泰勒公式的“问题教学法”初探

很多， 要想从众多 的曲线 中找到两条很逼 近的 ， 那 么应有 他们
在ｚ 。 的领域上 的弯 曲程度相 同 ， 于是 （ ｚ 。 ） 一 （ Ｘ ｏ ） 。由以
上三是我们 猜 想 ，（ ｚ） 与Ｐ （ ｚ ）的关 系 ： ｆ（ ｘ ｏ ） 一Ｐ （ ｚ ｏ ） ，
在泰勒公式的教学 中 ， 我们 通过 分析 教 材 ， 了解 学生 ， 针 对学 生可能存在的疑惑 ， 提出了如下的问题 。 问题 （ １ ） ： 如何计算 函数 ， （ ） 在点 ｚ的近似值？ 由微分学 的知识 学 生很 快想 到 了微分 的近 似计 算 公 式
厂（ Ｘ ｏ ） 一 （ ｚ ０ ） ， 厂（ ０ ） 一 （ Ｘ Ｏ ） …， （ ｚ ０ ） 一Ｐ （ ｘ ｏ ） 。
根 据函数及其导数的关系推得 ： ｎ ｏ —ｆ （ ｘ 。 ） ， ｍ一 （ ｏ ） ， ａ ｚ 一
鲁 … 。 一
＋ （ ｚ— ｚ 。 ）
。 由 此 我 们 得 到 函 数 ：
ｒ 一 、
ｆ （ ｘ ） ￣ｆ （ ｘ ｏ ） ＋厂（ ｏ ） （ 一动） （ １ △ 『 ４０ ） 。并且由此推得常
用 的近似公式 ： ｓ ｉ ｎ ｘ ￣ｘ， ｌ ｎ （ １ ＋ ） ≈ｚ ， 矿≈１ ＋ ，（ １ ＋ｚ ） ｛≈ １
ｌ
Ｐ （ ｚ ） ＝ｆ （ ｘ ｏ ） ＋厂（ ｚ ｏ ） （ Ｘ －Ｘ ｏ ） ＋
泰勒公式是高 等数学 的一个 重要 内容 ， 它不 仅可 用 于解
决求 函数极 限、 近似 计算 、 级数 敛散 性 的判 断 等数 学 问题 ， 而
且也是理工科学 生应用 专业 知识解 决实 际 问题 的有利 工具 。
为多项式 函数只ห้องสมุดไป่ตู้ 及变 量 的加减法 、 乘 法和数 乘是 最简 单 的
优点是通 过公 式把较复杂的 函数 转换成 只含 有 四则 运算
的多项式 函数 ， 方 便计 算 函数在某 点 的值 。这 点学 生从 上 面 几个 近似公式 很明显能感觉到 。此外 通过对微分 这节 知识 的
学习， 学生也知道用这个公式计算 ， 所产生 的误差是 ｏ （ △ ）。 但是这个误差具体 值不清楚 ， 并且此误差 的精确 度不高 。 于是我们 继续 提出问题
康育慧
摘
张喜红
山西 ０ ４ ６ ０ ０ ０ ）
（ 长 治 医学 院数学 教研 室
要 ： 泰勒公式是 高等数学 的一个 重要 内容 ， 以问题 为线索讲授泰勒公式加深 了学生对公式的理解和掌握 。
关键词 ： 高等数学； 问题教学法 ； 泰勒公 式
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／Ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｌ Ｌ １ ０ ０ ４ － ４ ３ ３ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． ０ ５ １
函数 。于是就有一 函数
Ｐ （ ｚ） ＝ｎ ０ ＋ １ （ —ｚ ０ ） ＋ａ ２ （ ｚ一 勘 ） ＋ … － ４ － ａ （ — ｚｏ ） ，
因此泰勒公式 的教学非常重要 。通 常的教学 过程都是 以泰 勒 公式 的给 出、 证明、 及常见 函数 的泰勒公式 为线索 ， 然而， 这 样 的教法对于刚 刚踏人 大学 ， 还不 能适应 大学 数学 思维 方式 的 学生会感到很突然 、 抽象 、 难 以接 受 。为 了上好 泰勒公 式这 个 内容 ， 我们从 学 生对 公式 的困惑 开 始 ， 分 析教 学 中存 在 的 不
（ ｘ －ｘ ０ ） ＋…
咒 山
。
问题 （ ２ ） ： 上述 微分近似计算公式 的优点 和不足之 处是什
么？
一
问题（ ５ ） ： 用Ｐ （ ｚ ）近似代替 ，（ ） 误差等于什么？
事实上 ， 由于 ，（ ｚ ）与 Ｐ （ ｚ） 在ｚ ｏ 处的零 阶 ， 一阶， 二 阶， 直到 阶的导数值相 等 ， 当 ｚ一勘趋 于零 时， 那误 差就不 应 超过 （ — 。 ） 。事实上 ， １ ７ ￣１ ８世纪英 国数 学家泰勒 （ ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ ） 就 发现了规律 ， 由此 引出泰 勒 中值定 理及证 明 （ 略）。泰 勒公
其中ａ （ 一１ ， ２ ， ３ …）待定 。
问题 （ ４ ） ： ａ ｆ 一？（ 一１ ， ２ ， ３ …）
从几何学观点看 ， 一＿ 厂 （ ｚ ） ， —Ｐ （ ｚ ）分 别表 示 两条 曲 线， 要使两者在 点 。 的误 差足够 小 ， 首先 ， 应满 足两 条 曲线 在
（ Ｘ ｏ ， ｆ （ ｘ ｏ ） ） 相交 ， 于是有 ｆ （ Ｘ ｏ ） 一 （ ｘ ｏ ）。其 次 ， 要想 两条
足， 以问题教学法来讲 授泰勒公式 。
“ 问题教学 法” 是教师通过备课 将教材 的知识点设 计成 各
种问题 ， 学生通 过阅读 教材 、 收 集资料 、 分 组讨 论等 形式 来 深
数理 医药学杂志
文章 编 号 ： １ Ｏ Ｏ ４ — ４ ３ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ ２ 一 Ｏ ２ ４ ９ — ０ ２ 中 图 分 类 号 ：Ｏ １ ３ 文 献 标 识 码 ：Ｂ
２ ０ １ ３ 年第 ２ ６卷第 ２期
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教 学研 究 ・
泰勒公式的“ 问题教学法 ＂ 初 探△
刻理 解 、 掌握知识 ， 从 而激 发学 生的学 习兴 趣 ， 提高 解决 问题 能力 的一种教学法 。
２ 教学设计
曲线靠的很近又必须在点 （ Ｘ ｏ ， ｆ（ Ｘ ｏ ） ）处有 相 同的切 线 ， 所 以
。
） 一 （ ｚ 。 ）。再其 次 ， 我们 知道满 足这两 个条 件 的曲线
问题 （ ３ ） ： 是否存 在一 种既容 易计算 ， 又能 弥补 上述 公式
１ 引 言
不足 的近似计算公式 ？ 问题可 以理解 为是否存 在一 个 函数 ， 用这个 函数来 逼近
已知 函数 ， （ ） 不 仅计 算方便 ， 而且逼 近度 高 ， 同时 又能 估算 出误差 。学生通过 回忆所 学 函数很容 易想 到多项 式 函数 ， 因