2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理(含解析)

2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理（含解析）
一、单选题
1.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（）
A.9
B.8
C.7
D.6
3.如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，，BC=1，如果以C为圆心，以CB长为半径的
圆交AB于点P，那么AP的长为（）
A. B. C. D.3
4.如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是（）
A.PA AB＝PC PB
B.PA PB＝PC PD
C.PA AB＝PC CD
D.PA⊙PB＝PC⊙PD
5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，
则的值为（）
A.
B.
C.
D.
6.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（）
A.4
B.5
C.8
D.10
7.如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长
AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）
A. B.5 C.+1 D.
8.在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AM=4，MB=3，则CM•MD=（）
A.28
B.21
C.12
D.7
9.如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积是（）
A.16π
B.36π
C.52π
D.81π
10.如图，⊙O的直径AB=8，弧AC=弧BC，E为OB上一点，⊙AEC=60°，CE的延长线交⊙O于
D，则CD的长为（）
A.6
B.4
C.
D.
11.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2 ，则⊙AED的度数是（）
A.30°
B.60°
C.45°
D.36°
12.如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）
A.6
B.7
C.8
D.9
13.如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=（）
A.3
B.4
C.5
D.6
14.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（）
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.4 cm
二、填空题
15.如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE=3，AE=4，DE=2，则⊙O的半径是
________．
16.一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为________米．
17.已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则CD=________．
18.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为
，则O点到BE的距离OM=________．
19.一圆周上有三点A，B，C，⊙A的平分线交边BC于D，交圆于E，已知BC=2，AC=3，AB=4，
则AD•DE=________．
三、解答题
20.已知G是⊙ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：
AG2=GC•GD．
21.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4 ，求EC的
长．
四、综合题
22.如图，
（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=________
（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．
（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？
（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD= ，求PC、PD的长．
23.根据题意解答
（1）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一
定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．
（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，
OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．
答案解析部分
一、单选题
1.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B
【考点】勾股定理，垂径定理，相交弦定理
【解析】【解答】解：连接OD．由垂径定理得HD= ，由勾股定理得HB=1，
设圆O的半径为R，在Rt⊙ODH中，
则R2=（）2+（R﹣1）2，由此得2R=3，
或由相交弦定理得（）2=1×（2R﹣1），由此得2R=3，所以AB=3
故选B．
【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．
2.如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（）
A.9
B.8
C.7
D.6
【答案】C
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：由相交弦定理得：AP×BP=CP×DP，⊙PA=4，PB=6，PD=2，
⊙CP=12，
⊙DC=12+2=14，
⊙CD是⊙O直径，
⊙⊙O半径是7．
故选C．
【分析】根据相交弦定理得出AP×BP=CP×DP，求出CP，求出CD即可．
3.如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，，BC=1，如果以C为圆心，以CB长为半径的
圆交AB于点P，那么AP的长为（）
A. B. C. D.3
【答案】B
【考点】勾股定理，相交弦定理
【解析】【解答】解：如图，延长AC交⊙C于E，
设与圆的另一个交点为Q，
在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，⊙ ，BC=1，
⊙AB= = ，
⊙CQ、CB、CE都是圆的半径，
⊙CQ=CB=CE=1，
根据割线定理得AQ•AE=AP•AB，
⊙AP= = = ．
故选B．
【分析】如图，延长AC交⊙C与E，设与圆的另一个交点为Q，首先在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，，BC=1，利用勾股定理即可求出AB的长度，根据题意可以知道CQ=CB=CE=1，然
后根据割线定理即可求出AP的长度．
4.如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是（）
A.PA AB＝PC PB
B.PA PB＝PC PD
C.PA AB＝PC CD
D.PA⊙PB＝PC⊙PD 【答案】B
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】连接AC与BD，与是所对的圆周角，
故答案为：B.
【分析】可以根据圆的性质证明⊙BPD和⊙CPA相似，由此可得出PA ⊙ PB＝PC ⊙ PD，即为相交弦定理。

5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，
则的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】勾股定理，相交弦定理
【解析】【解答】解：如图，
设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r﹣m）（r+m）=m•QD，所以QD= ．
连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选D．
【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
6.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（）
A.4
B.5
C.8
D.10
【答案】B
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：设CE=x，则DE=3+x．根据相交弦定理，得x（x+3）=2×2，
