数字图像处理冈萨雷斯4频域滤波基础
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4.7 频域滤波基础
4.7.1、频域的基本性质：
频域：频率变量(u,v)定义的空间。 傅里叶变换的频率分量(u,v)和图像空间特征（灰度变化模式） 之间的联系
①变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级
F (0,0)
M 1 N 1 x 0 y0
f ( x, y) MN f ( x, y)
原图 高通滤波结果 高通滤波改进结果
(b)
(c )
(b)中因为F(0,0)已被设置为0，所以几乎没有平滑的 灰度级细节，且图像较暗 在高通滤波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消除， 如图(c)所示，对滤波器加上一个滤波器高度一半的常 数加以改进（防止直流项消除，保持色调）
4.7.3 频率域的滤波步骤：
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
频率域高斯低通滤波器函数
H (u) Ae
u2 /2 2
(4.7 5)
对应空间域高斯低通滤波器为
h( x) 2 Ae
2 2 2 x2
(4.7 6)
频率域高斯高通滤波器函数
H (u) Ae
2 u2 /21
Be
(4.6 23)
对比空间域滤波：在M×N的图像f上，用m×n的滤波器进行线
性滤波
g ( x, y )
s a t b
w(s, t ) f ( x s, y t )
a
b
(3.4 1)
① (4.6-23)和(3.4-1)本质上是相似的；相差之处只在于：常数、负号及求和 的上、下限； ② 在实践中，我们宁愿使用(3.4-1)和较小的滤波器模板来实现滤波处理； ③ 滤波在频率域中更为直观，可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在 空间域使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导；
f P Q ( x , y ) ( 1) x y
3、变换到频域
x y F ( u, v ) f P Q ( x , y )( 1)
4、生成一个实的、中心对称的滤波器HPQ (u, v) ，中心在( P , Q )
频域滤波:
G(u, v ) F (u, v ) H (u, v )
1
2 2
5、变换到空间域: gPQ ( x, y)
6、取实部:
real g P Q ( x , y )
F (u, v)H(u, v)
x y g ( x , y ) real g ( x , y ) ( 1) 7、取消输入图像的乘数: p P Q
8、提取 M N 区域: gM N ( x , y ) gPQ ( x , y )的对应部分
4.7
频域滤波
陷波滤波器应用举例
f ( x, y )
1 F (u, v )H (u, v )
陷波滤波器
图4.30
由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级
的降低
4.7
频域滤波
低通滤波器：使低频通过，高频衰减的滤波器
被低通滤波的图像比原始图像少了尖锐的细节部 分而突出了平滑过渡部分 类比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器
H 33 (u, v )
图4.39
空域线性滤波 的结果
图4.36
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的频率域滤波表示为： H (u, v ) F (u, v ) 由卷积定理，该运算对应的空间域运算为：
f ( x , y )★h( x , y )
M 1 N 1 m 0 n 0
f (m, n)h( x m, y n)
4.7
频率域滤波
频域滤波
Gu,v Hu,vFu,v
H和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H的第一 个元素乘以F的第一个元素，H的第二个元素乘 以F的第二个元素
一般，F的元素为复数，H的元素为实数 H为零相移滤波器，因为滤波器不改变变换 的相位.
