吉林省扶余市第二实验学校2021届高三下学期3月月考文科数学试卷 (A)含答案
2021年高三下学期第三次月考数学(文)试题 含答案
2021年高三下学期第三次月考数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1、设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N = （）A、 C、( 2,3] D、2、函数的定义域为R，且满足等于（）A．-9 B．9 C．-3 D．03、正项等比数列{a n}中，S2=7，S6=91，则S4为（）A．28 B．32 C．35 D．49 4、数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n－1，…的前n项和为（）A．2n－n－1 B．2n+1－n－2 C．2n D．2n+1－n5、当时，幂函数为减函数，则实数（）A．m=2 B．m=-1 C．m=2或m=-1 D．6、下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是 ( )A．y＝log 12x B．y＝2x－1 C．y＝x2－12D．y＝－x37、已知向量，，若，则（）A.1B.-3C.-1D.38、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )A．－45B．－35C.35D.459、设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|，则a与b夹角为（）A． B． C． D．10、已知，则下列选项中错误的是（）A．①是的图象B．②是的图象C．③是的图象 D．④是的图象二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、已知，(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则 .12、定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：①是周期函数且T=2 ②的图像关于直线对称；③在上是增函数；④.其中正确的判断是 .13、数列{a n}的通项公式是a n =(n∈N*)，若前n项的和为10，则项数为 .14、如图，函数y=2sin(πx+φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点（0，1）．设P 是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，则的夹角余弦值为 .15、设向量＝(sinx，cosx)，＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝·(＋)．则使不等式f(x)≥成立的x的取值集合为 .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案11.12.13.14.15三．解答题（本大题共3小题，共25分）16、（8分）已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围17、（8分）已知△ABC的面积S满足, 且,与的夹角为.(I) 求的取值范围;(II)求函数的最小值.18、（9分）已知数列是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）令求数列前n项和的公式．高三第三次月考数学（文）答案一、ABABA, BDBCD 二、11. 3 12. 1，2，4 13.120. 14.15.三、16.解：，则,17、解:(1)由题意知,, ………………①,…………②………(2分)由②÷①, 得, 即由得, 即.……………(4分)又为与的夹角, ∴, ∴…(6分)(2)θθθθθθθ222cos22sin1cos3cossin2sin)(f++=+⋅+=……………(9分)∵, ∴.……………(10分)∴, 即时, 的最小值为3. (12)18、解析：设数列公差为，则又所以(Ⅱ)解：令则由得① ②当时，①式减去②式，得 ,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n n n n n nx xx x nx x x x S x 所以当时， ，综上可得当时， 当时，g`25785 64B9 撹 829804 746C 瑬37225 9169 酩<29188 7204 爄34631 8747 蝇K27402 6B0A 權39458 9A22 騢33653 8375 荵。
2021年高三3月月考数学文试题 含答案
2021年高三3月月考数学文试题 含答案注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3. 答非选择题时，必须使用0. 5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，则的子集的个数为（ ）A ．2个 B.3个 C.4个 D.5个2．若log m n ＝－1，则m ＋3n 的最小值为（ ）A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4 3．有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（ ）A. 5,10,15,20,25B. 5,12,31,39,57C. 5,15,25,35,45D. 5,17,29,41,53 4．如果复数，（i 为虚数单位，a ∈R），则实数a 的值是（ ） A. B.2 C. D.45. 如图，若依次输入的的值分别为一个三角形的两个内角，相应输出的的值分别为、，当时，可判定该三角形为（ ）A ．直角三角形B ．直角或等腰三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 6．某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．14C ．34D ．56 7．“”是“在区间上不存在零点”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要8．已知点中分别表示男生小A,女生小W 随机的到教室的时间，其中，则使方程有实根的概率为（ ）A. B. C. D.9．对于抛物线上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足，则的取值范围是 （ ）A ． B. C. D.10.设函数在其定义域上的取值不恒为0，且.若且成等差数列，则与的大小关系为（ ） A. B.C. D.以上都有可能二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在答题卡相应位置上. 11．已知两圆相交于A （1，3），B （）两点，且两圆圆心都在直线上， 则= .12．若函数对任意的都有，则 .13．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为 . 14．已知数列{}中，，且对任意正整数，，求数列{}的前xx 项和为 .15．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则的最小值为 .三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）为了解某校高三学生3月月考数学成绩的分布情况，从该校参加考试的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一组至第五组数据的频率之比为1:2:8:6:3，最后一组数据的频数为6． （1）估计该校高三学生3月月考数学成绩在[125，140]上的概率，并求出样本容量；（2）从样本中成绩在[65，95)上的学生中任选2人，求至少有1人成绩在[65，80)上的概率．A B C D E P（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知数列为等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）求使…成立的最小正整数的值.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知(2cos23sin,1),(cos,)m x x n x y=+=-，满足．（1）将表示为的函数，并求的最小正周期和单调递增区间；（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问4分）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4, BD＝，AB＝2CD＝8.（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（3）求四棱锥P－ABCD的体积．（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知函数（其中e是自然对数的底数，k为正数）（I）若在处取得极值，且是的一个零点，求k的值；（II）若，求在区间上的最大值.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分.）已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，其长轴长与短轴长的和等于6．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，ABCMPD直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．数学（文）试题答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C CD D B D B A B A二、填空题（每小题5分，共25分）11、12、13、14、15、三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）为了解某校高三学生3月月考数学成绩的分布情况，从该校参加考试的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一组至第五组数据的频率之比为1:2:8:6:3，最后一组数据的频数为6．（1）估计该校高三学生3月月考数学成绩在[125，140]上的概率，并求出样本容量；（2）从样本中成绩在[65，95)上的学生中任选2人，求至少有1人成绩在[65，80)上的概率．解：（Ⅰ）估计该校高三学生9月调考数学成绩在[125，140]上的概率为P＝31＋2＋8＋6＋3＝320．………3分设样本容量为n，则6n＝320，解得n＝40．………………………………………6分（Ⅱ）样本中成绩在[65，80)上的学生有120×40＝2人，记为x，y；成绩在[80，95)上的学生有220×40＝4人，记为a，b，c，d．…………………8分从上述6人中任选2人的基本事件有：{x，y}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{x，d}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{y，d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，共15个，记“从上述6人中任选2人，至少有1人在[65，80)上”为事件A，则事件A包含的基本事件有：{x，y}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{x，d}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{y，d}，共9个．………………11分故所求概率P(A)＝915＝35．………………………………………………………13分（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知数列为等差数列，且 （1）求数列的通项公式；（2）求使…成立的最小正整数的值. 17、 （1）设等差数列的公差为d ，由得即d =1； …………3分 所以即 …………6分（2）因为 …………8分 所以…………11分即故： ，所以成立的最小正整数=11. ……13分 （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足． （1）将表示为的函数，并求的最小正周期和单调递增区间；（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围． 18．解（1）由得 …………3分即22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x x π=+=+=++所以，…………5分其最小正周期为，单调递增区间为…………7分 （2）因为，则.因为为三角形内角，所以 …………9分法一：由正弦定理得，，)6sin(4)32sin(334sin 334sin 334sin 334ππ+=-+=+=+B B B C B c b ……11分 ，，，所以的取值范围为 …………13分 法二：，因此， 因为，所以，，…………11分.又，所以的取值范围为 …………13分 （19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分， （Ⅲ）小问4分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，M 是PC 上的一点，已知AD ＝4, BD ＝，AB ＝2CD ＝8. （1）证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？（3）求四棱锥P －ABCD 的体积．19．解：（Ⅰ）在△ABD 中，∵AD ＝4, BD ＝, AB ＝8，∴． ∴ AD ⊥BD 又 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD ＝AD ，BD 平面ABCD ， AB CM P D∴BD⊥平面PAD．又BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD. ……………4分（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，P A∥平面MBD.证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．∵AB＝2CD，∴ CN : NA＝1 : 2．又∵CM : MP＝1 : 2，∴CN : NA＝CM : MP ∴ PA∥MN.∵ PA平面MBD，MN平面MBD，∴ PA∥平面MBD.……………8分（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P－ABCD的高.又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴.在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面积.故. ……………12分（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知函数（其中e是自然对数的底数，k为正数）（I）若在处取得极值，且是的一个零点，求k的值；（II）若，求在区间上的最大值. 20．（1）由已知得，即…………3分又即…………6分（2），，由此得时，单调递减；时单调递增，故…………8分又，当即时…10分当即时，…………12分（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分.）已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，其长轴长与短轴长的和等于6．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．21．解：（Ⅰ）由e＝ca＝a2－b2a＝32，得a＝2b．①又2a＋2b＝6，即a＋b＝3．②解①②，得a＝2，b＝1．故椭圆E的方程为x24＋y2＝1．……………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），知A1(0，1)，A2(0，－1)，设P(x0，y0)，则直线PA 1的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1；直线PA 2的方程为y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1．设G (12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h ），则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2，|OG |2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2，∴|OT |2＝|OG |2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 201－y 20． ∵x 204＋y 20＝1，即x 20＝4(1－y 20)，∴|OT |2＝4(1－y 20)1－y 20＝4，∴|OT |＝2．即线段OT 的长为定值2．……………12分 （注：其它解法相应给分）37214 915E 酞b36321 8DE1 跡36598 8EF6 軶21140 5294 劔29623 73B7 玷33473 82C1 苁34812 87FC 蟼25967656F 敯20162 4EC2 仂 h=26051 65C3 旃。
