浅谈如何运用构造法解决数学问题

） 是 Ｒ上 的增 函数 ． Ｆ （ ） ＜ Ｆ （ 口 ） ． ・ ． ， 又
、
ｊ
例ｌ 已 知， （ ） ＋ ２ 上） ＝ ２ ｘ ＋ ｌ ， 求 ） ．
。
因为解 集为 ｛ ｘ ｌ ｘ ＜ ３ ｝ ． ・ ． ３ ．
分 析 ： 由已知得 ｛
｝ ） ： ２ ｘ ＋ １
法解 题 的创 新性 。
三、 构 造 图形
（ １ － ｃ ｏ ｓ ｌ ３ Ｃ Ｏ Ｓ ＋ ｓ ｉ ｎ １ ３ ｓ ｉ ｎ 仪 ＝ － Ｃ Ｏ Ｓ ￣
点评 ： 从 问题的已知条件和结论的结构特征出 发， 通过化简变形 、 合理推理发现其中隐含的函数关 系， 从而有机地与函数联系起来 ， 利用函数的单调性
和 奇偶性 ， 顺 利地 达到 了解题 目的 ， 充分 体 现 了构造
Ｉ ， （ 一 ） ＋ ２ ） ＝ ＋ １ ，
二 ＇ 曼 Ｊ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｐｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
一
一
＋ ２ ＝ ０ ， ． ・ ． ｃ ０ ｓ （ ＋ Ｚ ， ， ） ＝ １ ．
例 ４已知 函数 ｙ
） （ ∈ Ｒ） 满足 口 ） ＝ ２ ， ）
的 导 函 数 厂 （ １ ， 且 ） ＜ ｝＋ ２ 一 争的 解 集 为 Ｉ ＜
３ ｌ ， 则实数 ０ 等于（ ）
则ｃ ｏ ｓ （ ｘ ＋ ２ ｙ ） ＝
分析： 此题一 时无从 着手 ， 研究 已知条件发 现
两个等式有一些相似 的地方 ， 对第二个等式进行变 形可得 ： （ ２ ｙ ） ３ ＋ ｓ ｉ ｎ ２ ｙ ＋ ２ ａ ＝ ０ ， 对照两个等式和所求结 论思考 ， 是否 可 以找 到 和 ２ ｙ的关 系 ？从 而 构造 函
例 ２已知
， ０
： １ ， （ 口 ， ｂ ， ｃ∈ Ｒ＋ ）给 出下 列
关 于关 口 ， ｂ ， Ｃ系式 ：
（ １ ） ｂ ２ ＞ ４ ａ ｃ （ ２ ） ｂ Ｅ ＞４ ￣ ａ ｃ
察、 思考 、 发言后 ， 通过多媒体展示三名学生 画的图 形。 接着问 ： 这个图形又有哪些性质呢？ 在此基础上 ，
良好 的环境 。
消 去
） ， 得 ） ： 下 － ２ ｘ Ｅ ＋ ｘ ＋ ４
．
如， 在 教学 “ 二次 函数 的图象 和性质 ” 时， 我 利用
多媒体播放“ Ｎ Ｂ Ａ ” 的 比赛片段 ， 就在姚明罚篮出手 之际 ， 画面突然停止 ， 屏幕显示一个 问题 ： 请注意观
察 球 的运 动途 径是什 么 图形 ？ 试着 画个 草 图 。 学生 观
浅谈如 何运 用构造 沽 解决数 学 问题
崔胜峰
（ 邢台市第ｌ ９ 中学 ， 河北 邢 台 ０ ５ ４ ０ ０ ０ ）
例 ３ 若 ， Ｙ ∈ ［ 一 ｝ ， ｝ 】 ， 口 ∈ Ｒ ， 且 满 足 方 程
ｘ ３ ＋ ｓ ｉ ｎ ｘ 一 ２ ａ ＝ ０， ４ ｙ ％ｓ ｉ ｎ ｙ ｃ ｏ ｓ ｙ ＋ ａ ＝ Ｏ，
２ 口 ， 即 ） ＝ ２ ｙ ） ， 又 因 为 函数 ） ＋ ｓ ｉ ｎ ｘ是 Ｒ
上的单调递增的奇函数 ． ） ＝ — ２ ｙ ） 一２ ｙ ， 从而 在现今高中数学竞赛以及高考中， 构造法有着广 泛的应用。 构造法就是依据某些数学问题的条件或结 论所具有的典型特征 ，用 已知条件 中的元素为 “ 元 件” ， 用 已知的数学关系为“ 支架” ， 在思维 中构造出一 种相关的数学对象 ， 一种新的数学形式 ； 或者利用具 体问题的特殊性 ， 为函待解决的问题设计一个合理的 框架 ， 从而使问题转化并得到解决的方法 。由于此法 构思巧 ， 解题快 ， 思路明， 易理解 ， 因而不但有利于培 养学 生的数学 思维 ， 也有 利于提 高学生 运用数学 知识 解决实际问题的能力。那么 ， 如何引导学生用构造法 解题呢？在实际教学中， 常见的情形有如下几方面 ： 构造 方 程
Ａ ． １ Ｂ － ３ ｃ ． ２ Ｄ ÷
分析： 由 ０ ） ＝ ２ 代人 ） ＜ ｝＋ ２ 一 ． ‘ ） 一 ｝
Ｊ Ｊ Ｊ
（ 口 ） 一 ， 构造函数 ） ） 一 ｝（ ∈ Ｒ ） ， ‘ ． Ｆ ） （ ）
Ｊ Ｊ
１＞ ０
．
・ ．
数
＝ 一
．
关键词 ： 数 学教学 ； 构造 法； 提 高能力 中图分类号 ： Ｇ６ ３ ３ ． ６ 文献标识码 ： Ｂ 文章编号 ： １ ０ ０ ９ — ０ １ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ３） ０ ６ － ０ ０ ６ ９ － ０ ２
） ＋ ｓ ｉ 眦， 则 两个 条件 分别 变为 ： ） ＝ ２ ０ ， ２ ｙ ）
教 师 导 出课 题 。
（ ３ ） ６ ｚ ＜ ４ ａ ｃ （ ４ ） ｂ ２ ＜４ ￣ ａ ｃ其类似 于判 别式 △的形式 ， 而
总之 ， 在数学教学过程 中， 为提高教学效率 ， 发
展学生数学思维能力 ， 教师要精心创设教学情境 ， 激 发认知冲突 ， 让学生的内心充满好奇和探究 的动力 ， 引领学生经历神奇的数学之旅 ，使他们体验到数学
课堂 是 如此 的美妙 ！
【 责任编辑 姜 牟】
（ 、 ／ 丁） ｚ ＝ ７ ， 将 已知关系式转化为 口 （ 、 ／ 丁） ２ ． ６ 、 ／ ＋
ｃ ＝ ０ ，可看作是一个根为 、 ／ 丁 的一元二次方程 ａ ｘ ２ 一 ｂ ｘ ＋ ｃ ＝ ０ ， 则必有 △＝ ｂ Ｅ － ４ ａ ｃ ＞０正确 ． ｔ 点评 ： 可根据题 目的结构特征 ， 合理地进行类 比 联想 ， 使之转化为简单 、 熟悉 的问题 ， 渗透 了数学的 化归与方程思想 ， 体现 了数学解题 的灵活性 。 二、 构 造 函数