I (u, v ) (u, v ) arctan R(u, v )
f M N ( x, y )
f PQ ( x, y )
(1)x y f PQ ( x, y)
FP Q ( u, v )
H LP (u, v ) : P Q
H LP (u, v ) FPQ (u, v ) ( 1) x y real g PQ ( x , y ) gM N ( x, y)
空间域高斯低通滤波器 空间域高斯高通滤波器
频域高斯低通滤波器
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
结论（低通滤波器）
当
h( x ) 有很窄的 H (u) 有很宽的轮廓时( 大)， 轮廓，反之亦然。当 时， H (u) 趋于常
量函数，而
h( x ) 趋于冲激函数
两个低通滤波器的相似之处在于两个域中的 值均为正。所以，在空间域使用带正系数的 模板可以实现低通滤波
频率域低通滤波器越窄，滤除的低频成分就
空域高斯低通滤波器
越多，使得图像就越模糊；在空间域，这意 味着低通滤波器就越宽，模板就越大
频率域高斯高通滤波器
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
结论（高通滤波器）
空间域滤波器有正值和负值，一旦值变为负 数，就再也不会变为正数
为什么频率域中的内容在空间域要使用
4.7
频域滤波
1、对要滤波的图像 f M N ( x, y) 进行填充得到 f PQ ( x, y) ，典 Matlab function: 型地：P=2M,Q=2N 2、用 (1)
x y
乘以输入图像进行中心变换
F (u P Q ,v ) 2 2
Fc=fftshift(fft2(f))
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少了灰度级的平滑过 渡而突出了边缘等细节部分
类比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
4.7
频域滤波
低通滤波器和高通滤波器举例
低通滤波函数 低通滤波结果：模糊
原图
高通滤波结果：锐化
高通滤波函数
图4.31
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4.2.3 频域滤波
低通滤波器和高通滤波器举例
2 u2 /2 2
(4.7 7)
A B , 1 2
对应空间域高斯高通滤波器为
h( x ) 2 1 Ae
2 2 2 2 1 x
2 2 Be
2 2 2 2 2 x
(4.7 8)
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
图4.37
频率域高斯低通滤波器 频率域高斯高通滤波器
(4.6 21)
②当从变换的原点移开时，低频对应着图像的慢变化分量， 如图像的平滑部分 ③进一步离开原点时，较高的频率对应图像中变化越来越 快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分
4.7
频域滤波
4.7.2、频域中的滤波基础：
频率域滤波的基本步骤
H (u, v ) 中心对称的函数（滤波器）
思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换， 然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像
小空间模板?
频率域可以凭直观指定滤波器
空间域滤波效果取决于空间模板的大小
空间域高斯高通滤波器
f ( x, y ) : 600 600
F (u, v ) : 600 600
例4.15
图4.38
h33 ( x, y)
H (u, v ) : 602 602
g( x, y) 1 H (u, v)F (u, v) h33 ( x, y)☆ f602602 ( x, y)
G( u, v ) F ( u, v ) H ( u, v )
4.7
频域滤波
三、一些基本的滤波器及其性质
陷波滤波器（带阻滤波）
M N 0 ( u , v ) ( , ) H ( u, v ) 2 2 其它 1
设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为零)，而保留 其它傅里叶变换的频率成分不变 除了原点处(0,0)有凹陷外，其它均是常量函数。 由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低 用于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间 图像效果
4.7.1、频域的基本性质：
频域：频率变量(u,v)定义的空间。 傅里叶变换的频率分量(u,v)和图像空间特征（灰度变化模式） 之间的联系
①变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级
F (0,0)
M 1 N 1 x 0 y0
f ( x, y) MN f ( x, y)
原图 高通滤波结果 高通滤波改进结果
(b)
(c )
(b)中因为F(0,0)已被设置为0，所以几乎没有平滑的 灰度级细节，且图像较暗 在高通滤波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消除， 如图(c)所示，对滤波器加上一个滤波器高度一半的常 数加以改进（防止直流项消除，保持色调）
4.7.3 频率域的滤波步骤：
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
频率域高斯低通滤波器函数
H (u) Ae
u2 /2 2
(4.7 5)
对应空间域高斯低通滤波器为
h( x) 2 Ae
2 2 2 x2
(4.7 6)
频率域高斯高通滤波器函数
H (u) Ae
2 u2 /21
Be
(4.6 23)
对比空间域滤波：在M×N的图像f上，用m×n的滤波器进行线
性滤波
g ( x, y )
s a t b
w(s, t ) f ( x s, y t )
a
b
(3.4 1)
① (4.6-23)和(3.4-1)本质上是相似的；相差之处只在于：常数、负号及求和 的上、下限； ② 在实践中，我们宁愿使用(3.4-1)和较小的滤波器模板来实现滤波处理； ③ 滤波在频率域中更为直观，可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在 空间域使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导；
f P Q ( x , y ) ( 1) x y
3、变换到频域
x y F ( u, v ) f P Q ( x , y )( 1)
4、生成一个实的、中心对称的滤波器HPQ (u, v) ，中心在( P , Q )
频域滤波:
G(u, v ) F (u, v ) H (u, v )
1
2 2
5、变换到空间域: gPQ ( x, y)
6、取实部:
real g P Q ( x , y )
F (u, v)H(u, v)
x y g ( x , y ) real g ( x , y ) ( 1) 7、取消输入图像的乘数: p P Q
8、提取 M N 区域: gM N ( x , y ) gPQ ( x , y )的对应部分
4.7
频域滤波
陷波滤波器应用举例
f ( x, y )
1 F (u, v )H (u, v )
陷波滤波器
图4.30
由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级
的降低
4.7
频域滤波
低通滤波器：使低频通过，高频衰减的滤波器
被低通滤波的图像比原始图像少了尖锐的细节部 分而突出了平滑过渡部分 类比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器
H 33 (u, v )
图4.39
空域线性滤波 的结果
图4.36
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的频率域滤波表示为： H (u, v ) F (u, v ) 由卷积定理，该运算对应的空间域运算为：
f ( x , y )★h( x , y )
M 1 N 1 m 0 n 0
f (m, n)h( x m, y n)
4.7
频率域滤波
频域滤波
Gu,v Hu,vFu,v
H和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H的第一 个元素乘以F的第一个元素，H的第二个元素乘 以F的第二个元素
一般，F的元素为复数，H的元素为实数 H为零相移滤波器，因为滤波器不改变变换 的相位.