2021年高三数学第二学期3月月考试卷 理(含解析)
2021年高三数学第二学期3月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（） A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= ．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．xx学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得 m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：A．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007考点：数列递推式．专题：推理和证明．分析：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…，寻找其规律，即可求出|P xx P xx|．解答：解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…∴|P1P2|=1，|P2P3|=，|P3P4|=2，|P4P5|=，…，∴|P xx P xx|=21006．故答案为：21006．点评：本题考查合情推理，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．解答：解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．点评：本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为37 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37点评：本题主要考查线性规划的应用，利用圆和x轴相切，求出b，以及数形结合是解决本题的关键．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．解答：解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．点评：本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= 5 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：利用相交弦定理得出DE=，再利用△DFE∽△DEB，得出DF•DB=DE2=5．解答：解：∵AB=6，AE=1，∴EB=5，OE=2．连接AD，则△AED∽△DEB，∴=，∴DE=．又△DFE∽△DEB，∴=，即DF•DB=DE2=5．故答案为：5点评：此题考查了垂径定理、直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．解答：解：（1）散点图如图所示…（3分）（2）由题设=3，=1.6，…（4分）∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…（9分）故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…（12分）点评：本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE；（2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC；（3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E 的正切值．解答：解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．点评：考查中位线的性质，平行四边形的概念，线面平行的判定定理，能根据折叠前图形的边角值得到折叠后对应的边角值，直角三角形边的关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义及求法．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．考点：数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）令n=1，得，由a1=1，得a2=2．当n≥2时，推导出，由此利用累乘法能求出a n=n．（2）由b n====＜，利用放缩法和不等式的性质能证明T n＜．解答：（1）解：∵S n=n•a n+1，n∈N*，∴令n=1，得，由已知a1=1，得a2=2．…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即，即得：，n≥2，…（4分）∴，n≥3，即，n≥3，…（6分）又∵a2=2，∴a n=n，又∵a1=1，∴a n=n，n∈N*．…（7分）（2）证明：∵a n=n，∴b n====＜，…（11分）∴T n=b1+b2+…+b n＜=（）==，∴T n＜．…（14分）点评：本题考查数列的通项公式和不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和放缩法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出M的坐标，由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），写出|MC2|，利用配方法求其最小值，则|MN|的最小值为|MC2|的最小值减去圆的半径；（2）设出P，A，B的坐标，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），由点到直线的距离公式得到方程，则其两根为PA，PB的斜率，利用根与系数关系得到其两根和，再把y﹣x02=k（x﹣x0）代入y=x2得，，结合x0是此方程的根得到x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，然后把AB的中点D的横坐标x用含有x0的代数式表示，再利用单调性结合x0的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围．解答：解：（1）设M（x，y），由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），则|MC2|===．当且仅当M（）时取“=”，∴|MN|的最小值为；（2）设P（x0，），，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），①则，即，设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，∴，，将①代入y=x2得，，由于x0是此方程的根，故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，∴AB的中点D的横坐标x===．∵y=是[2，4]上的减函数，且2≤x0≤4，∴y∈，则x．点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，其中涉及到直线与圆相切的问题，考查了学生的逻辑思维能力和运算能力，是压轴题．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=+x﹣（1+a）=，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；（2）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；从而可化出当＞1时，＞﹣；从而证明．解答：解：（1）f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=+x﹣（1+a）=；①当a=1时，f′（x）≥0，f（x）在定义域上是增函数；②当a＞1时，1＜x＜a时，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（1，a）；单调增区间为（0，1），（a，+∞）；③当0＜a＜1时，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（a，1）；单调增区间为（0，a），（1，+∞）；④当a＜0时，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）；（2）证明：由（1）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；即lnx≤x2﹣x，当＞1时，＞﹣；故+++…+＞﹣+﹣+…+﹣=﹣=；故m（m+n）[+++…+]＞n．点评：本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用，属于中档题．37577 92C9 鋉#828647 6FE7 濧-4+40618 9EAA 麪37130 910A 鄊I24990 619E 憞31688 7BC8 篈 21141 5295 劕。
2021-2022学年吉林省白城市洮南市高二年级下册学期第三次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省白城市洮南市第一中学高二下学期第三次月考数学试题一、单选题1．（，）可以表示为（ ）()()()()34910n n n n --⋅⋅⋅--*n ∈N 10n >A ．B ．C ．D ．83C n -810A n -73A n -83A n -【答案】D【分析】根据排列数和组合数计算公式计算4个选项，得到正确答案.【详解】，()()()()83C 872134910n n n n n ---=⨯⨯⋅⋅⋅-⨯-⨯ ，()()()()81010111617A n n n n n -=--⋅⋅⋅--，()()()73A 349n n n n -=--⋅⋅⋅-，D 正确.()()()()83A 34910n n n n n -=--⋅⋅⋅--故选：D2．某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y （单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：月份（x ）5678日平均用电量（y ）1.93.4t7.1若y 与x 线性相关，且求得其线性回归方程，则表中t 的值为（ ）A ．5.8B ．5.6ˆ 1.787.07yx =-C ．5.4D ．5.2【答案】B【分析】由样本中心必在回归直线上即可求解.(),x y 【详解】解：由表格中的数据可得，，5678 6.54x +++== 1.9 3.47.112.444t ty ++++==将点代入回归直线方程得，解得．(,x y 12.4 1.78 6.57.07 4.54t+=⨯-= 5.6t =故选：B ．3．函数的极值点的个数为( )431143y x x =-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】因为，所以,由得,当变化时，431143y x x=-()322'1y x x x x =-=-'0y =120,1x x ==x 的变化情况如下表',y y x(),0∞-0()0,11()1,+∞'y --+y无极值极小值由表可知，函数只有一个极值点，故选B.4．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．35251223【答案】B【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条A B ()P A ()P AB 件概率的计算公式，即可求解.【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件，其概率为，A 2536C 1()C 2P A ==设女生乙被选中为事件，B 则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，1436C 1()C 5P AB ==所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为. ()1()25|1()52P AB P B A P A ===故选：B.5．4个男生，3个女生站成一排，且甲乙二人之间恰好有三个人，则不同的排法种数为（ ）A ．360个B ．480个C ．720个D ．960个【答案】C【分析】选三人排在甲乙之间，然后捆绑在一起与其他2人排列，由此可得．【详解】从5人选3人排在甲乙之间，这5人捆绑一起与其他2人全排列，方法数为：．323523A A A 720=故选：C ．6．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表x y 所示：根据表中的数据可得回归直线方程，，以下说法正确的是（ ）ˆ 2.27 1.08y x =-20.96R ≈广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9销售量y3.85.47.011.6122A ．销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的yB ．销售量的多少有4%是由广告支出费用引起的yC ．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果一般3ˆ1e =-D ．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果较好3ˆ1e =【答案】A【分析】根据已知条件结合残差和相关系数的定义可得答案.【详解】因为表示解释变量对于预报变量的贡献率，，所以销售量的多少有96%由2R 20.96R ≈y 广告支出费用引起的，故A 正确，B 错误；当时，第三个样本点对应的残差为，又，4x =ˆ7 2.274 1.081=-⨯+=-y 20.96R ≈故拟合效果较好，故CD 错误.故选：A.7．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11038252225【答案】A 【分析】令“玩手机时间超过2h 的学生”，“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查1A =2A =一人，利用全概率公式计算即可.【详解】令“玩手机时间超过2h 的学生”，“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查1A =2A =一人，此人近视”，则，且，互斥，，，，，12A A Ω= 1A 2A ()10.4P A =()20.6P A =()1|0.6P B A =()0.3P B =依题意，，()()()()()()11222||0.40.60.6|0.3P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=解得，所以所求近视的概率为．()21|10P B A =110故选：A8．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲、乙胜的概率都为,则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为( )12A ．6∶1B ．7∶1C ．3∶1D ．4∶1【答案】B【分析】由题意，可知奖金分配比即为甲、乙取胜的概率比，甲前两局已胜，甲胜有3种情况，分别求解其概率，利用互斥事件的概率求和公式，即可求解.