2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理(含解析)

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2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理(含解析)
一、单选题
1.如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=2 ,BD= ,则AB的长为()
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,⊙O中,弦AB与直径CD相交于点P,且PA=4,PB=6,PD=2,则⊙O的半径为()
A.9
B.8
C.7
D.6
3.如图,在Rt⊙ABC中,⊙C=90°,,BC=1,如果以C为圆心,以CB长为半径的
圆交AB于点P,那么AP的长为()
A. B. C. D.3
4.如图所示,⊙O中,弦AB,CD相交于P点,则下列结论正确的是()
A.PA AB=PC PB
B.PA PB=PC PD
C.PA AB=PC CD
D.PA⊙PB=PC⊙PD
5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,
则的值为()
A.
B.
C.
D.
6.如图,已知⊙O的两条弦AB,CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE=CE+3,则CD的长为()
A.4
B.5
C.8
D.10
7.如图,矩形ABCD为⊙O的内接四边形,AB=2,BC=3,点E为BC上一点,且BE=1,延长
AE交⊙O于点F,则线段AF的长为()
A. B.5 C.+1 D.
8.在⊙O中,弦AB与CD相交于点M,AM=4,MB=3,则CM•MD=()
A.28
B.21
C.12
D.7
9.如图,两个同心圆,大圆的弦AB与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过点P,且CD=13,PD=4,则两圆组成的圆环的面积是()
A.16π
B.36π
C.52π
D.81π
10.如图,⊙O的直径AB=8,弧AC=弧BC,E为OB上一点,⊙AEC=60°,CE的延长线交⊙O于
D,则CD的长为()
A.6
B.4
C.
D.
11.如图,⊙O的直径AB与弦CD交于点,AE=6,BE=2,CD=2 ,则⊙AED的度数是()
A.30°
B.60°
C.45°
D.36°
12.如图,A、B、C、D为⊙O上的点,直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3,则PB=()
A.6
B.7
C.8
D.9
13.如图,⊙O中弦AB,CD相交于点P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP=()
A.3
B.4
C.5
D.6
14.如图,⊙O的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是()
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.4 cm
二、填空题
15.如图,在⊙O中,直径CD与弦AB相交于点E,若BE=3,AE=4,DE=2,则⊙O的半径是
________.
16.一个圆弧形门拱的拱高为1米,跨度为4米,那么这个门拱的半径为________米.
17.已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P,AP=8,BP=3,PD=PC,则CD=________.
18.如图,正方形ABCD内接于⊙O,E为DC的中点,直线BE交⊙O于点F,如果⊙O的半径为
,则O点到BE的距离OM=________.
19.一圆周上有三点A,B,C,⊙A的平分线交边BC于D,交圆于E,已知BC=2,AC=3,AB=4,
则AD•DE=________.
三、解答题
20.已知G是⊙ABC的重心,过A、G的圆与BG切于G,CG的延长线交圆于D,求证:
AG2=GC•GD.
21.如图,⊙O的直径AB与弦CD交于点E,AE=5,BE=1,CD=4 ,求EC的
长.
四、综合题
22.如图,
(1)已知:P为半径为5的⊙O内一点,过P点最短的弦长为8,则OP=________
(2)在(1)的条件下,若⊙O内有一异于P点的Q点,过Q点的最短弦长为6,且这两条弦平行,求PQ的长.
(3)在(1)的条件下,过P点任作弦MN、AB,试比较PM•PN与PA•PB的大小关系,且写出比较过程.你能用一句话归纳你的发现吗?
(4)在(1)的条件下,过P点的弦CD= ,求PC、PD的长.
23.根据题意解答
(1)九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生,他在学习完第二十四章圆后,在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等),非常好奇,仔细阅读原来就是:PA•PB=PC•PD,小刚很想知道是如何证明的,可异证明部分污损看不清了,只看到辅助线的做法,分别连结AC、BD.聪明的你一
定能帮他证出,请在图1中做出辅助线,并写出详细的证明过程.
(2)小刚又看到一道课后习题,如图2,AB是⊙O弦,P是AB上一点,AB=10cm,PA=4cm,
OP=5cm,求⊙O的半径,愁坏了小刚,乐于助人的你肯定会帮助他,请写出详细的证明过程.
