用动量守恒定律分析火箭的飞行速度

用动量守恒定律分析火箭的飞行速度吕增建

() 焦作大学

摘要通过火箭飞行速度的讨论和分析 , 阐明了相对速度的同时性 , 消除了应用动量守恒

定律的误区。

关键词动量守恒相对速度的同时性飞行速度

1 动量及动量守恒定律

动量守恒定律是自然界的普遍守恒定律之一 , 在高速和微观领域里 , 牛顿定律不再适用 , 而动量概念仍然有用 , 动量守恒定律仍然成立 , 只是质点动量的表达式与经典力学中的表达式不同。

p = m v 在经曲力学中 2 2p = m v / 1 - v / c 在相对论力学中

n λ对于微观粒子 p = h/

在新近的一些物理书中 , 往往从实验出发总结出动量守恒定律 , 就在于强调它的独立性和普遍

性 , 本文只限于讨论经典力学问题。

() 从本质上讲 , 一个系统当然也可以是一个物体的系统的动量守恒 , 可表述为 : p = 恒矢量 ,

Δ或表述为 p = 0 , 至于在不同情况下动量守恒的表述则是多种多样的。如由两个质量分别为 m 、 1 m 的物体组成的系统 , 在系统所受合外力为零的条件下 , 系统的总动量守恒 , 即 m 、m 之间有相 2 1 2 互作用 , 甚至发生碰撞 , 一个物体分裂为两个物体 , 或是两个物体结合为一个物体等等 , 系统的总动量守恒 , 可视具体情况而分别写出

m v + m v = m v ′+ m v ′ 1 1 2 21 1 2 2

m v + m v = m v′+ m v′ 1 1 2 21 1 2 2

( ) m + m v = m v′+ m v′ 1 2 11 1 2 2

( ) m v = m + m v 1 1 1 2

力。根据这一假设 , 火箭体和喷出的气体组成系统 , 在喷气过程中系统总动量守恒。

设在 t 时刻火箭质量为 m , 速度为 v , 在 d t 时间内由尾部向后喷出质量为 - d m 的燃烧气体

) (这里火箭质量的增量 d m 为负值, 相对火箭的喷气速度为 u , 试求火箭在 t + d t 时刻的速度表达

() 式及火箭一级的收尾速度。

p= m v t 时刻 , 喷气前火箭系统的总动量为 1

( ) ) ( m + d m v + d v t + d t 时刻 , 喷气前后火箭体的动量为

( )) ( t + d t 时刻 , 所喷出的气体的动量为- d m u + v + d v

( ) 其中 u + v + d v 为所喷出的气体相对地面的速度。当喷出气体相对火箭的速度为 u 时 , 火箭体的

速度已改变为 v + d v , 而不是 v , u 和 v + d v 是同时刻的。当喷出气体以后 , 火箭箭体的速度只能是

v + d v 。

( ) ( ) ( ) = m + d m v + d v + - d m u + v + d v ] t + d t 时刻 , 喷气后火箭体系的总动量为 p 2

根据动量守恒定律 , 可以写出沿火箭前进方向的投影式

( ) ( ) + - d m - u + v + d v = m v ( )) ( m + d m v + d v

d v = - u ?d m / m 展开整理后得 m d v + u d m = 0

故可写出 t + d t 时刻火箭体的速度为 v + d v = - u ?d m / m + v , 由于 d m < 0 , 自然有 v + d v >

v , 即火箭体因喷出气体而加速。

进一步求火箭喷完气体后的速度 , 即收尾速度。设火箭刚起飞时质量为 m , 速度为零 , 火箭关 0

机时刻火箭的质量为 m , 火箭最终得到的速度为 v , 对上述方程积分 , 则有

v m

d v= - ud m /m ? ? o m 0

( )( )火箭的末速 uln m / m = uln m / m v = - 0 0

此式即为火箭的理想速度公式 , 也称齐奥尔科斯基公式。

在有的书中是这样写的 :

t 时刻 , 喷气前火箭系统的总动量是 p= m v 1

t + d t 时刻 , 喷气后火箭体系的总动量是 ( ) ( ) ( )) ( p= m + d m v + d v + - d m - u + v 2

但在展开 p= p时忽略二阶小量 d m ?d v 后得到相同的结果 , 这后一种处理方法是不严格的。 1 2

总之 , 动量守恒定律是自然界中最为普通的守恒定律之一 , 它有着十分广泛的应用。在用动量守恒定律分析解决问题时 , 正确理解相对速度的同时性是处理好问题的关键。针对一个物理过程的两个不同时刻 , 相对于同一惯性系 , 分别写出两个不同时刻系统各物体的动量及其总和 , 或者各物体的动量在某一方向上的分量及其总和 , 运用守恒定律建立方程 , 方可求得问题的正确解答。参考文献

() 李椿 , 夏学江 . 大学物理理论核心部分. 北京 : 高等教育出版社 , 1997 1 ()孟秀兰 . 物理通报 . 1998 , 10 26 2 () 复旦大学 , 上海师范大学物理系 . 物理学力学. 上海 : 上海科学技术出版社 , 1982 3