【详解】由题意，可知奖金分配比，即为甲、乙取胜的概率比，甲前两局已胜，甲胜有3种情况:①甲第三局胜为A 1，P(A 1)=；②甲第三局负、第四局胜为A 2，P(A 2)=；③第三局、第12111224⨯=四局甲负,第五局甲胜为A 3，P(A 3)=，所以甲胜的概率P=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=，乙胜11112228⨯⨯=78的概率则为，故选B.18【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率计算问题，其中解答中认真审题，得出甲胜有3中情况，分别求解其概率，再利用互斥事件的概率求和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、多选题9．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（ ）22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．9n =11n =C ．常数项是672D ．展开式中所有项的系数和是-1【答案】AD【分析】求得的值判断选项AB ；求得常数项的值判断选项C ；求得展开式中所有项的系数和判n 断选项D.【详解】由，可得，则选项A 判断正确；选项B 判断错误；27C C n n =9n =的展开式的通项公式为22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭929399C (2)(2)C r r r r r r r x x x ----=-令，则，则展开式的常数项是.选项C 判断错误；930r -=3r =339(2)C 672-=-展开式中所有项的系数和是.判断正确.292111⎛⎫- ⎪⎭=-⎝故选：AD10．已知随机变量，满足，且，则下列说法正确的是（ ）ξη25ξη+=()~10,0.2B ξA ．B ．()()46P P ξξ===()1E η=C ．D ．()0.64D η=() 1.6D E ξξ-=⎡⎤⎣⎦【答案】BD 【分析】因为，可判断A ；因为可求出，由方差和标准差的()~10,0.2B ξ()~10,0.2B ξ()(),E D ξξ性质，可判断B 、C 、D.【详解】因为随机变量，满足，且，所以ξη25ξη+=()~10,0.2B ξ对于A ，，所以A 不正确；()()()()()()466446101040.20.8,60.20.8P C P C ξξ====对于B ，，，()~10,0.2B ξ()100.22E ξ=⨯=，所以B 正确；()()()52525221E E E ηξξ=-=-=-⨯=对于C ，，，()~10,0.2B ξ()100.20.8 1.6D ξ=⨯⨯=，所以C 不正确；()()()25224 1.6 6.4D D D ηξξ=-==⨯=对于D ，，所以D 正确.()() 1.6D E D ξξξ⎡⎤-==⎣⎦故选：BD.11．已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，X Y ~X N，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（ ）()211,μσ()222~,Y N μσ参考数据：若，则，()2~,Z N μσ()0.6827P Z μσμσ-≤≤+≈()220.9545P Z μσμσ-≤≤+≈A ．()111120.8186P X μσμσ-<<+≈B ．()()21P Y P Y μμ≥<≥C ．()()21P X P X σσ≤<≤D ．对于任意的正数，有t ()()P X t P Y t ≤>≤【答案】ABD【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．μσ【详解】对于A ，，故A 选项正确；()111112(0.68270.9545)0.81862P X μσμσ-<<+≈+⨯=对于B ，由正态分布密度曲线，可知，所以，故B 选项正确；12μμ<21()()P Y P Y μμ<≥≥对于C ，由正态分布密度曲线，可知，所以，故C 选项错误；12σσ<21()()P X P Xσσ>≤≤对于D ，对于任意的正数，由图象知表示的面积始终大于表示的面积，所以t ()P X t ≤()P Y t ≤，D 选项正确，()()P X t P Y t ≤>≤故选：ABD ．12．已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）()ln f x x x =120x x <<A ．B ．()()2112<x f x x f x ()()1122+<+x f x x f x C ．D ．当时，()()12120f x f x x x -<-ln 1x >-()()()1122212x f x x f x x f x +>【答案】AD【分析】设，函数单调递增，可判断A ；设，则()()ln f x g x x x ==()g x ()()h x f x x =+不是恒大于零，可判断B ；，不是恒小于零，可判断C ；()ln 2h x x ='+()ln f x x x=()ln 1'=+f x x 当时，，故，函数单调递增，故1x e >ln 1x >-()ln 10f x x +'=>()ln f x x x =，()()()()()()()2121112221120x x f x f x x f x x f x x f x x f x ⎡⎤--=+-->⎣⎦即，由此可判断D.得选项.()()()()11222112+x f x x f x x f x x f x +>【详解】解： 对于A 选项，因为令，在上是增函数，所以当()()ln f x g x x x ==()0,+¥时，，所以，即．故A 选项正确；120x x <<()()12g x g x <1212()()f x f x x x <()()2112<x f x x f x 对于B 选项，因为令，所以，所以时，()()ln g x f x x x x x=+=+()ln 2g x x '=+()2,x e -∈+∞单调递增，时，单调递减．所以与无()()0,g x g x '>()20,x e -∈()()0,g x g x '<()11x f x +()22xf x +法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令，所以时，在单调递减，()ln 1f x x '=+10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '<10,e ⎛⎫⎪⎝⎭时，在单调递增，所以当时，，故1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '>1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1210x x e <<<()()12f x f x >成立，当时，，．故C 选项错误；1212()()0f x f x x x -<-121e x x <<()()12f x f x <1212()()0f x f x x x ->-对于D 选项，由C 选项知，当时，单调递增，又因为A 正确，成ln 1x >-()f x ()()2112<x f x x f x 立，所以()()()()()()()112221112221122x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ⋅⋅⋅--⋅+->+,故D 选项正确.()()()()112212x f x f x f x f x x =-+⎡-⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()()12120x x f x f x =-->⎡⎤⎣⎦故选：AD ．【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.三、填空题13．在一组样本数据不相等）的散点图中，若所有样本点1122(,),(,),x y x y ...(),,n n x y 12(2,,n n x x x ≥ 都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为_________()(),1,2,,i i x y i n =⋯132y x =+【答案】1【分析】根据样本相关系数的定义及直线的斜率为正，得到相关系数为1.【详解】因为所有样本点都在直线上，且直线的斜率为，132y x =+132y x =+102>故相关系数为1.故答案为：114．在的展开式中，的系数为__________．25(2)x x y ++52x y 【答案】60【详解】, 而在中 ， 223235(2)T C x x y =+23(2)x x +236133()(2)2k k k k k k k T C x x C x --+==⋅⋅'65,1k k -==，，则 ，的系数为60.5232T x ='⨯52523103260T x y x y =⨯⨯=52x y 15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.【答案】96【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，分析6个区域的涂色方A B C D E F 案数，再根据分步计数原理计算即可.【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：A B C D E F要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，A 、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，B C D E F A 所以共有种涂色方案.32222296⨯⨯⨯⨯⨯=故答案为：96【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.16．已知，若关于x 的方程有3个不同实根，则实数取值范围为()3,0e 3,0xxx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩()f x a =a ______．【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问()y f x =题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.a 【详解】当时，，，0x ≥()e xx f x =()1e xxf x -'=当时，，当时，，[)0,1x ∈()10e x xf x -'=>()1,x ∈+∞()10e x x f x -'=<故在上单调递增，在上单调递减，()f x [)0,1x ∈()1,x ∈+∞且，当时，恒为正，()11e f =0x >()e xxf x =当时，，，0x <()33=-f x x x ()()()233311f x x x x '=-=+-当时，，当时，，(),1x ∈-∞-()2303'=-<f x x ()1,0x ∈-()2303'=->f x x 故在上单调递减，在上单调递增，()f x (),1x ∈-∞-()1,0x ∈-且，()1312f -=-+=-画出的图象如下：()3,0e 3,0xxx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩要想关于x 的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，()f x a=()y f x =y a =显然当时，符合要求.10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中.（1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【答案】（1）119种（2）31种【分析】(1)利用间接法可得满足题意的方法数.(2)由分类加法计数原理结合分步乘法计数原理可得满足题意的方法数.【详解】（1）利用间接法可知满足题意的投放方法为：种.551119A -=（2）分为三类：第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种；第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的35C 编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有种；35110C ⨯=第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的25C 编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有种.35220C ⨯=根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有种.1102031++=【点睛】本题主要考查间接法的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.2313(1)求甲恰好在第四局获胜的概率是多少？(2)记表示比赛决出胜负时的总局数，求的分布列与期望.X X【答案】(1)881(2)分布列见解析；22481【分析】（1）根据题意，分析甲在每局的胜负情况即可求解.（2）根据题意先确定随机变量的取法，再分别求解对应概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】（1）由题意可知，比赛四局，甲获胜，则第一局甲胜，第二局甲负，第三局甲胜，第四局甲胜，故甲恰好在第四局获胜的概率是.21228333381P =⨯⨯⨯=（2）由题可知，的可能取值为2，3，4，5，X ,22115(2)33339P X ==⨯+⨯=,1222112(3)3333339P X ==⨯⨯+⨯⨯=,2122121110(4)3333333381P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=;8(5)1(2)(3)(4)81P X P X P X P X ==-=-=-==所以的分布列为：X X2345P59291081881数学期望.52108224()234599818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19．2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）天文爱好者非天文爱好者合计女2050男15合计100附：，其中.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率.【答案】(1)表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；(2)910【分析】（1）完善列联表，计算卡方，与7.879比较后得到结论；（2）先根据分层抽样的定义求出抽取的5人中，2名为“天文爱好者”，3名为“非天文爱好者”，从而利用列举法求出相应的概率.【详解】（1）天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100()()()()()222100(20153035)9.0917.87950505545n ad bc K a b c d a c b d ⨯-⨯≈>-=+++⨯⨯+⨯故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；（2）因为抽取的女性人群中，“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型人数比为，20:302:3=故按分层抽样抽取的5人中：2名为“天文爱好者”，编号为a 、b ；3名为“非天文爱好者”，编号为1、2、3，则从这5人中随机选出3人，所有可能结果如下：ab 1，ab 2，ab 3，a 12，a 13，a 23，b 12，b 13，b 23，123，共10种情况，其中至少有1人是“天文爱好者”的有9种，概率为.∴91020．已知.()()()()2111ng x x x x =++++⋅⋅⋅++2012nn a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+(1)若，求121253n a a a n -++⋅⋅⋅+=-n(2)当，时，求除以7所得的余数.1x =29n =()g x 【答案】(1)7(2)6【分析】（1）令，根据等式的特点，结合等比数列前项和公式求出、的值，进而求出1x =n 0a n a 的值；n （2）根据等比数列前项和公式，结合二项式定理进行求解即可.n 【详解】（1）令，，1x =()210122(12)12222212n nn n g a a a a +⋅-=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+==--又，，所以，0a n =1n a =1121122n n n a a a +-+++⋅⋅⋅++=-故，所以，1121221253n n a a a n n +-++⋅⋅⋅+=---=-7n =（2）当，时，1x =29n =，()292293010212)1222228212g -=++⋅⋅⋅+==-=--（而()10101019282919101010182(71)2771717112g C C C =-=+-=+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+- 化简得：，()1019288291101010101777771g C C C C =+⋅+⋅++⋅+⋅- 因此除以7所得的余数6.