一维传热问题边界条件的处理

一维传热问题边界条件处理

当计算区域的边界为第二，第三类边界条件时，边界节点的温度是未知量。为使内部节点的温度代数方程组得以封闭，有两类方法可以采用，即补充以边界节点代数方程的方法及附加原项法。这里将介绍边界节点代数方程的方法。

对于无限大平板的第二类边界条件，采用泰勒展开法时，只要把边界条件B q x dX dT ==δλ中的导数用差分表达式来代替即可，即k q x T T B M M ⋅+=-δ111。 上式的截差为一阶，而内点上如采用中心差分，则截差为二阶。为了得出具有二阶截差的公式，可以采用虚拟点法。在边界外虚设一点M1+1，这样节点M1就可视为内节点，其一阶导数即可采用中心差分：

B M M q x

T T =--+δλ21111 为了消去TM1+1,由一维、稳态、含内热源的控制方程可得在M1点的离散形式：

()0221

1111=++--+S x T T T M M M δλ

从以上两式中消去11+M T 得，

()()λδλδx

q S x x T T B M M +∆+=-111

其中2/x x δ=∆，是节点M1所代表的控制容积的厚度。下面给出一个算例进行说明。 设有一导热型方程，02

2=-T dx T d ，边界条件为x=0,T=0; x=1, dT/dx=1。试将该区域4等分，用区域离散方法求出各节点温度。

解：采用区域离散方法时，网格划分如下图所示，内点上采用中心差分。

右端点采用二阶截差，离散方程为： 016

3332=-T T 01633432=-+

-T T T 016

33543=-+-T T T 41323354=+-T T

编程解上述方程组得出每个节点的温度。方程代码如下（Fortran6.6)：

PROGRAM MAIN

USE IMSL

IMPLICIT NONE

REAL :: A(4,4)=(/ 2.0625,-1.0,0.0,0.0,&

-1.0,2.0625,-1.0,0.0,&

0.0,-1.0,2.0625,-1.0,&

0.0,0.0,-1.0,2.0625/) !矩阵A 的元素

REAL :: B(4,1)=(/0.0,0.0,0.0,0.25/) !矩阵B 的元素

REAL :: T(4,1) !4个节点的温度矩阵

!EQUATION:

!2.0625T2-T3=0

!-T2+2.0625T3-T4=0

!-T3+2.0625T4-T5=0

!-T4+2.0625T5=0

CALL LIN_SOL_GEN(A,B,T) !A*T=B,求解T

WRITE(*,"(4F5.2)")T

STOP

END PROGRAM 0 T1 T3 T2 1/4 1/2 T5 T4 1

3/4