答案解析部分
一、单选题
1.如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=2 ,BD= ,则AB的长为()
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B
【考点】勾股定理,垂径定理,相交弦定理
【解析】【解答】解:连接OD.由垂径定理得HD= ,由勾股定理得HB=1,
设圆O的半径为R,在Rt⊙ODH中,
则R2=()2+(R﹣1)2,由此得2R=3,
或由相交弦定理得()2=1×(2R﹣1),由此得2R=3,所以AB=3
故选B.
【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解.
2.如图,⊙O中,弦AB与直径CD相交于点P,且PA=4,PB=6,PD=2,则⊙O的半径为()
A.9
B.8
C.7
D.6
【答案】C
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:由相交弦定理得:AP×BP=CP×DP,⊙PA=4,PB=6,PD=2,
⊙CP=12,
⊙DC=12+2=14,
⊙CD是⊙O直径,
⊙⊙O半径是7.
故选C.
【分析】根据相交弦定理得出AP×BP=CP×DP,求出CP,求出CD即可.
3.如图,在Rt⊙ABC中,⊙C=90°,,BC=1,如果以C为圆心,以CB长为半径的
圆交AB于点P,那么AP的长为()
A. B. C. D.3
【答案】B
【考点】勾股定理,相交弦定理
【解析】【解答】解:如图,延长AC交⊙C于E,
设与圆的另一个交点为Q,
在Rt⊙ABC中,⊙C=90°,⊙ ,BC=1,
⊙AB= = ,
⊙CQ、CB、CE都是圆的半径,
⊙CQ=CB=CE=1,
根据割线定理得AQ•AE=AP•AB,
⊙AP= = = .
故选B.
【分析】如图,延长AC交⊙C与E,设与圆的另一个交点为Q,首先在Rt⊙ABC中,⊙C=90°,,BC=1,利用勾股定理即可求出AB的长度,根据题意可以知道CQ=CB=CE=1,然
后根据割线定理即可求出AP的长度.
4.如图所示,⊙O中,弦AB,CD相交于P点,则下列结论正确的是()
A.PA AB=PC PB
B.PA PB=PC PD
C.PA AB=PC CD
D.PA⊙PB=PC⊙PD 【答案】B
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】连接AC与BD,与是所对的圆周角,
故答案为:B.
【分析】可以根据圆的性质证明⊙BPD和⊙CPA相似,由此可得出PA ⊙ PB=PC ⊙ PD,即为相交弦定理。

5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,
则的值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】勾股定理,相交弦定理
【解析】【解答】解:如图,
设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,
QA=r﹣m.
在⊙O中,根据相交弦定理,得QA•QC=QP•QD.
即(r﹣m)(r+m)=m•QD,所以QD= .
连接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,
即,
解得
所以,
故选D.
【分析】设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=r﹣m.利用相交弦定理,求出m与r的关系,即用r表示出m,即可表示出所求比值.
6.如图,已知⊙O的两条弦AB,CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE=CE+3,则CD的长为()
A.4
B.5
C.8
D.10
【答案】B
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:设CE=x,则DE=3+x.根据相交弦定理,得x(x+3)=2×2,
x=1或x=﹣4(不合题意,应舍去).
则CD=3+1+1=5.
故选B.
【分析】运用相交弦定理求解.
7.如图,矩形ABCD为⊙O的内接四边形,AB=2,BC=3,点E为BC上一点,且BE=1,延长
AE交⊙O于点F,则线段AF的长为()
A. B.5 C.+1 D.
【答案】A
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:⊙四边形ABCD是矩形,⊙⊙B=90°,
⊙AE= = = ,
⊙BC=3,BE=1,⊙CE=2,
由相交弦定理得:AE•EF=BE•CE,
⊙EF= = ,
⊙AF=AE+EF= ;
故选:A.
【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE,再由相交弦定理求出EF,即可得出AF的长.
8.在⊙O中,弦AB与CD相交于点M,AM=4,MB=3,则CM•MD=()
A.28
B.21
C.12
D.7
【答案】C
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:由相交弦定理知,CM•MD=AM•MB=3×4=12,故选C.【分析】由相交弦定理进行分析即可.