()1g 所以当，时，除以7所得的余数为61x =29n =()g x 21．随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y （万辆）5078126121137352(1)根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（结果保留整数）(2)若用模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为，请分别利用（1）与（2）e nxy m =0.331ˆ37.7e =x y 中两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；参考数据：设，其中．ln u y =ln i i u y =yu61()()iii x x y y =--∑61()()i ii x x uu =--∑ 3.63e 5.94e 6.27e 144 4.78841 5.7037.71380528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ），其回归直线(),i i x y 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，ˆˆˆybx a =+121()()ˆ())niii ni ii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆay bx =-【答案】(1)4824ˆyx =-(2)312万辆，380万辆【分析】（1）根据表中数据和参考数据，得出，，，的值，运用x y ()()61i i i x xy y=--∑()21ni i x x=-∑最小二乘法求回归直线方程即可；（2）根据回归方程，代入的值即可求出预测值.x 【详解】（1）由表中数据得，，，，123456 3.56x +++++==144y =()()61841i ii x x y y =--=∑()()()()()()()22222221234561nii x x x x xxxxxxxxxx=-=-+-+-+-+-+-∑()()()()()()2222221 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.5=-+-+-+-+-+-，17.5=，，()()()121841ˆ4817.5niii nii x x y y x x b==--∴=≈-=∑∑ˆˆ14448 3.524a b y x =-=-⨯=- y 关于x 的线性回归方程为：；∴4824ˆyx =-（2）由（1）知，y 关于x 的线性回归方程为：，4824ˆyx =-当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：7x =（万辆）；487ˆ24312y =⨯-=对于回归方程，0.3337.71e x y =当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：7x =（万辆）．0.337 3.63 2.31 5.9437.71e e e e 380y ⨯==⨯==22．已知函数，求：()ln 3f x x x kx k =+-(1)当时，求曲线在点处的切线方程；1k =()f x (1(1))f ，(2)当时，总有，求整数的最小值.3x >()1f x >k 【答案】(1)240x y --=(2)-3【分析】（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.【详解】（1）当时，1k =()ln 3f x x x x =+-()ln 2'∴=+f x x (1)2(1)2f f '∴==-在点处的切线方程为即()f x ∴(1,(1))f 22(1)y x +=-240x y --=（2）由题意，，即，即，()1f x >ln 31x x kx k +->(3)1ln k x x x ->-又，恒成立.3x >1ln 3x xk x -∴>-令，1ln ()3x x g x x -=-23ln 2()(3)x x g x x -+'∴=-令，则恒成立.()3ln 2h x x x =-+3()0x h x x -'=<在上递减，()h x ∴()3,+∞，(8)3ln 860h =-> (9)3ln 970h =-<使，即，则，0(8,9)x ∴∃∈0()0h x =003ln 20x x -+=002ln 3x x -=当时，，当时，∴0(8,)x x ∈()0g x '>0(,)x x ∈+∞()0g x '<00000max 000211ln 1103()()(,3)3333x x x x x g x g x x x --⋅-+∴====-∈----因为，且，，即整数k 的最小值为-3max ()k g x >Z k ∈3k ∴≥-【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。
2021-2022年高三第三次月考数学文试题 含答案
实用文档2021年高三第三次月考数学文试题含答案xx年11月数学试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知全集，集合，集合，则（）A．B．C．D．是复数为纯虚数的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归方程中的，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间为（）A．58 B．60 C．62 D．64正方形ABCD的边长为4，点E在CD上，且DE∶EC = 1∶3，F为AD的中点，则（）A．B．8 C．4执行右图的程序框图，输出的S的值为（）A．0 B．C．1 D．已知等差数列的前n项和为，若，则当最小时n的值是（）A．7 B．6C．5 D．4已知圆C过定点，且圆心C在抛物线上运动，则x轴被圆C所截得的弦长为（）A．8 B．6 C．4 D．与圆心C的位置有关已知双曲线的左顶点、右焦点分别为A、F，点，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．当实数x、y满足时，既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．已知函数3()sin()2|3|[17]24f x xg x x xπ==--∈-，，，，则函数的所有零点之和为（）A．6 B．12 C．16 D．18二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．函数的定义域是_______________．小明在本期五次数学测验中成绩如下：85，84，86，88，87，那么他的数学成绩的方差是_______________．设△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a = 2，c = 4，，则_______________．在区间内随机取两个数a，b，则使得函数既有极大值，又有极小值的概率为_______________．已知点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为原点），则直线AB所过的定点坐标是_______________．三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(本小题满分13分)已知各项均为正数的等比数列满足．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和S n．实用文档(本小题满分13分)为了了解我市各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“我市有哪几个著名的旅游景点？”，统计结果见下表和各组人数的频率分布直方图：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组a 0.5第2组18 x第3组b 0.9第4组9 0.36第5组3 y(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？(3)在(2) 抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好含有第4组人的概率．(本小题满分13分)已知向量1(2cos1)(6sin)2m x n x x=-=-∈R，，，，，函数．求函数的最小正周期及单调递增区间；已知a，b，c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，，且是在上的最大值，求b的值和△ABC的面积．实用文档(本小题满分12分)已知过抛物线的焦点，斜率为2的直线l交抛物线于A、B两点，且．求此抛物线方程；若是抛物线上一点，求的值．(本小题满分12分)已知．讨论的单调性；当a = 1时，曲线在处的切线与曲线切于点，求实数m的值．(本小题满分12分)已知椭圆C：的离心率为，且过点．求椭圆C的标准方程；直线l与椭圆C相交于A、B两点，且，求弦AB长度的取值范围．实用文档实用文档西南大学附属中学校高xx 级第三次月考数学试题参考答案（文）xx 年11月一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分． 1—5 ABCCB 6—10 CADBD二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分． 11．12．213．14．15．三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：(1) 设数列的公比为q ，由题意得····································································································································4分∵ ∴解得 ···········································································································6分 ∴的通项公式为 ·········································································································7分 (2) ∵ ································································································································9分∴ ····························································································································11分∴ 11111111[(1)()()(1)2335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++ ···········13分 17．解：(1) ∵ 第4组人数为人∴ 人 ··························································································································1分 ∴ 0.11000.550.31000.927a b =⨯⨯==⨯⨯=， ······························································································································5分(2) 第2组应抽人第3组应抽人 第4组应抽人·············································································································9分 (3) 设第2组抽取的2人为A 1，A 2，第3组抽取的3人为B 1，B 2，B 3，第4组抽取的1人为C ，则从6人中抽取2人的基本事件为A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1C , A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2C ，B 1B 2，B 1B 3，B 1C ，B 2B 3，B 2C ，B 3C ，共15种，其中恰好含有第4组人的有5种，所以其概率为 ··································································································································13分18．解：(1) 233()()22f x m n m m n m =-+=-+····························································································································4分 ∴ 最小正周期 ···········································································································5分由22226263k x k k x k k πππππππππ-≤-≤+-≤≤+∈Z 得，∴ 的递增区间为 ·······································································································7分 (2) ∵ ， ∴∴ 当时，取得最大值 ∴ ······························································································································9分 由实用文档∴ ····························································································································11分 ∴ △ABC 的面积为 ·································································································13分19．解：(1) 因焦点，所以直线l 的方程为由消去y 得 ① 设，则 ∴ ∴∴ 抛物线方程为 ·······································································································6分(2) 方程①化为 ∴直线l 的方程为 ∴·············································································································12分20．