水平集方法简介讲解

2.拓扑优化模型的建立： 以结构最小化拓扑优化问题的数学模型如下所示：
min
st
:J0 (u, )
:
D
1 2

(u)
1 D2
E (u)
(u)E (u)
H ()d
H ()d
D pud
（2-1）
Dud
V D H ()d Vmax
lim
0
(
)


(0
)
通过 以上的形状导数概念对（2-1）进行求导，求得导数值，并根据导数值适当
的选择水平集方程式的速度F,使得目标函数的一阶导数小于零,目标函数是下降的，
这样就建立了物理约束条件与水平集方程之间的联系。
4.水平集方程求解 求得水平集速度后，带到水平集方程，用数值差分格式进行求解：
缺陷：①由于栅格模型本身原因，得到最优结构边界是一种锯齿形边 界，为了得到光滑的边界，不得不再进行形状优化，采用一种映射关 系，把栅格模型转化为一种光滑曲面模型，但是这种映射关系处理不 是很容易，而且计算量也比较大。②在描述结构几何形状信息时，边 界的位置形状，法向量和边界的曲率不能直接表示出来。
(x,t) 0x D
(x,t) 0x D \ D
对 (x, t) 通过链导法求导则可以得到如下水平集函数演化方
程：
(x,t) F | | 0
t
隐含在水平集函数 (x, t)（即符号距离函数）中的零水平集方
程为：
(t) {x | (x,t) 0}
水平集方法
演讲者：??? 指导教师：???
拓扑优化简介
目的：在一定的外力和约束作用下，寻找具有最佳传力路径的结构布 置形式。
方法：将设计域划分为有限个单元，依据一定的算法删除部分区域形 成带孔的连续体，实现连续体的拓扑有化。在拓扑优化中，采用各种 惩罚措施来压缩中间密度材料，进而删除部分区域，根据惩罚措施不 同进而衍生出均匀化方法,变密度方法等。
解决措施：提出面向结构几何形状描述的方法，即引入一种描述结构 拓扑形状的隐式函数即：水平及函数，用它的零水平集来描述结构的 边界，然后通过目标函数和约束函数的敏度分析来改变水平集函数的 取值以得到不断变化的结构拓扑形状。
水平集方法简介
1.水平集定义（用数学方法解释）： 一条平面封闭曲线可隐式表示为一个二维函数的水平集（线）
对于 (为无穷小量)
应用泰勒级数展开式，
省略高阶项，有： p( ) T ( , p) p ( p)
式中的 ( p) 是形状变化的速度，也可以认为是材料在时间 经过p 点时的速
度。在上面定义的映射下，给出函数 的形状导数的定义：
d
( d
Hale Waihona Puke )|0
结合水平集方法进行结构拓扑优化，目标函数对形状的导数
已经不是目标函数关于某个变量的变分，而是目标函数关于当
前几何形状的变分，通过同胚映射，把原本的几何域通过微小
振动映射到另一几何域。定义映射 T ( , p) 和形状导数，映射
前的区域为 经过映射后的区域为 ，表达式如下：
T ( , p) : p p p D
把 n 维描述视为高一维（n+1）维的水平集，或者说是把n维描 述视为有 n 维变量的水平集函数 u 的水平集。这样一来就把
求解n维描述的演化过程转化为求解关于有n维变量的水平集函数u的 演化所导致的水平集的演化过程。其要点是通过这种变化，引入了 变中的相对不变：水平集函数u的水平c不变。我们把这种变中的相 对不变叫做泛对称。引入了泛对称，就引入了规律，而引入了规律 就能推演出水平集在此规律下各种具体条件而演化的具体演化方程。
对于上面问题，采用增广拉格朗日方法，将体积约束作为一个 惩罚项施加在目标函数上得：
min :J (u, ) J0(u, ) ( DH()d Vmax )2
是拉格朗日乘子，在一个迭代步中通过一定值 来求解上
式，然后更新 并检查是否收敛。
3.形状灵敏度分析（关键的一步）
定义一个足够大的固定的参考域 D，以使它完全包含被优化
的结构 D，即 D D ，结构边界表面D隐含地定义为嵌入 的函数 (x) 的一个等值表面，
即 D {x | x D, (x) 0} ，用符号距离函数 (x)来定义
边界的内外区域，如下所示：
(x,t) 0x D \ D
通过对s(0 ) 进行改进，可得到更好平滑数值结果。
S(0 )
0 02 | d |2 x2
当水平集函数趋于平坦时，| d |S 加速收敛，水平集陡峭 时，| d |S 延缓收敛，这样可保持一致的收敛速度，避
免迭代次数增加和界面错乱。
三.具体迭代步骤
Step1.设计域初始拓扑猜测，水平集函数初始化。
Step2.1.有限元分析，计算位移 u
（2.1）
2.计算导数 dJ (u, ) ，求得速度场 F
（2.2）
3.利用数值差分格式，求解水平集方程 ，并进行初始化（2.3）
4.检查终止标准，如果不满足，返回（2.1）
为一很小正数。
（2.4）
| J |
Step3.更新拉格朗日乘子
Step4.检查终止标准，如果不满足，转到step2， 为一个很小正数. | |
优化的过程可以被认为是让F成为一个有优化目标函数驱动的水平 集函数面上点的移动过程。 优化的关键是找到合适的法向速度F,使得在该速度场的驱动下得 到考虑目标函数和约束条件的最优拓扑结构。
水平集拓扑优化的实例
一.分析思想： 一般情况下是以结构柔顺度最小作为目标函数，实体材料所
占的体积为约束条件。 二.1.隐式边界模型建立：
实例：通过把二维平面曲线嵌入到三维曲面，将平面闭曲线演化的 问题转化为三维曲面的演化。
优点：可以方便的处理曲线演化时拓扑 结构的变化
t=0
t=1
3.水平集方法的基本方程：
考虑零水平集 x(t)所对应的水平集函数 ，则有
(x(t),t) 0
（4-1）
对方程（4-1）两边求关于时间的偏导数，有
n 注： 为法向方向，梯度算子（在单变量的实值函数的情况，梯度只是导
数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率 ） F为边界法向速度。 演化实例如图所示：
4.水平集的一般性算法： （1）设定水平集函数的初态； （2）确定速度F的形式； （3）按基本方程推演水平集函数的各状态； （4）对于每一水平集函数的状态求解水平集。
通过求解微分方程进行重新初始化，求解下面偏微分方程直到
结果收敛为止。
t

