§15.3 收敛定理的证明 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

(8)
2
当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限
lim
t 0
sin 2
n sin
1 2 t
t
n
1 2
2
数学分析 第十五章 傅里叶级数
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确定.
§3 收敛定理的证明
证 在傅里叶级数部分和
Sn( x)
a0 2
n
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
中, 用傅里叶系数公式代入, 可得
lim
f
(x
0)
f
(x
0)
1
π
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
0.
n
2
π π
2sin t
2
或证明同时有
数学分析 第十五章 傅里叶级数
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§3 收敛定理的证明
lim
f
(
x
0)
1
π
f
(x
t)
sin
n
1 2
t
dt
0,
(10)
n 2
π0
2sin t
2
lim
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§3 收敛定理的证明
因而
a02 2
m
(an2
n1
bn2 )
1 π
π [ f ( x)]2dx,
π
对任何正整数m成立. 而 1 π [ f ( x)]2dx为有限值,
π π
所以正项级数
a02 2
(an2
n1
bn2 )
的部分和数列有界, 因而它收敛且不等式
a02
2
(an2
数学分析 第十五章 傅里叶级数
§15.3 收敛定理的证 明
§3 收敛定理的证明
本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明, 为此先 证明两个预备定理.
预备定理1（贝塞尔(Bessel)不等式）
若函数 f 在[π, π]上可积, 则
a02
2
(an2 bn2 )
n1
1 π
π π
f 2( x)dx.
所以 在[0, π]上可积. 根据预备定理1和推论2,
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§3 收敛定理的证明
lim 1
π
[
f
(x
0)
f
(x
t
)]
sin
n
1 2
t
dt
π n 0
2sin t
2
lim 1 n π
π 0
(t
)
sin
n
1 2
tdt
0.
这就证得 (12)式成立, 从而(10)式成立.
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§3 收敛定理的证明
令
(t) f ( x t) f ( x 0)
2sin t
2
t
f (x
t) t
f ( x 0) 2 sin
t
,
由此得到
2
t (0, π].
lim(t) f ( x 0) 1 f ( x 0).
t 0
再令(0) f ( x 0), 则函数 在点 t 0 右连续. 因为 在 [0, π]上至多只有有限个第一类间断点,
n1
bn2 )
1 π
π π
f 2( x)dx.
(1)
成立.
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§3 收敛定理的证明
推（论黎1 曼-勒贝格定理）
若 f 为可积函数, 则
lim
n
π π
f ( x)cos nx dx 0,
π
(5)
lim
n
-π
f ( x)sin nx dx 0,
因为(1)的左边级数收敛, 所以当 n 时, 通项 an2 bn2 0,亦即有an 0与bn 0，这就是(5)式, 这个推论称为黎曼－勒贝格定理.
(7)
其中
F1 (
x)
f
(
x)cos
x 2
,0
x
π
,
0
,π x 0,
F2 (
x)
f
(
x)sin
x 2
,0
x
π
,
0 ,π x 0.
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§3 收敛定理的证明
显见F1与 F2和 f 一样在 [π, π]上可积. 由推论1,(7) 式右端两项积分的极限在 n 时都等于零. 所以 左边的极限为零. 同样可以证明
(1)
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数. (1)式称为贝塞尔不
等式.
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§3 收敛定理的证明
证 令
Sm( x) 考察积分
a0 2
m
(an cos nx
n1
bn sin nx)
π π
[
f
(
x
)
Sm
(x
)]2dx
π π
f
2 ( x)dx
x ) du.
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§3 收敛定理的证明
令u xt ,得
Sn( x)
1 π
π x π x
f
(x
t
)
1 2
n
k1 cos kt dt.