9.如图,两个同心圆,大圆的弦AB与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过点P,且CD=13,
PD=4,则两圆组成的圆环的面积是()
A.16π
B.36π
C.52π
D.81π
【答案】B
【考点】勾股定理,垂径定理,切线的性质,相交弦定理
【解析】【解答】解:连接OP、OB.⊙大圆的弦AB与小圆相切于点P,
⊙OP⊙AB,
⊙PA=PB.
⊙CD=13,PD=4,
⊙PC=9.
根据相交弦定理,得PA=PB=6,
则两圆组成的圆环的面积是πOB2﹣πOP2=πPB2= AB2=36π.
故选B.
【分析】连接OP,先根据切线的性质定理和垂径定理证出PA=PB,再根据相交弦定理求得AB的长,最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解.
10.如图,⊙O的直径AB=8,弧AC=弧BC,E为OB上一点,⊙AEC=60°,CE的延长线交⊙O于
D,则CD的长为()
A.6
B.4
C.
D.
【答案】D
【考点】含30度角的直角三角形,勾股定理,垂径定理,相交弦定理
【解析】【解答】解:连接OC、OD,过点O作OF⊙CD于点F.
⊙AB是⊙O的直径,C为弧AB的中点,
⊙⊙AOC=⊙BOC=90°(等弧所对的圆心角相等);
又⊙O是圆心,OF⊙CD,
⊙CF=DF= CD,(垂径定理);
在Rt⊙OEC中,
⊙⊙AEC=60°,
⊙⊙OCE=30°(直角三角形的两个锐角互余);
⊙在Rt⊙OCF中,CF=OC•cos30°;
又AB=8,
⊙OC=4;
⊙CF=4× =2
⊙CD=2CF=4 .
故选D.
【分析】连接OC、OD,过点O作OF⊙CD于点F.由等弧所对的圆心角相等知⊙AOC=⊙BOC=90°;
根据垂径定理推知CF=DF= CD;然后根据直角三角形的特殊角的三角函数值求得
CD=2CF=OC•cos30°.
11.如图,⊙O的直径AB与弦CD交于点,AE=6,BE=2,CD=2 ,则⊙AED的度数是()
A.30°
B.60°
C.45°
D.36°
【答案】C
【考点】垂径定理,相交弦定理
【解析】【解答】解:连接OD,过圆心O作OH⊙CD于点H.
⊙DH=CH= CD(垂径定理);
⊙CD=2 ,
⊙DH= .
又⊙AE=6,BE=2,
⊙AB=8,
⊙OA=OD=4(⊙O的半径);
⊙OE=2;
⊙在Rt⊙ODH中,OH= = = (勾股定理);
在Rt⊙OEH中,sin⊙OEH= = ,
⊙⊙OEH=45°,
即⊙AED=45°.
故选:C.
【分析】连接OD,过圆心O作OH⊙CD于点H.根据垂径定理求得DH=CH= CD= ;然后根据已知条件“AE=6,BE=2”求得⊙O的直径,从而知⊙O的半径;最后利用勾股定理求得OH=1,再边角关系得到⊙AED=45°.
12.如图,A、B、C、D为⊙O上的点,直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3,则PB=()
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】D
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:⊙PB,PD是⊙O的割线,⊙PA•PB=PC•PD,
⊙PA=2,PC=CD=3,
⊙2PB=3×6
解得:PB=9.
故选:D.
【分析】直接利用割线定理得出PA•PB=PC•PD,进而求出即可.
13.如图,⊙O中弦AB,CD相交于点P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP=()
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】D
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:由相交弦定理得:PA•PB=PC•PD,⊙DP= = =6.
故选D.
【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算.
14.如图,⊙O的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是()
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.4 cm 【答案】D
【考点】垂径定理,相交弦定理
【解析】【解答】利用垂径定理可知,DP=CP=3,
⊙P是半径OB的中点.
⊙AP=3BP,AB=4BP,
利用相交弦的定理可知:BP•3BP=3×3,
解得BP= ,
即AB=4 .
故答案为:D.
【分析】先根据利用垂径定理可得,DP=CP=3,再利用相交弦的定理可知:BP•3BP=3×3,解答即可求得直径AB的长.