解：(1) ······································································································································1分当时，恒成立 当时，由，由解得因此，当时，在上单调递减 ·····················································································3分当时，在递减，递增 ·····················································································5分(2) 当 a = 1时，∴∴ 曲线在点A 处的切线方程为 ① ························································································································8分又 ∴∴曲线在点B 处的切线方程为即 ② ·······································································································10分由题意知①②应为同一直线 ∴因此， ······················································································································12分 另解：由消去y 得由2541()4(1ln 2)0ln 2216m m ∆=--+==-解得21．解：(1) 由 ∴从而椭圆方程为，将22221(1142b b b+==代入得得解 ∴∴ 椭圆方程为 ···········································································································3分 (2) ∵ ∴当l ⊥x 轴时，由对称性不妙设点A 在第一象限，可求得 ∴当l 不垂直于x 轴时，可设直线l 的方程为 由消去y ，得 ··············································································································4分 由得实用文档设，则 ····································································································································5分∵ ∴ 22121212121212()()(1)()0x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++= 代入得，解得 ·············································································································7分 ∴1211|||()AB x x x x -+22264441k m k +== 2241(1)(16k k +-+==························9分42421617168k k k k +==++当时， 当时，||AB ≤=且 综上可知，弦AB 长度的取值范围为 ····································································12分。
吉林省扶余市第二实验学校2021届高三英语下学期3月月考试题(A
吉林省扶余市第二实验学校2021届高三英语下学期3月月考试题（A)注意事项：1。
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3。
非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题)第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1。
5分，满分7.5分）听下面5段对话.每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1。
What will the man do at 8:00？A。
Work in the office。
B. Have dinner with Mike.C。
Go out with the woman。
2。
What does the woman dislike about the shirt?A. The color。
B. The design.C. The price.3. What are the speakers mainly talking about？A. Gary’s works。
B. Gary's application.C. Gary’s list of samples。
4. What did the man plan to do on March 1st？A. Apply for some classes.B. Call the travel agent.C. Go to the mountains。
5. Why does Amy plan to go to Rome?A。
2021-2022学年吉林省松原市重点高中高二下学期3月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年吉林省松原市重点高中高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．若3与13的等差中项是4与m 的等比中项，则m =（ ） A ．12 B ．16 C ．8 D ．20【答案】B【分析】根据等差中项及等比中项性质进行求解.【详解】3与13的等差中项为8，所以8是4与m 的等比中项，所以284m =， 解得：16m =. 故选：B.2．下列关于抛物线C ：245x y =-的说法正确的是（ ） A ．开口向下，准线方程为15y =-B ．开口向左，准线方程为25x =-C ．开口向下，准线方程为15y =D ．开口向左，准线方程为25x =【答案】C【分析】直接由抛物线的标准方程分析判断【详解】抛物线245x y =-的开口朝下，则准线方程为15y =.故选：C.3．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，若AB a =，AD b =，1AA c =，点P 为11A C 与11B D 的交点，则DP =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122a b c +-C ．1122a b c -+D ．1122+-a b c【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】()11111111111122DP DD D P AA D B AA D A D C =+=+=++()111111122222AA AD AB AA AD AB a b c =+-+=-+=-+, 故选：C.4．若双曲线221mx y -=的一条渐近线为30x y -=，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．13C ．9D ．19【答案】D【分析】求得双曲线221mx y -=的渐近线后，与题给渐近线30x y -=联系，即可求得实数m 的值.【详解】双曲线221mx y -=的渐近线为y =，又双曲线221mx y -=的一条渐近线为30x y -=13=，解得19m =.故选：D5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且41a =，6449S S -=，则7a =（ ） A ．127B ．169C ．6427 D ．19【答案】A【分析】由已知条件列方程求出公比q ，从而可求出7a【详解】()226456449S S a a a q q q q -=+=+=+=，整理得()()34310q q +-=. 因为等比数列{}n a 的各项均为正数，所以公比0q >，则340q +>，所以310q -=，即13q =，所以374127a a q ==. 故选：A.6．圆2244280x y x y +---=与圆224240x y x y ++++=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交C ．外切D ．内切【答案】D【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再计算圆心距与半径差或和的比较即可得到答案.【详解】圆2244280x y x y +---=化为标准方程为22(2)(2)36x y -+-=，所以其圆心坐标是()2,2，半径是6；圆224240x y x y ++++=化为标准方程为22(2)(1)1x y +++=，所以其圆心坐标是()2,1--，半径是1，所以圆心距为()()222221561+++==-，所以两个圆相内切. 故选：D.7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱AB 上的点，且3AE EB =，G ，F 分别是棱1DD ，BC 的中点，则异面直线1GB 与EF 所成角的余弦值为（ ）A ．22B ．53C ．32D ．2515【答案】D【分析】利用正方体的性质，将直线1GB 与EF 分别平移至OM '、A D ''，进而确定异面直线夹角的平面角，再应用余弦定理求夹角余弦值即可. 【详解】由题设，4ABBE =，若O 为底面中心，,A D ''，M '分别是1,,AB DC BB 的四等分点，且1,,444BB AB DCAA CD CM '''===，如下图示：∴由正方体的性质易知：A D ''必过O 点且//A D EF ''，连接OM '有1//OM GB '， ∴直线1GB 与EF 所成角，即为A D ''与OM '所成角， 若正方体的棱长为1，则3532,4OM OD D M ''''===∴9518|cos|M OD+-''∠=.故选：D8．已知圆C的方程为()()22111x y-+-=，直线l：()()321210t x t y t-+-+-=恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线50x y--=上一点M反射后到达圆C上的一点N，则AM MN+的最小值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】先求得定点A的坐标，再去求点A关于直线50x y--=的对称点B的坐标，再去求点B到圆C上一点N距离的最小值即为AM MN+的最小值.【详解】圆()()22111x y-+-=的圆心()1,1C，半径1r=直线l可化为()31220x y t x y-----=，令310220x yx y--=⎧⎨--=⎩，解得14xy=-⎧⎨=-⎩，所以定点A的坐标为()1,4--.设点()1,4A--关于直线50x y--=的对称点为(),B a b，由411145022baa b+⎧=-⎪⎪+⎨--⎪--=⎪⎩，解得16ab=⎧⎨=-⎩，所以点B坐标为()1,6-.由线段垂直平分线的性质可知，AM BM=，所以716AM MN BM MN BN BC r+=+≥≥-=-=（当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立），所以AM MN+的最小值为6.故选：A二、多选题9．已知直线m：210x y+-=与直线nn 的方程可为（）A．240x y++=B．240x y+-=C．260x y++=D．260x y+-=【答案】AD【分析】根据题意可设直线n 的方程为20x y λ++=，结合平行线之间的距离公式求出λ即可.【详解】根据题意可设直线n 的方程为20x y λ++=，=，解得4λ=或6λ=-，所以直线n 的方程为240x y ++=或260x y +-=． 故选：AD ．10．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若371212a a S +=，则下列判断正确的是（ ） A ．90a = B ．170S =C ．611S S =D ．8100a a ⋅<【答案】ABC【分析】根据等差数列的通项与求和公式化简条件得90a =，从而对选项一一判断即可． 【详解】因为{}n a 是等差数列，371212a a S +=，所以()11121261266a d a d a d +++=+， 即180a d +=，亦即90a =， 所以()9711717116810119170,502a a S SS a a a a a a +⨯==-=++++==，()()2210928990a a a d a d a d d ⋅=-⋅+=-=-≤．故选：ABC ．11．已知椭圆E 经过()2,0A -，B ⎛- ⎝⎭，2C ⎭，12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的三个点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．椭圆E 的方程为2214y x +=B ．点B 不在椭圆E 上C ．椭圆E 上的点与其焦点距离的最大值为2D【答案】BCD【分析】由椭圆对称性知,B C 中有且只有一个点在椭圆E 上，,A D 必在椭圆上，假设椭圆方程，代入,A D 坐标即可求得椭圆E 方程，知A 错误； 将,B C 坐标代入椭圆方程可知B 正确；由椭圆上的点到焦点距离最大值为a c +知C 正确； 根据三角形面积公式和,b c 的值可知D 正确.【详解】,B C 的纵坐标相同，横坐标的绝对值不同，根据椭圆的对称性可知点,B C 中有且只有一个点在椭圆E 上，则,A D 必在椭圆上，设椭圆E 的方程为()2210,0x y m n m n +=>>，将点,A D 代入椭圆方程得413114m m n⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：4m =，1n =，∴椭圆E 的方程为2214x y +=，A 错误；将点,B C 分别代入椭圆E 的方程中，则B 点坐标不满足2214x y +=，C 点坐标满足2214x y +=，即点B 不在椭圆E 上，点C 在椭圆E 上，B 正确； 椭圆E上的点到其焦点的最大值为2a c +=C 正确；椭圆的一个顶点（此顶点为上顶点或下顶点）和它的两个焦点相连接所得三角形的面积122S c b =⨯⨯=，D 正确.故选：BCD.12．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线l 与y 轴的交点为D ，过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，点O 为坐标原点，下列结论正确的是（ ） A ．存在点A ，B ，使2AOB π∠≤ B ．||AB 的最小值为4C ．DF 平分ADB ∠D ．若点(2,3)M 是弦AB 的中点，则直线m 的方程为10x y -+= 【答案】BCD【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线m 的方程为1y kx =+，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据0OA OB ⋅<判断A ，根据焦半径公式判断B ，通过计算DA DB k k +即可判断C ，利用点差法计算判断D ；【详解】解：抛物线C 的焦点F 的坐标为()0,1，由题意分析可知，直线m 的斜率一定存在．设()()1122,,,A x y B x y ，直线m 的方程为1y kx =+，与抛物线2:4C x y =联立，得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-，所以2212121212413044x x OA OB x x y y x x ⋅=+=+⋅=-+=-<，所以AOB ∠为钝角，故A 错误；()2121212||21124444AB y y kx kx k x x k =++=++++=++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），故B 正确； 因为点(0,1)D -，因为121211DA DB y y k k x x +++=+()12121212121222222(4)240kx x x x kx kx k kx x x x x x ++++⨯-+⨯=+===， 即直线DA 和直线DB 的倾斜角互补，所以DF 平分ADB ∠，故C 正确；由21122244x y x y ⎧=⎨=⎩两式相减得()()()1212124x x x x y y +-=-，因为点(2,3)M 是弦AB 的中点，所以124x x +=， 所以直线m 的斜率12121214y y x x k x x -+===-， 所以直线m 的方程为32y x -=-，即10x y -+=，故D 正确． 