由上面这个积分看到,被积函数是周期为 2 的函数,
因此在 [ x, x]上的积分等于 [, ] 上的积
分, 再由第十二章§3 的 (21) 式, 即
f
(x
0)
1
0
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
0.
n 2
π π
2sin t
(11)
2
先证明 (10) 式. 对 (9) 式积分后得到
1
π
π
sin
n
1 2
x
dx
1
π 2sin x
π
π π
1 2
n k 1
cos
kx
dx
1,
2
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§3 收敛定理的证明
1
n
cos kt
sin
n
1 2
t
,
2 k1
2sin t
(9)
2
数学分析 第十五章 傅里叶级数
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§3 收敛定理的证明
这就得到
Sn
(x
)
=
1 π
π π
f
(x
t)
sin
n
2sin
1 2 t
t
dt .
2
(8)式也称为f的傅里叶级数部分和的积分表达式.
Sn( x)
1 π
π x π x
用同样方法可证 (11) 也成立.
定理证毕.
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dx
π
m n1
an2
π π
cos2
nxdx
bn2
π π
sin2
nxdx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
(4)
将(3), (4)代入(2)，可得
0
π
[
π π
f
π
f ( x) Sm (x)]2dx
2( x)dx πa02 π m
2
n1
(an2
bn2
).
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m
π (an2
n1
bn bn2 ).
(3)
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§3 收敛定理的证明
对于Sm2 ( x)的积分. 应用三角函数的正交性, 有
π π
Sm2
(
x
)dx
π a0 π 2
m
(an cos nx
n1
2
bn sin nx) dx
a02 2
2
π
Sn(x)
1 2π
π π
f
(u)du
1 π
n k 1
π
f (u)cos kudu cos kx
π
π π
f (u)sin kudu
sin
kx
1 π
π π
f
(u)
1 2
n
cos kucos kx
k 1
sin kusin kxdu
1 π
π π
f
(u)
1 2
n
cos k(u
k 1
n
1 2
x
cos
x 2
sin
nx
sin
x 2
cos
nx,
π 0
f
(
x)sin
n
1 2
xdx
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§3 收敛定理的证明
π 0
f
(
x)sin
n
1 2
xdx
π 0
f
(
x)cos
x 2
sin
nxdx
π 0
f
(
x)sin
x 2
cos
nxdx
π
π
π F1( x)sin nxdx 0 F2( x)cos nxdx,
f
(x
t)
1 2
n
k1 cos kt dt.
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§3 收敛定理的证明
现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下:
定理15.3
若以 2π为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段光滑， 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数收敛于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值, 即
由于上式左边为偶函数, 因此两边乘以 f ( x 0) 后
又得到
f ( x 0) 1
π
f
(x
Hale Waihona Puke Baidu
0)
sin
n
1 2
t
dt .
2
π0
2sin t
2
从而(10)式可改写为
lim 1
π
[ f ( x 0) f
(x
t
sin )]
n
1 2
t
dt
0.
(12)
π n 0
2sin t
2
数学分析 第十五章 傅里叶级数
lim
n
0 π
f
(
x ) sin
n
1 2
xdx
0.
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§3 收敛定理的证明
预备定理2
若 f 是以2 π为周期的函数, 且在 [π, π] 上可积,
则它的傅里叶级数的部分和 Sn( x)可写成
1
Sn(x)= π
π
f
(x
t)
sin
n
1 2
t
dt ,
π
2sin t
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx),
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
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§3 收敛定理的证明
证 只要证明在每一点 x 处下述极限成立:
lim
n
f
(x
0) 2
f
(x
0)
Sn( x)
0,
即
2
π π
f ( x)Sm (x)dx
π π
Sm2
(x
)dx
.
(2)
由于
π π
f
( x)Sm (x)dx
a0 2
π
f ( x)dx
π
m
π
a0 π
(an π f ( x)cos nxdx bn π f ( x)sin nxdx),
n1
所以
π π
f
an ( x)Sm (x)dx
π 2
a02
a02
2
(an2
n1
bn2 )
1 π
π f 2( x)dx.
π
(1)
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§3 收敛定理的证明
推论2
若 f 为可积函数, 则
lim
n
π 0
f
(
x
)sin
n
1 2
xdx
0,
(6)
lim
n
π π
f
(
x)sin
n
1 2
xdx
0,
证 由于 所以 sin