素与参数

1.椭球的元素

长半径：a

短半径：b

2.椭球的参数

扁率： α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率： b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离

3.关系式

21e b a '-= 21e a b -=

)1(2e e e -'= )1(2e e e '-='

(1＋ e ′2

) (1－e 2)＝1

e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)

我国解放前使用海福特椭球等。解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS ）采用的是WGS-84椭球参数。这三个椭球的元素和参数参见P2表7-1。

练习及作业： 1.阅读

①《控制测量学》上册，§1.2 1.2.1、1.2.2 ②《控制测量学》下册，§7.1 2.思考

①如何理解大地水准面是测量外业的基准面？为什么不能作为测量计算的基准面？ ②如何旋转椭圆得到参考椭球？

§2 椭球上点的位置的确定

一、椭球上点的高程位置的确定

大地高H 大——地面点沿法线方向到参考椭球面的距离。

大地高可以由以下两种方法求得：

H 大＝H 正＋N

式中：H 正——B 点的正高高程

N ——大地水准面差距（见大地重力学中斯托克司公式）

H 大＝H 常＋ζ

式中：H 常——B 点的正常高高程

ζ——高程差异或高程异常（见重力测量学）

因正常高能精确求得，ζ亦能严密解算，故，此方法是严密的。

（注：①大地水准面与似大地水准面很接近，在高山区最大差异不

超过±4m ，在平均海水面上两面重合，即H 0正＝H 0

常；②B 点法线与重力线非常接近，其差异对高程的影响很小，讨论高程时可不予考虑）

二、椭球面上点的平面位置的确定 1.椭球面上的线和圈

子午圈——包含短轴的平面与椭球面的截线；亦称经圈，经线，子午线。

平行圈——垂直于短轴的平面与椭球面的交线；亦称纬圈、纬线。最大的平行圈，即过椭球中心垂直于短轴的平面与椭球面的交线，称为赤道。

法截面、法截线——包含某点法线的平面称为法截面，法截面与椭球面的交线称为法截线。

卯酉圈——与某点子午面正交的法截面在椭球上的截线。 2.椭球上的坐标系统和空间直角坐标系统 ①大地坐标系统（B 、L ）

大地经度L ——过P 点的子午面与起始子午面构成的两面角；由起始子午面起算，逆转向东为正（东经0～180°），顺转向西为负（西经0～180°）；

大地纬度B ——过P 点的法线与赤道平面的夹角；由赤道平面起算，向北为正（北纬0～90°），向南为负（南纬0～90°）。

②子午面直角坐标系统（L ，x ，y ） L ——大地经度；

x ，y ——子午面内的平面直角坐标系统；子午面与赤道平面的交线为x 轴，椭球短轴为y 轴。

③空间直角坐标系统（X ，Y ，Z ） o ——参考椭球的中心

X ——起始子午面与赤道面的交线 Y ——在赤道面内，垂直X （右手系） Z ——与椭球短半径重合 3.坐标系统间的关系

①大地坐标系与子午面直角坐标系的关系

点在两坐标中大地经度L 相同，推导大地纬度B 与直角坐标x ，y 的关系如下： 因曲线在P 点处的一阶导数x y

d d 就是P 点处曲线切线的斜

率，即：

B B x

y

cot )90tan(d d -=+= 又，对子午椭圆方程式12222=+b

y a x 微分，有： 0d d 2222=+x

y b y a x 即： y

x a b x y ⋅-=22

d d

因21e a b -=，故：

y

x

e x y )1(d d 2--= 即： y

x e B )

1(cot 2--=- 也即： y ＝x tan B (1－e 2) (1) 将（1）式代入椭圆方程，得：

1)1(tan 22

22222=-+b

e B x a x (2) 由（1），（2）两式可得：

B W

a

B

e B a x cos sin 1cos 22=

-=

﹡ B e W

a

B

e B e a y sin )1(sin 1sin )1(2222-=

--=

②大地坐标系与空间直角坐标系的关系

空间M 点的大地坐标为L ，B ，H ；其空间直角坐标为X ，Y ，Z 。 首先推导空间直角坐标系与子午面直角坐标系关系如下：

X m ＝x m cos L

Y m ＝x m sin L （1） Z m ＝y m

又，从右图可知：

x m ＝x p ＋H cos B ＝(a /W )cos B ＋H cos B （2）

y m ＝y p ＋H sin B ＝(a /W )(1－e 2

)sin B ＋H sin B

将（2）代入（1）得：

X m ＝x m cos L ＝(N ＋H )cos B cos L

Y m ＝x m sin L ＝(N ＋H )cos B sin L

(3)

Z m ＝y m ＝(N －Ne 2

＋H )sin B

式中：N ＝a /W