故选：BCD ． 三、填空题13．已知空间向量(3,22)a =-，b 是单位向量，1213a b -=，则向量a 与b 的夹角为______. 【答案】2π90︒【分析】根据空间向量的几何意义求出向量、a b 的模，利用数量积的定义计算即可得出夹角.【详解】9125a =+=，1b =， 因为1213a b -=，所以222414425245cos ,144169a a b b a b -⋅+-==⨯+， 所以cos ,0a b =，由,[0,]a b π<>∈，得向量a 与b 的夹角为2π. 故答案为：2π 14．若圆224x y +=上恰有20y m -+=的距离等于1，则m 的取值范围是___________. 【答案】()()6,22,6-【分析】圆心到直线的距离为2=md ，根据题意得到11r d r -<<+，计算得到答案.【详解】22242x y +==，圆心为()0,0，半径2r =，圆心到直线的距离为2m d ==.恰有20y m -+=的距离等于1，则11r d r -<<+， 即132m<<，解得()()6,22,6m ∈-.故答案为：()()6,22,6-15．已知某圆锥曲线的两个焦点分别为12,F F ，点P 为该圆锥曲线上任意一点，若1212::2:1:2PF PF F F =，则该圆锥曲线的离心率为______. 【答案】23或22或23【分析】根据题意令12PF t =，2PF t =，122F F t =，利用椭圆和双曲线的定义、焦距的概念计算即可求出对应的离心率.【详解】令12PF t =，2PF t =，122F F t =，当圆锥曲线为椭圆时，12123a PF PF t =+=，11222c F F t ==， 所以椭圆的离心率11123c e a ==； 当圆锥曲线为双曲线时，2122a PF PF t =-=，21222c F F t ==， 所以双曲线的离心率2222c e a ==. 故答案为：23或216．在数列{}n a 中，当2n ≥时，1(1)1n n n a na --=-，若21003,a a ==__________． 【答案】101【分析】当2n ≥时，1(1)1n n n a na --=-，通过作差可判断{}n a 是等差数列，即可求解结果．【详解】当2n ≥时，1(1)1n n n a na --=-①，所以1(1)1n n na n a +=+-②， ②-①，得11(1)(1)n n n n na n a n a na +---=+-，所以112n n n na na na -+=+， 即112n n n a a a -+=+，所以数列{}n a 是等差数列． 当2n =时，21213a a =-=，所以12a =，所以数列{}n a 的公差1d =，则10021001101a =+-=． 故答案为：101四、解答题17．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，15a =-，340a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若40n S =，求n 的值. 【答案】(1)27n a n =- (2)10【分析】（1）根据等差数列回到基本量，解出首项和公差即可求解； （2）先求前n 项和，再建立方程求解即可.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，因为15a =-， 所以()()3411123251050a a a d a d a d d +=+++=+=-+=. 解得2d =.所以()1127n a a n d n =-=-+. (2)()252762n n n S n n -+-⋅⎡⎤⎣⎦==-. 因为40n S =，所以2640n n -=，解得10n =或4n =-. 因为*n ∈N ，所以10n =.18．已知圆M 过点(1,2),(1,4),(3,2)A B C -． (1)求圆M 的方程；(2)若直线:340l x y b +-=与圆M相交所得的弦长为b 的值． 【答案】(1)22(1)(2)4x y -+-= (2)6或16【分析】（1）设圆M 的一般方程，将点代入，利用待定系数法即可求解； （2）根据直线与圆的弦长公式即可求解．【详解】(1)设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 因为圆M 过(1,2),(1,4),(3,2)A B C -三点，则1420,11640,94320,D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩ 解得2,4,1D E F =-=-=，所以圆M 的方程为222410x y x y +--+=，即22(1)(2)4x y -+-=；(2)由题意，得圆心(1,2)到直线l的距离1d ==，1=，即|11|5b -=，解得6b =或16． 故所求b 的值为6或16． 19．在①1n n n b a =+，②()2log 11n n n a n b a n ⎧+=⎨+⎩，为奇数，为偶数，③()()2212211log 1log 1n n n b a a -+=+⋅+，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在数列{}n a 中，11a =，121n n a a +-=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记______，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【答案】(1)21nn a =-；(2)选①：221122n n n S -+=-；选②：2n S 124433n n +=+-；选③：2n S 241n n =+. 【分析】（1）根据题中条件121n n a a +-=，构造出新数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）选①：用错位相减求和法即可求出数列{}n b 的前2n 项和2n S ； 选②：用分组求和法即可求出数列{}n b 的前2n 项和2n S ； 选③：用裂项相消求和法即可求出数列{}n b 的前2n 项和2n S . 【详解】(1)因为121n n a a +-=，所以()1121n n a a ++=+， 又因为11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.所以12nn a +=，即21n n a =-.(2)若选条件①：2n nn b =， 所以223212322222n nn S =++++，2234211123222222n n n S +=++++， 两式相减，得222322122111111112122112222222212n n n n n n n n n S +⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--， 所以221122n n n S -+=-. 若选条件②：2n n n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数， 所以()24622123252212n n S n =++++++-+()()2462135212222n n =++++-+++++ ()()414121214n n n -+-=+-124433n n +=+-. 若选条件③：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以2111111123354141n S n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111241n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭-241n n =+. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形且22AD AB ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD 是正三角形，E ､F 分别是AD ，PB 的中点.(1)求证：AF ∥平面PCE ；(2)求直线CF 与平面PCE 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面PCE 的距离.【答案】(1)证明见解析26(3)22 【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角；（3）在第二问的基础上求解点面距离.【详解】(1)取PC 的中点M ，连接MF ，ME ，因为F 是PB 的中点，所以MF 是三角形PBC 的中点，所以MF ∥BC ，且12MF BC =，因为底面ABCD 为矩形，E 是AD 的中点，所以AE ∥BC ，12AE BC =，所以MF ∥AE ，且MF =AE ，所以四边形AFME 是平行四边形，故AF ∥ME ，因为AF ⊄平面PCE ，ME ⊂平面PCE ，所以AF ∥平面PCE(2)因为侧面P AD 是正三角形，E 是AD 的中点，所以PE AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，所以PE ⊥底面ABCD ，以E 为坐标原点，ED 所在直线为x 轴，取BC 中点H ，EH 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()1,1,0C ，(3P ，()1,1,0B -，113,22F ⎛- ⎝⎭，()0,0,0E ，设平面PCE 的法向量()111,,m x y z =，则111030CE m x y EP m z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得：10z =，令11x =得：11y =-，所以()1,1,0m =-，313,22CF ⎛=-- ⎝⎭，设直线CF 与平面PCE 所成角为α，故()313,,1,1,0222sin cos ,926132444CF m CF m CF m α⎛⎫--⋅- ⎪⋅⎝⎭====⋅++⋅； 所以直线CF 与平面PCE 26.(3)点F 到平面PCE 的距离312222m CF d m-+⋅===. 21．已知抛物线C ：()220y px p =>，点(2,22A 在抛物线上. (1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)若直线1l ：()20x my m =+≠交抛物线C 于M ､N 两点，交直线2l ：2x =-于点P ，记直线AM ，AP ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，2k ，3k 成等差数列. 【答案】(1)焦点坐标为()1,0，准线方程为1x =-(2)证明见解析【分析】（1）将点(2,22A 的坐标代入抛物线方程中求出p ，从而可求出焦点坐标和准线方程；（2）两直线方程联立求出点P 的坐标，设()11,M x y ，()22,N x y ，再将直线1l 方程代入抛物线方程中，消去x ，利用根与系数的关系，再结合斜率公式化简证明【详解】(1)将(2,22A 代入()220y px p =>，得2p =， 所以焦点坐标为()1,0，准线方程为1x =-.(2)由22x my x =+⎧⎨=-⎩得：42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 设()11,M x y ，()22,N x y ，由242y x x my ⎧=⎨=+⎩得：2480y my --=，则121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，所以((1221131212y y y y k k my y -+-+==)12121222y y y y my y m-+==又24122m k m --==--所以222k m =， 所以1322k k k +=，即1k ，2k ，3k 成等差数列.22．在平面直角坐标系xOy 中，点(3,0)M -，点(3,0)N ，点P 是平面内一动点，且直线PM 的斜率与直线PN 的斜率之积为89-，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过点(1,0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，则在x 轴上是否存在定点D ，使得DA DB ⋅的值为定值？若存在，求出点D 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)曲线C 表示中心为坐标原点，以(1,0),(1,0)-为焦点的椭圆（不含左、右顶点） (2)存在点13,09⎛⎫ ⎪⎝⎭D ，使得DA DB ⋅为定值56081- 【分析】（1）由89PM PN k k ⋅=-直接化简即可求解；（2）当直线斜率为0时，与曲线无交点，当斜率不为0时，设直线l 的方程为()()11221,,,,x my A x y B x y =+，联立直线与曲线方程，结合韦达定理表示出1212,y y y y +⋅，将DA DB ⋅整体代换为关于12,,y y m 的表达式，利用比例关系化简可求.【详解】(1)设点(,)P x y ，由题意得8339⋅=-+-y y x x ，整理得221(3)98x y x +=≠±， 所以曲线C 表示中心为坐标原点，以(1,0),(1,0)-为焦点的椭圆（不含左、右顶点）；(2)由（1）可知，曲线C 与x 轴无公共点，所以当直线l 斜率为0时，与曲线C 无交点． 所以设直线l 的方程为()()11221,,,,x my A x y B x y =+， 由221,981,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()228916640m y my ++-=， 由于点(1,0)在曲线C 内部，所以0∆>恒成立，则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++． 假设在x 轴上存在定点(,0)D t ，使得DA DB ⋅的值为定值，则有 ()()()()11221212,,11⋅=-⋅-=+-+-+DA DB x t y x t y my t my t y y ()()2212121(1)(1)=++-++-m y y m t y y t()()2222222226418729185516(1)(1)898989+-+---=--+-=+++m t m t t m t t m m m ． 要使上式为定值，则228729185589---=t t t ，解得139t =， 此时228721695609988181-⋅==-=-=-t DA DB t ， 所以，存在点13,09⎛⎫ ⎪⎝⎭D ，使得DA DB ⋅为定值56081-．。
2021-2022年高三(山个)第三次月考数学试卷(文科) 含解析