二、填空题
15.如图,在⊙O中,直径CD与弦AB相交于点E,若BE=3,AE=4,DE=2,则⊙O的半径是
________.
【答案】4
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:根据相交弦定理,AE•BE=CE•DE,又⊙BE=3,AE=4,DE=2,
⊙CE=6
⊙CD=CE+DE=8
那么圆的半径等于4.
故此题应该填4.
【分析】利用相交弦定理,可以求出CE的长,从而知道CD的长,就可求出⊙O的半径.16.一个圆弧形门拱的拱高为1米,跨度为4米,那么这个门拱的半径为________米.
【答案】
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:设半径为x,则根据相交弦定理可知:
2×2=1×(2x﹣1),
解得x= .
【分析】根据题意画出图形,根据相交弦定理或勾股定理列出方程即可。

17.已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P,AP=8,BP=3,PD=PC,则CD=________.
【答案】4
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:⊙弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P,⊙PA•PB=PC•PD,
而AP=8,BP=3,PD=PC,
⊙PC2=8×3=24,
⊙PC=2 ,
⊙CD=2PC=4 .
故答案为4 .
【分析】根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD,则可计算出PC,然后利用CD=2PC求解.18.如图,正方形ABCD内接于⊙O,E为DC的中点,直线BE交⊙O于点F,如果⊙O的半径为
,则O点到BE的距离OM=________.
【答案】
【考点】勾股定理,正方形的性质,垂径定理,相交弦定理
【解析】【解答】解:作OM⊙BE于M,连接OE,BD,⊙⊙DCB=90°,
⊙BD是直径,
⊙OE=DE=1,
⊙BE= = ,
⊙EF= = ,
⊙BF= ,
⊙MF= ,ME= ,
⊙OM= = .
【分析】作OM⊙BE于M,连接OE,BD,根据90°的圆周角所对的弦是直径,得BD是直径.根据勾股定理及相交弦定理求得BE,EF的值,从而得到BF的值,利用垂径定理求得MF,ME,最后根据勾股定理即可求得OM的值.
19.一圆周上有三点A,B,C,⊙A的平分线交边BC于D,交圆于E,已知BC=2,AC=3,AB=4,
则AD•DE=________.
【答案】
【考点】相交弦定理
【解析】【解答】解:⊙⊙A的平分线交边BC于D,交圆于E,⊙ ,
⊙BC=2,AC=3,AB=4,
⊙ ,
解得:BD= ,CD=2﹣= ,
⊙CD•BD=AD•DE= × = .
故答案为:.
【分析】根据角平分线的性质得出,求出BD与CD的长,再利用相交弦定理求出即可.
三、解答题
20.已知G是⊙ABC的重心,过A、G的圆与BG切于G,CG的延长线交圆于D,求证:AG2=GC•GD.
【答案】证明:延长GP至F,使PF=PG,连接AD,BF,CF,
⊙G是⊙ABC的重心,
⊙AG=2GP,BP=PC,
⊙PF=PG,
⊙四边形GBFC是平行四边形,
⊙GF=2GP,
⊙AG=GF,
⊙BG⊙CF,
⊙⊙1=⊙2
⊙过A、G的圆与BG切于G,
⊙⊙3=⊙D,
又⊙2=⊙3,
⊙⊙1=⊙2=⊙3=⊙D,
⊙A、D、F、C四点共圆,
⊙GA、GF=GC•GD,
即GA2=GC•GD.
【考点】圆内接四边形的性质,相交弦定理
【解析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC,并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积.延长GP至F,使PF=PG,连接FB、FC、AD.因G是重心,故AG=2GP.因GBFC 是平行四边形,故GF=2GP.从而AG=GF.又⊙1=⊙2=⊙3=⊙D,故A、D、F、C四点共圆,从而GA、GF=GC•GD.于是GA2=GC•GD.
21.如图,⊙O的直径AB与弦CD交于点E,AE=5,BE=1,CD=4 ,求EC的
长.