x=1或x=﹣4（不合题意，应舍去）．
则CD=3+1+1=5．
故选B．
【分析】运用相交弦定理求解．
7.如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长
AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）
A. B.5 C.+1 D.
【答案】A
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：⊙四边形ABCD是矩形，⊙⊙B=90°，
⊙AE= = = ，
⊙BC=3，BE=1，⊙CE=2，
由相交弦定理得：AE•EF=BE•CE，
⊙EF= = ，
⊙AF=AE+EF= ；
故选：A．
【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长．
8.在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AM=4，MB=3，则CM•MD=（）
A.28
B.21
C.12
D.7
【答案】C
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：由相交弦定理知，CM•MD=AM•MB=3×4=12，故选C．【分析】由相交弦定理进行分析即可．
9.如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，
PD=4，则两圆组成的圆环的面积是（）
A.16π
B.36π
C.52π
D.81π
【答案】B
【考点】勾股定理，垂径定理，切线的性质，相交弦定理
【解析】【解答】解：连接OP、OB．⊙大圆的弦AB与小圆相切于点P，
⊙OP⊙AB，
⊙PA=PB．
⊙CD=13，PD=4，
⊙PC=9．
根据相交弦定理，得PA=PB=6，
则两圆组成的圆环的面积是πOB2﹣πOP2=πPB2= AB2=36π．
故选B．
【分析】连接OP，先根据切线的性质定理和垂径定理证出PA=PB，再根据相交弦定理求得AB的长，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解．
10.如图，⊙O的直径AB=8，弧AC=弧BC，E为OB上一点，⊙AEC=60°，CE的延长线交⊙O于
D，则CD的长为（）
A.6
B.4
C.
D.
【答案】D
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，垂径定理，相交弦定理
【解析】【解答】解：连接OC、OD，过点O作OF⊙CD于点F．
⊙AB是⊙O的直径，C为弧AB的中点，
⊙⊙AOC=⊙BOC=90°（等弧所对的圆心角相等）；
又⊙O是圆心，OF⊙CD，
⊙CF=DF= CD，（垂径定理）；
在Rt⊙OEC中，
⊙⊙AEC=60°，
⊙⊙OCE=30°（直角三角形的两个锐角互余）；
⊙在Rt⊙OCF中，CF=OC•cos30°；
又AB=8，
⊙OC=4；
⊙CF=4× =2
⊙CD=2CF=4 ．
故选D．
【分析】连接OC、OD，过点O作OF⊙CD于点F．由等弧所对的圆心角相等知⊙AOC=⊙BOC=90°；
根据垂径定理推知CF=DF= CD；然后根据直角三角形的特殊角的三角函数值求得
CD=2CF=OC•cos30°．
11.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2 ，则⊙AED的度数是（）
A.30°
B.60°
C.45°
D.36°
【答案】C
【考点】垂径定理，相交弦定理
【解析】【解答】解：连接OD，过圆心O作OH⊙CD于点H．
⊙DH=CH= CD（垂径定理）；
⊙CD=2 ，
⊙DH= ．
又⊙AE=6，BE=2，
⊙AB=8，
⊙OA=OD=4（⊙O的半径）；
⊙OE=2；
⊙在Rt⊙ODH中，OH= = = （勾股定理）；
在Rt⊙OEH中，sin⊙OEH= = ，
⊙⊙OEH=45°，
即⊙AED=45°．
故选：C．
【分析】连接OD，过圆心O作OH⊙CD于点H．根据垂径定理求得DH=CH= CD= ；然后根据已知条件“AE=6，BE=2”求得⊙O的直径，从而知⊙O的半径；最后利用勾股定理求得OH=1，再边角关系得到⊙AED=45°．
12.如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】D
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：⊙PB，PD是⊙O的割线，⊙PA•PB=PC•PD，
⊙PA=2，PC=CD=3，
⊙2PB=3×6
解得：PB=9．
故选：D．
【分析】直接利用割线定理得出PA•PB=PC•PD，进而求出即可．
13.如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=（）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】D
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：由相交弦定理得：PA•PB=PC•PD，⊙DP= = =6．
故选D．
【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．
14.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（）
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.4 cm 【答案】D
【考点】垂径定理，相交弦定理
【解析】【解答】利用垂径定理可知，DP=CP=3，
⊙P是半径OB的中点．
⊙AP=3BP，AB=4BP，
利用相交弦的定理可知：BP•3BP=3×3，
解得BP= ，
即AB=4 ．
故答案为：D．
【分析】先根据利用垂径定理可得，DP=CP=3，再利用相交弦的定理可知：BP•3BP=3×3，解答即可求得直径AB的长.