2021年高三（山个）第三次月考数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A． B． C． D．3．“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A． B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，）D．（，+∞）7．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C． D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．10．若曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则b=．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B（﹣4，0），则圆C的方程为．13．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，=，=，DE的延长线交CA的延长线于点F，则•的值为．14．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cosB=2a﹣b．（I）求C；（Ⅱ）若cosB=，求cosA的值．16．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A原料3千克，B原料1千克，生产1桶乙产品需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克．设公司计划每天生产x桶甲产品和y桶乙产品．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求PB与平面ABCD所成角的大小．18．设S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*时，点（a n，S n）都在函数f （x）=﹣的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x 的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．xx天津一中高三（山个）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，2}B．{5}C．{1，3}D．{4，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合U，根据集合的补集的定义求出C U A，再根据两个集合的交集的定义求出（C U A）∩B．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6 }，A={1，3，5}，B={4，5，6}，∴C U A={0，2，4，6}，∴（C U A）∩B═{0，2，4，6}∩{4，5，6}={4，6}．故选D．2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．【解答】解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为偶数的有（1，3），（2，4）共2个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为偶数的概率为．故答案为：．3．“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）=|x﹣a|的图象是关于x=a对称的折线，在[a，+∞）上为增函数，由题意[1，+∞）⊆[a，+∞），可求a的范围．【解答】解：若“a=1”，则函数f（x）=|x﹣a|=|x﹣1|在区间[1，+∞）上为增函数；而若f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数，则a≤1，所以“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选A．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，即可得出结论．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环S k循环前/0 0第一圈是 1 1第二圈是 3 2第三圈是11 3第四圈是2059 4第五圈否∴最终输出结果k=4故选：A．5．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A． B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故选：C．7．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），由题意x∈[0，]，得2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴函数y=sin（2x﹣）在区间[0，]的最小值为．故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x ﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，∴，解得：，∴=2，故答案为：210．若曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则b=﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由切线方程得到斜率，解方程求得a=1，再代入切线方程，得到b．【解答】解：y=ax+lnx的导数为y′=a+，则在点（1，a）处的切线斜率为a+1，由于在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则有a+1=2，即a=1，则1=2+b，解得b=﹣1．故答案为：﹣1．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为16cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直．∴该几何体的体积==16cm2．故答案为：16．12．圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B（﹣4，0），则圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】先由条件求得圆心的坐标为C（﹣3，2），半径r=|AC|=，从而得到圆C 的方程．【解答】解析：直线AB的中垂线方程为x=﹣3，代入直线x﹣2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C（﹣3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=，∴圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5，故答案为（x+3）2+（y﹣2）2=5．13．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，=，=，DE的延长线交CA的延长线于点F，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，结合已知求出D、F的坐标，进一步求得、的坐标，则答案可求．【解答】解：如图，分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），C（2，0），B（0，1），∵=，∴E（0，），又=，得D（），设F（m，0），则，，由，得，即m=．∴，则•=．故答案为：．14．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则t=x2﹣2x+2m ﹣1中每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，求出y=f（t）与y=m交点横坐标的最小值，由其绝对值大于2m﹣2，结合0＜m＜3求得实数m 的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m﹣1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x2﹣2x+2m﹣1对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m﹣1=2m﹣2，由图可知，2t1+1=﹣m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足①，又0＜m＜3②，联立①②得0．∴实数m的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cosB=2a﹣b．（I）求C；（Ⅱ）若cosB=，求cosA的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，把sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）由cosB的值，求出sinB的值，cosA变形为﹣cos（B+C），利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（I）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA﹣sinB，即2sinCcosB=2sin（C+B）﹣sinB，∴2sinCcosB=2sinCcosB+2cosCsinB﹣sinB，即2cosCsinB﹣sinB=0，∵sinB≠0，∴2cosC﹣=0，即cosC=，∵0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）∵cosB=，0＜C＜π，∴sinB==，∴cosA=﹣cos（B+C）=﹣（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣×+×=．16．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A原料3千克，B原料1千克，生产1桶乙产品需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克．设公司计划每天生产x桶甲产品和y桶乙产品．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】（Ⅰ）根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件；（Ⅱ）利用线性规划的知识进行求解即可得到目标函数利润的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，则x，y满足条件的数学关系式为…该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如图…（Ⅱ）设利润总额为z元，则目标函数为：z=400x+300y．…如图，作直线l：400x+300y=0，即4x+3y=0．当直线y=﹣x+经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大．解方程组得，即A（3，3），…代入目标函数得z max=2100．…答：该公司每天需生产甲产品3桶，乙产品3桶才使所得利润最大，最大利润为2100元．…17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求PB与平面ABCD所成角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD，推导出PG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面PBG，由此能证明AD⊥PB．（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN，推导出四边形MNCD是平行四边形，由此能证明DM∥平面PCB．（Ⅲ）推导出PG⊥底面ABCD，则∠PBG为PB与平面ABCD所成的角，由此能求出PB与平面ABCD所成的角．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD．∵△PAD为等腰直角三角形，且∠APD=90°，∴PA=PD，∴PG⊥AD．∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BG⊥AD．又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG．∴AD⊥PB．…（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN．∵M，N分别是PA，PB的中点，∴MN∥AB，MN=AB．又AB∥CD，CD=，∴MN∥CD，MN=CD．∴四边形MNCD是平行四边形．∴DM∥CN．又CN⊂平面PCB，DM⊄平面PCB，∴DM∥平面PCB．…解：（Ⅲ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，又PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴∠PBG为PB与平面ABCD所成的角．设CD=a，则PG=a，BG=．在Rt△PBG中，∵tan∠PBG=，∴∠PBG=30°．∴PB与平面ABCD所成的角为30°．…18．设S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*时，点（a n，S n）都在函数f （x）=﹣的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．【考点】等比数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】（Ⅰ）由题意得，再由和等比数列的定义，求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比数列的前n项和公式化简b n，再由等差数列的定义证明出数列{b n}是等差数列，再由求出n的范围，根据n取正整数和等差数列的前n 项和公式，确定、并求出T n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为点（a n，S n）都在函数的图象上．所以，当n=1时，，∵，当n≥2时，，所以，∴，∴{a n}是公比为，首项为的等比数列，∴；（Ⅱ）因为{a n}是公比为，首项为的等比数列，所以，∴，∵，∴数列{b n}是以为首项，公差为的等差数列，且单调递减由，所以，即，∴n=6，数列{b n}的前n项和的最大值为．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程．（2）①椭圆C的右焦点．设切线方程为，利用点到直线的距离公式，求出K得到直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，得到PQ，然后求解三角形的面积．②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或．利用，推出OP⊥OQ．（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，通过，将直线PQ方程代入椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，结合m2=2k2+2，，推出结果．【解答】解：（1）由题意，得，解得a2=6，b2=3．所以椭圆的方程为．（2）①椭圆C的右焦点．设切线方程为，即，所以，解得，所以切线方程为．由方程组解得或，所以．因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．综上所述，△OPQ的面积为．②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或．当时，．因为，所以OP⊥OQ．当时，同理可得OP⊥OQ．（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0．因为直线与圆相切，所以，即m2=2k2+2．将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，因为=．将m2=2k2+2代入上式可得，所以OP⊥OQ．综上所述，OP⊥OQ．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x 的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x 为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．【解答】解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，或，解得；当时，或，即，解得；当时，或或，故．当时，或，解可得t=，当时，，无解．所以t的取值范围是或或t=．xx1月31日实用文档。
2022-2023学年吉林省部分学校高三(下)月考数学试卷(3月份)+答案解析(附后)