【答案】解:设EC=x,则ED=CD﹣CE=4 ﹣x,根据题意得AE•BE=CE•DE,
所以x(4 ﹣x)=5•1,
整理得x2﹣4 x+5=0,
解得x=2 ± ,
即EC的乘为2 + 或2 ﹣
【考点】相交弦定理
【解析】【分析】设EC=x,则ED=CD﹣CE=4 ﹣x,根据相交弦定理x(4 ﹣x)=5•1,然后解一元二次方程即可.
四、综合题
22.如图,
(1)已知:P为半径为5的⊙O内一点,过P点最短的弦长为8,则OP=________
(2)在(1)的条件下,若⊙O内有一异于P点的Q点,过Q点的最短弦长为6,且这两条弦平行,求PQ的长.
(3)在(1)的条件下,过P点任作弦MN、AB,试比较PM•PN与PA•PB的大小关系,且写出比较过程.你能用一句话归纳你的发现吗?
(4)在(1)的条件下,过P点的弦CD= ,求PC、PD的长.
【答案】(1)3
(2)解:根据平行线的性质和垂线的性质,知O、P、Q三点共线.根据(1)的求解方法,得OQ=4,则PQ=1或7
(3)解:连接AM、BN.
⊙⊙A=⊙N,⊙M=⊙B,
⊙⊙APM⊙⊙NPB,
⊙ ,
即PM•PN=PA•PB
(4)解:作直径AB,
根据相交弦定理,得PC•PD=PA•PB=(5﹣3)(5+3)=16,
又CD= ,
设PC=x,则PD= ﹣x,则有x(﹣x)=16,
解,得x=3或x= .
即PC=3或,PD= 或3
【考点】勾股定理,垂径定理,相交弦定理
【解析】【解答】解:(1)连接OP,过点P作CD⊙OP于点P,连接OD.
根据题意,得CD=8,OD=5.
根据垂径定理,得PD=4,
根据勾股定理,得OP=3;
【分析】(1)过点P的最短的弦即为过点P垂直于OP的弦,根据垂径定理、勾股定理进行计算;(2)根据(1)的方法求得OQ的长,进而求得PQ的长;(3)根据相似三角形的判定及性质进行证明;(4)过点P作直径EF,根据(3)中得到的结论,知PC•PD=PE•PF,再结合已知条件进行计算.
23.根据题意解答
(1)九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生,他在学习完第二十四章圆后,在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等),非常好奇,仔细阅读原来就是:PA•PB=PC•PD,小刚很想知道是如何证明的,可异证明部分污损看不清了,只看到辅助线的做法,分别连结AC、BD.聪明的你一
定能帮他证出,请在图1中做出辅助线,并写出详细的证明过程.
(2)小刚又看到一道课后习题,如图2,AB是⊙O弦,P是AB上一点,AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求⊙O的半径,愁坏了小刚,乐于助人的你肯定会帮助他,请写出详细的证明过
程.
【答案】(1)解:圆的两条弦相交,这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.已知,如
图1,⊙O的两弦AB、CD相交于E,
求证:AP•BP=CP•DP.
证明如下:
连结AC,BD,如图1,
⊙⊙C=⊙B,⊙A=⊙D,
⊙⊙APC⊙⊙DPB,
⊙AP:DP=CP:BP,
⊙AP•BP=CP•DP;
所以两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等
(2)解:过P作直径CD,如图2,
⊙AB=10,PA=4,OP=5,
⊙PB=10﹣4=6,PC=OC﹣OP=R﹣5,PD=OD+OP=R+5,
由(1)中结论得,PA•PB=PC•PD,
⊙4×6=(R﹣5)×(R+5),
解得R=7(R=﹣7舍去).
所以⊙O的半径R=7.
【考点】相似三角形的判定与性质,相交弦定理
【解析】【分析】(1)连结AC,BD,根据圆周角定理得到⊙C=⊙B,⊙A=⊙D,再根据三角形相
似的判定定理得到⊙AEC⊙⊙DEB,利用相似三角形的性质得AE:DE=CE:BE,变形有AE•BE=CE•DE;由此得到相交弦定理;(2)由AB=10,PA=4,OP=5,易得PB=10﹣4=6,PC=OC﹣OP=R﹣5,PD=OD+OP=R+5,根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD,即4×6=(R﹣5)×(R+5),解方程即可得到R的值.。

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