I (u, v ) (u, v ) arctan R(u, v )
f M N ( x, y )
f PQ ( x, y )
(1)x y f PQ ( x, y)
FP Q ( u, v )
H LP (u, v ) : P Q
H LP (u, v ) FPQ (u, v ) ( 1) x y real g PQ ( x , y ) gM N ( x, y)
空间域高斯低通滤波器 空间域高斯高通滤波器
频域高斯低通滤波器
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
结论（低通滤波器）
当
h( x ) 有很窄的 H (u) 有很宽的轮廓时( 大)， 轮廓，反之亦然。当 时， H (u) 趋于常
量函数，而
h( x ) 趋于冲激函数
两个低通滤波器的相似之处在于两个域中的 值均为正。所以，在空间域使用带正系数的 模板可以实现低通滤波
频率域低通滤波器越窄，滤除的低频成分就
空域高斯低通滤波器
越多，使得图像就越模糊；在空间域，这意 味着低通滤波器就越宽，模板就越大
频率域高斯高通滤波器
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
结论（高通滤波器）
空间域滤波器有正值和负值，一旦值变为负 数，就再也不会变为正数
为什么频率域中的内容在空间域要使用
4.7
频域滤波
1、对要滤波的图像 f M N ( x, y) 进行填充得到 f PQ ( x, y) ，典 Matlab function: 型地：P=2M,Q=2N 2、用 (1)
x y
乘以输入图像进行中心变换
F (u P Q ,v ) 2 2
Fc=fftshift(fft2(f))
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少了灰度级的平滑过 渡而突出了边缘等细节部分
类比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
4.7
频域滤波
低通滤波器和高通滤波器举例
低通滤波函数 低通滤波结果：模糊
原图
高通滤波结果：锐化
高通滤波函数
图4.31
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4.2.3 频域滤波
低通滤波器和高通滤波器举例
2 u2 /2 2
(4.7 7)
A B , 1 2
对应空间域高斯高通滤波器为
h( x ) 2 1 Ae
2 2 2 2 1 x
2 2 Be
2 2 2 2 2 x
(4.7 8)
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
图4.37
频率域高斯低通滤波器 频率域高斯高通滤波器
(4.6 21)
②当从变换的原点移开时，低频对应着图像的慢变化分量， 如图像的平滑部分 ③进一步离开原点时，较高的频率对应图像中变化越来越 快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分
4.7
频域滤波
4.7.2、频域中的滤波基础：
频率域滤波的基本步骤
H (u, v ) 中心对称的函数（滤波器）
思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换， 然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像
小空间模板?
频率域可以凭直观指定滤波器
空间域滤波效果取决于空间模板的大小
空间域高斯高通滤波器
f ( x, y ) : 600 600
F (u, v ) : 600 600
例4.15
图4.38
h33 ( x, y)
H (u, v ) : 602 602
g( x, y) 1 H (u, v)F (u, v) h33 ( x, y)☆ f602602 ( x, y)
G( u, v ) F ( u, v ) H ( u, v )
4.7
频域滤波
三、一些基本的滤波器及其性质
陷波滤波器（带阻滤波）
M N 0 ( u , v ) ( , ) H ( u, v ) 2 2 其它 1
设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为零)，而保留 其它傅里叶变换的频率成分不变 除了原点处(0,0)有凹陷外，其它均是常量函数。 由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低 用于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间 图像效果