2021届高考数学一轮基础过关训练34：基本不等式
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1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A ．a 2＋b 2>2ab
B ．a ＋b ≥2ab C. 1a ＋1b >2ab D. b a ＋a b
≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．
对于D ，因为ab >0，
所以b a ＋a b ≥2 b a ·a b
＝2. 2．下列不等式一定成立的是( )
A ．lg ⎝
⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x
≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )
D.1x 2＋1
>1(x ∈R ) 解析：选C.对于选项A ，当x >0时，x 2＋14
－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； 对于选项B ，当sin x <0时显然不成立；
对于选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；
对于选项D ，因为x 2＋1≥1， 所以0<1x 2＋1
≤1.故选C. 3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x
，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A. 12
B. 43 C ．－1 D ．0
解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x
，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦
⎤12，3上的最小值是0. 4．若实数a ，b 满足1a ＋2b
＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2
D ．4
解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，
由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，
所以ab 的最小值为2 2.
5．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y
的最小值是( ) A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．2 3 解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，
所以lg(2x ·8y )＝lg 2，
所以2x ＋3y ＝2，
所以x ＋3y ＝1.
因为x >0，y >0，
所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y
≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y
的最小值为4.故选C. 6．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy
≥M 恒成立，则M 的最大值为________． 解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，
所以xy ≤（x ＋y ）24＝224
＝1， 所以1xy
≥1； 又1xy
≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.
答案：1
7．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b
的最小值为________． 解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23
b ＝1， 所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭
⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32
时取等号． 答案：83
8．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y
≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xy x ＋y
恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2. 答案：2
9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32 . 当x <32 时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x ＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ， 即x ＝－12 时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52 ， 故函数的最大值为－52 . (2)因为0 ＝2，当且仅当x ＝2－x ， 即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. 10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy . 得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.