二、填空题
15.如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE=3，AE=4，DE=2，则⊙O的半径是
________．
【答案】4
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：根据相交弦定理，AE•BE=CE•DE，又⊙BE=3，AE=4，DE=2，
⊙CE=6
⊙CD=CE+DE=8
那么圆的半径等于4．
故此题应该填4．
【分析】利用相交弦定理，可以求出CE的长，从而知道CD的长，就可求出⊙O的半径．16.一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为________米．
【答案】
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：设半径为x，则根据相交弦定理可知：
2×2=1×（2x﹣1），
解得x= ．
【分析】根据题意画出图形，根据相交弦定理或勾股定理列出方程即可。

17.已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则CD=________．
【答案】4
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：⊙弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，⊙PA•PB=PC•PD，
而AP=8，BP=3，PD=PC，
⊙PC2=8×3=24，
⊙PC=2 ，
⊙CD=2PC=4 ．
故答案为4 ．
【分析】根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，则可计算出PC，然后利用CD=2PC求解．18.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为
，则O点到BE的距离OM=________．
【答案】
【考点】勾股定理，正方形的性质，垂径定理，相交弦定理
【解析】【解答】解：作OM⊙BE于M，连接OE，BD，⊙⊙DCB=90°，
⊙BD是直径，
⊙OE=DE=1，
⊙BE= = ，
⊙EF= = ，
⊙BF= ，
⊙MF= ，ME= ，
⊙OM= = ．
【分析】作OM⊙BE于M，连接OE，BD，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得BD是直径．根据勾股定理及相交弦定理求得BE，EF的值，从而得到BF的值，利用垂径定理求得MF，ME，最后根据勾股定理即可求得OM的值．
19.一圆周上有三点A，B，C，⊙A的平分线交边BC于D，交圆于E，已知BC=2，AC=3，AB=4，
则AD•DE=________．
【答案】
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解：⊙⊙A的平分线交边BC于D，交圆于E，⊙ ，
⊙BC=2，AC=3，AB=4，
⊙ ，
解得：BD= ，CD=2﹣= ，
⊙CD•BD=AD•DE= × = ．
故答案为：．
【分析】根据角平分线的性质得出，求出BD与CD的长，再利用相交弦定理求出即可．
三、解答题
20.已知G是⊙ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．
【答案】证明：延长GP至F，使PF=PG，连接AD，BF，CF，
⊙G是⊙ABC的重心，
⊙AG=2GP，BP=PC，
⊙PF=PG，
⊙四边形GBFC是平行四边形，
⊙GF=2GP，
⊙AG=GF，
⊙BG⊙CF，
⊙⊙1=⊙2
⊙过A、G的圆与BG切于G，
⊙⊙3=⊙D，
又⊙2=⊙3，
⊙⊙1=⊙2=⊙3=⊙D，
⊙A、D、F、C四点共圆，
⊙GA、GF=GC•GD，
即GA2=GC•GD．
【考点】圆内接四边形的性质，相交弦定理
【解析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC 是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又⊙1=⊙2=⊙3=⊙D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．
21.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4 ，求EC的
长．
【答案】解：设EC=x，则ED=CD﹣CE=4 ﹣x，根据题意得AE•BE=CE•DE，
所以x（4 ﹣x）=5•1，
整理得x2﹣4 x+5=0，
解得x=2 ± ，
即EC的乘为2 + 或2 ﹣
【考点】相交弦定理
【解析】【分析】设EC=x，则ED=CD﹣CE=4 ﹣x，根据相交弦定理x（4 ﹣x）=5•1，然后解一元二次方程即可．
四、综合题
22.如图，
（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=________
（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．
（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？
（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD= ，求PC、PD的长．
【答案】（1）3
（2）解：根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线．根据（1）的求解方法，得OQ=4，则PQ=1或7
（3）解：连接AM、BN．
⊙⊙A=⊙N，⊙M=⊙B，
⊙⊙APM⊙⊙NPB，
⊙ ，
即PM•PN=PA•PB
（4）解：作直径AB，
根据相交弦定理，得PC•PD=PA•PB=（5﹣3）（5+3）=16，
又CD= ，
设PC=x，则PD= ﹣x，则有x（﹣x）=16，
解，得x=3或x= ．
即PC=3或，PD= 或3
【考点】勾股定理，垂径定理，相交弦定理
【解析】【解答】解：（1）连接OP，过点P作CD⊙OP于点P，连接OD．
根据题意，得CD=8，OD=5．
根据垂径定理，得PD=4，
根据勾股定理，得OP=3；
【分析】（1）过点P的最短的弦即为过点P垂直于OP的弦，根据垂径定理、勾股定理进行计算；（2）根据（1）的方法求得OQ的长，进而求得PQ的长；（3）根据相似三角形的判定及性质进行证明；（4）过点P作直径EF，根据（3）中得到的结论，知PC•PD=PE•PF，再结合已知条件进行计算．
23.根据题意解答
（1）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一
定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．
（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过
程．
【答案】（1）解：圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知，如
图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E，
求证：AP•BP=CP•DP．
证明如下：
连结AC，BD，如图1，
⊙⊙C=⊙B，⊙A=⊙D，
⊙⊙APC⊙⊙DPB，
⊙AP：DP=CP：BP，
⊙AP•BP=CP•DP；
所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等
（2）解：过P作直径CD，如图2，
⊙AB=10，PA=4，OP=5，
⊙PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，
由（1）中结论得，PA•PB=PC•PD，
⊙4×6=（R﹣5）×（R+5），
解得R=7（R=﹣7舍去）．
所以⊙O的半径R=7．
【考点】相似三角形的判定与性质，相交弦定理
【解析】【分析】（1）连结AC，BD，根据圆周角定理得到⊙C=⊙B，⊙A=⊙D，再根据三角形相
似的判定定理得到⊙AEC⊙⊙DEB，利用相似三角形的性质得AE：DE=CE：BE，变形有AE•BE=CE•DE；由此得到相交弦定理；（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R﹣5）×（R+5），解方程即可得到R的值．。