2022-2023学年吉林省部分学校高三（下）月考数学试卷（3月份）1.若全集，集合，则中元素的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 52.已知复数，则( )A. B. C. D.3.中，AD为BC边上的高，且，则在方向上的投影向量的模为( )A. 9B. 6C. 3D. 14.已知函数，则方程的解集为( )A. B. C. D.5.已知是函数的一个零点，则的值为( )A. B. C. D.6.如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2，4，4，那么该三棱锥外接球的表面积是( )A. B. C. D.7.数列满足，，且则该数列前31项的和( )A. 5550B. 5650C. 5760D. 59008.已知，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.9.若直线l：，圆C：，则( )A. 直线l与圆C必相交B. 当时，直线l与圆C相交于A，B两点，则的面积为2C. 直线l与圆C相交的最短弦长为D. 圆C上至少存在4个点到直线l的距离为10.如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为线段AM的中点，点P是线段AC上不与端点A重合的动点，则( )A. A ，M，，C四点共面B. 三棱锥的体积为定值C.平面平面D. 过A，N，P三点的平面截该正方体所得截面的面积为定值11.已知函数，则( )A. 若函数的图象关于直线对称，则的值可能为3B. 若关于x的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为C. 若函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数为奇函数，则的最小值是1D.若函数在区间上单调，则12.若函数为函数的导函数，且对于任意实数，函数值，，均为递增的等差数列，则( )A. 函数可能为奇函数B. 函数存在最大值C. 函数存在最小值D. 函数有且仅有一个零点13.的展开式中含项的系数为______ 用数字作答14.直线与抛物线相交于A，B两点，且A在第一象限，F是抛物线的焦点，则______ .15.已知椭圆C：的面积为，点在椭圆E：上，点A关于x轴，y轴，原点的对称点分别为B，C，D，记四边形ABDC的面积为S，则的取值范围为______ .16.函数在点处的切线为，则这四条切线所围成的封闭图形的面积为______ .17.已知数列满足，且求数列的通项公式；设，求数列的前n项和18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，判断的形状；求的最大值.19.如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别在棱，BC上，平面，点M在棱上，证明：；若平面PDQ与平面AQD所成的锐二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.20.2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球比分3：再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯.法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负.赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为，求预测正确的人数X的分布列和期望；足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，求21.已知曲线E上任意一点Q到定点的距离与Q到定直线m：的距离之比为求曲线E的轨迹方程；斜率为的直线l交曲线E于B，C两点，线段BC的中点为M，点M在x轴下方，直线OM 交曲线E于点N，交直线于点D，且满足为原点求证：直线l过定点. 22.设函数，分别求与的最大值；若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，，，其中，证明：，，成等比数列.答案和解析1.【答案】A【解析】解：由，得或，所以或，，所以集合，有2个元素．故选：首先求集合A，再求，即可判断选项．本题主要考查了集合补集的求解，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，所以故选：将复数z代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题3.【答案】C【解析】解：在方向上的投影向量的模为故选：根据数量积的几何意义即可求解．本题主要考查数量积的几何意义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：函数，当时，，解得或舍去，当时，，解得舍去，故解集为故选：通过分段函数，对x分类讨论，列出方程求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点与方程根的关系，是中档题．5.【答案】D【解析】解：因为是函数的一个零点，所以，即，故，则故选：由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得．本题主要考查了函数的零点，同角基本关系的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由题意可知三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a，b，c，则，解得，，设该三棱锥外接球的半径为R，则，故选：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法，是基础题．7.【答案】B【解析】解：数列满足，，且，因为，所以当n为奇数时，，即数列的奇数项为每项都是100的常数列；当n为偶数时，，即数列的偶数项是首项为200，公差为10的等差数列，所以故选：分n为奇数和n为偶数两种情况，得到奇数项为常数列，偶数项为公差为10的等差数列，分组求和，得到前31项的和．本题考查了等差数列的求和公式和分组求和，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：构造，则，构造，则，故在内单调递减，，故对任意恒成立，则在单调递增，因为，所以，故，即，即，即，即，同理构造，则，构造，则，故在内单调递减，，故对任意恒成立，则在单调递增，故，即，即，即，即，则a，b，c的大小关系是故选：构造，二次求导后判断单调性从而得到；构造，二次求导后判断单调性从而得到，进而得到答案．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是基本的解题思路，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：由于圆C的圆心坐标为，半径，所以圆心到直线的距离，直线l：，化为，可得直线过定点，对于A，定点M到圆的圆心的距离为：圆的半径，所以定点M在圆内，所以直线l与圆C必相交，故A正确；对于B，当时，，，所以的面积为2，故B正确；对于C，当d取最大值时，直线l与圆C相交的弦长最短，故最短弦长为，故C正确；对于D，当时，圆的劣弧到直线的距离为，所以，圆C上有2个点到直线l的距离为，故D错误．故选：对于A，将直线关于参数m整理即可得直线所过的定点，再判断定点与圆的位置关系即可判断直线l与圆C的位置关系．对于B，利用三角形的面积公式求解即可．对于C，直接利用几何性可得过圆内定点的直线被圆C截得的弦长的最值．对于D，直接利用几何性可得圆C上与直线l的距离为的点的个数．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．10.【答案】BCD【解析】解：对于A：点A，C，平面，且直线平面，点直线AM，点平面，，M，，C四点不共面，故A错误；对于B：直线，又直线平面，且平面，直线平面，又点P是线段AC上的动点，点P到平面的距离为定值，且的面积为定值，三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C：由题可知，平面ABCD，则，连接BD，则，，，且，，面，直线平面，即直线平面，又直线平面ANP，平面平面，故C正确；对于D：取的中点L，连接CL，ML，则，，且，，梯形ACLM为过点A，N，P三点的平面截该正方体所得的截面，又梯形ACLM四个顶点均为定点，梯形ACLM的面积为定值，故截面面积为定值，故D正确．故选：由点与面的位置关系判断A，由线面距离的定义判断B，由面面垂直的判定定理判断C，取的中点L，连接CL，ML，作出截面即可判断本题考查点共面问题，三棱锥的体积问题，面面垂直的证明，正方体的截面问题，化归转化思想，属中档题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，因为函数的图象关于直线对称，所以，则，因为，则的值不可能为3，故A错误；对于B，当时，，若在上恰有四个实根，则，解得，故B正确；对于C，由已知得，因为函数为奇函数，所以，即，因为，所以的最小值是1，故C正确；对于D，当时，，因为，所以，所以函数在区间上不单调，故D错误．故选：根据函数的对称轴代入得出判断A，由根的个数可确定，据此判断B，平移后由函数为奇函数可得，可判断C，特殊值检验可判断本题主要考查余弦函数的图象与性质，三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】CD【解析】解：函数为函数的导函数，设，则，由题意可知：，则，即，故，则存在正实数a满足：，即，即，故，存在实数b满足：，故，，，故，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增；对于A，由的单调性可知，函数不可能为奇函数，故A错误；对于B，对任意实数x，当时，，故函数没有最大值，故B错误；对于C，在时取得最小值，故C正确；对于D，因为函数有且仅有一个零点，而，故函数有且仅有一个零点，故D正确．故选：通过分析函数的一次导数和二阶导数，得出函数的单调区间和最值，以及函数的零点，即可得出答案．本题考查函数的求导，二次求导，构造函数，求函数的单调区间，具有极强的综合性，是中档题．13.【答案】【解析】解：由题可知展开式的通项公式，令，此时，含的项为，所以含项的系数为故答案为：利用二项展开式的通项公式可求得结果．本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：设，，联立直线和抛物线的方程得，消去y可得，，解得，，由于直线过抛物线的焦点F，且A在第一象限，，所以故答案为：根据题意，联立直线与抛物线方程，然后结合抛物线的焦半径公式，即可得到结果．本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：联立直线和椭圆E的方程得，，解得，点在椭圆E：上，，又因为四边形ABDC为正方形，所以，故，由于，所以，所以的取值范围为故答案为：联立直线与椭圆方程可得，进而可求的取值范围．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的应用，属中档题．16.【答案】【解析】解：不妨设，函数定义域为R，可得，因为，所以，又，所以，则这四条切线所围成的封闭图形为平行四边形，不妨设该平行四边形的底为d，高为h，因为，，所以，由，可得：，由，可得，所以，则该平行四边形的面积故答案为：由题意，对函数进行求导，根据导数的几何意义分别求切线方程，再利用四条切线所围成四边形是平行四边形，结合面积公式，即可求解．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了逻辑推理和运算能力．17.【答案】解：已知数列满足，且，因为，所以，所以…，所以，又当时也适合上式，所以数列的通项公式为；因为，所以，则数列的前n项和为①，②，①-②得，所以故数列的前n项和【解析】本题考查了累加法求通项公式和错位相减法求和，属于中档题．由题意得到，利用累加法即可求解；利用错位相减法求和即可求解．18.【答案】解：因为，所以，由余弦定理得：，即，所以，由正弦定理得：，因为，所以，所以，整理可得，又，故，得，所以为直角三角形．因为，所，因为，所以，所以所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为【解析】由题意及余弦定理可得，再由正弦定理及A，C的关系可得A角的正切值，进而求出A 角的大小，C角的大小，可判断三角形的形状为直角三角形；正切化为正余弦的比，整理，再由辅助角公式，可得，再由A角的范围，可得它的最大值．本题考查正余弦定理的应用及辅助角公式的应用，属于中档题．19.【答案】证明：由题意知：，且，所以，所以M，B，C，P四点共面．又因为平面，且平面平面，所以；解：因为AB，AD，两两垂直，所以以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，因为四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，，所以，，，设，，所以，，设是平面PDQ的一个法向量，贝即，取，又平面AQD的一个法向量是，所以，解得或舍去，此时，由知四边形MBQP是平行四边形，所以，设，则，因为点P在棱上，所以由，得，解得，从而，故三棱锥的体积【解析】利用线面平行的性质定理即可证明；建立空间直角坐标系，求出平面PDQ与平面AQD的法向量，根据锐二面角的余弦值为求出点Q 的坐标，再利用中的条件求出点P的坐标，由三棱锥的体积即可求解．本题主要考查了直线与平面平行的性质定理，考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，，，则X的可能取值为0，1，2，3，所以，，，，故X的分布列为：X0123P所以记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，可知，，则时，第次传球之前球在梅西脚下的概率为，第次传球之前球不在梅西脚下的概率为，所以，即，又因为，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，【解析】由题意，据此可得出分布列及期望；分析第次传球之前球所处位置的概率，根据互斥事件得出第n次传球前球在梅西脚下概率的递推关系，构造等比数列求解．本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．21.【答案】解：设曲线E上任意一点，因为曲线E上任意一点Q到定点的距离与Q到定直线m：的距离之比为所以，所以曲线E的轨迹方程为设，，直线l的方程为，联立，得，因为有两个交点，所以，，所以，即，因为点M在x轴下方，所以，又，所以，所以直线OM的斜率，则直线OM的直线方程为，将其代入双曲线E的方程，整理得，所以，将代入直线，解得，又因为，所以有，由，解得，因为，，所以，因此直线l的方程为，故直线l过定点【解析】由已知可得，化简即可；设，，直线l的方程为，联立方程可得本题考查双曲线方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．22.【答案】解：因为，当时，；当时，故在内单调递增，在内单调递减，故；因为，当时，；当时，，故在内单调递增，在内单调递减，故证明：由可知，且，又当时，，故，当时，直线与两条曲线和各有两个不同的交点，则直线与曲线的两个交点分别位于区间和，而直线与曲线的两个交点分别位于区间和，构造，当时，；当时，，当时，，，，，故在内单调递减，又，，结合零点存在性定理可知：在内存在唯一零点，故曲线和在有唯一一个公共点，画出与在上的图象如下图：由图可得：若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，，，其中，即，即，，，，由，又，，结合可知在内单调递增，故，由，又，，结合可知在内单调递减，故，故，故，，成等比数列．【解析】通过分别求导，即可研究和的单调性，进而求出最大值；由和的单调性分析三个交点的位置情况，构造，根据零点存在定理，可得在内存在唯一零点，所以，即，再利用交点函数值相等得到，，进而得出，根据等比中项性质即可证明结论．本题主要考查利用导数研究函数的最值，数列与函数的综合，考查运算求解能力，属于难题．。
【原创】2021届扶余市高三下学期弟三次联考试卷 数学生物试卷 (含答案)
企业数
30
24
40
16
10
（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）； （2）估计这 120 个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）以表中 的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做
采访调查．若采访的企业的增长率
（2）设点 为圆
与圆
的公共点的轨
上任意点，且圆 在点 处的切线与 交于 ， 两点．试问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）若对任意
，不等式
成立，求实数 a 的取值集合．
22．（12 分）已知函数
．
（1）若直线
是曲线
的切线，求实数 k 的值；
4
数 学答 案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．【答案】D
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
4．已知函数
，满足对任意
，都有
则 a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
成立，
5．函数
的奇偶性为（ ）
A．奇函数 C．偶函数
B．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数
6．已知点 是