西南科技大学材料力学PPT.

1.基本概念
y
转角
挠度
挠曲线
挠曲线方程： w w( x) 挠度y：截面形心 在y方向的位移
w
x
x
w 向上为正
逆时针为正 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
dw 挠度转角关系为： tan dx
7-2
Mechanics of Materials by Yang Zhen

wAL wAR
wAL wAR
A 0
－弹簧变形
AL AR
Mechanics of Materials by Yang Zhen
~
~
A AA A A
~
~
~
~
A
A A A
A
~
§6-3 用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解
7-1
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§6-1 工程中的弯曲变形问题
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§6-1 工程中的弯曲变形问题
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§6-2 挠曲线的微分方程
§6-2 挠曲线的微分方程
2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：
1 M ρ EIz

忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
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§6-2 挠曲线的微分方程
由数学知识可知：
y M (x ) > 0 M (x ) > 0
积分一次
再积分一次
dw 1 EI EI F ( x l ) 2 C dx 2 1 EIw F ( x l ) 3 Cx D 6
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§6-3 用积分法求弯曲变形
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, x 0,
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
max
Fl 2 B , 2 EI
wmax
Fl 3 wB 3 EI
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§6-3 用积分法求弯曲变形
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知，l=a+b，a>b。
EIw1
CB 段：
0 x1 a
y
A
A
F
D
C
B
B x
FBy
a x2 l d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw2 Fb 2 F EI EI ( x2 ) x 2 ( x2 a)2 C2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x ( x2 a ) 3 C2 x2 D2 6l 6
y
解 1）由梁整体平衡分析得：
F
FAx 0, FAy
2）弯矩方程
Fb Fa , FBy l l
A
A
D
C
B
B x
FBy
FAy x1
wmax
x2
AC 段：
Fb M x1 FAy x1 x1 ,0 x1 a l
CB 段：
a
b
M x2 FAy x2 F ( x2 a )
Fb x2 F ( x2 a ), l
a x2 l
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§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段：
d 2 w1 Fb EI M ( x ) x1 1 2 dx1 l dw Fb 2 EI 1 EI ( x1 ) x1 C1 dx1 2l
代入求解
A 0
yA 0
D 1 3 Fl 6
y
1 C Fl 2 , 2
A
x
l
wB
F B
B
x
5）确定转角方程和挠度方程
1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 2 1 1 1 EIw F ( x l ) 3 Fl 2 x Fl 3 6 2 6
d w 2 1 dx dw 2 3 [1 ( ) ] dx
略去高阶小量，得
2
dw y dx 2 > 0 O
y M (x ) < 0
2
x
d w 2 dx
1
2
M (x ) < 0
d w M ( x) 所以 2 dx EIz
2
dw y dx 2 < 0 O
2
x
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§6-3 用积分法求弯曲变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 位移边界条件
~
~
光滑连续条件
A
A A AA A A AA A
~
A
A
~ ~
~
~ ~ ~
~
A A A A
~
~
~
wA 0
wA 0
wA
第六章 弯曲变形
SWUST
内容提纲
§6-1 §6-2 Hale Waihona Puke Baidu6-3 §6-4 §6-5 §6-6
工程中的弯曲变形问题 挠曲线的微分方程 用积分法求弯曲变形 用叠加法求弯曲变形 简单超静定梁 提高弯曲刚度的一些措施
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§6-1 工程中的弯曲变形问题
1）由梁的整体平衡分析可得：
y
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
2）写出x截面的弯矩方程
)
A
x
l
wB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分
d 2w EI 2 M ( x ) F ( x l ) dx
§6-2 挠曲线的微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d w M ( x) 2 dx EI z
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
2
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§6-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EIz
d 2w EI z M ( x) 2 dx
积分一次得转角方程为：
dw EI z EI z M ( x )dx C dx
再积分一次得挠度方程为：
EIz w M ( x )dxdx C x D
7-3