s(
0
)(|

|
1)

0
其中，s(0 ) 为符号距离函数，满足
S(0 ) 1 0 S(0 ) 0 0 S(0 ) 1 0
n1 ij

inj

t[max(Fij , 0)

min(Fij
, 0) ]
[max(Dij x , 0)2 min(Dij x , 0)2 max(Dij y , 0)2 min(Dij y , 0)2 ]1/2
[max(Dij x , 0)2 min(Dij x , 0)2 max(Dij y , 0)2 min(Dij y , 0)2 ]1/2
(x(t),t) x 0 （4-2）
t
t
假设F为外法向方向的速度，那么
x n F 这其中 t
n / | |
因此，我们便得到基本方程式
F | | 0
t
（4-3）
曲线就是根据方程（4-3）进行演化，且几何形状的变化只与运动速度 （即（4-3）中的F有关）。
C {(x, y),u(x, y) c}
即将其看作三维曲面 u u(x, y) 与平面 u c 的交线。
随时间 t 变化的平面封闭曲线可表示为：
C(t) {(x, y),u(x, y,t) c}
可看作随时间 t 变化的三维曲面簇 u u(x, y,t)与平面 u c
相交得到的水平集（线） 2.水平集方法处理的核心思想：
式中：
D x ij
,
Dx ij
为插值点 (i,
j)
沿x方向的向前差分和向后差分。
Dij y , Dij y 为插值点(i, j) 沿y方向的向前差分和向后差分。
5.重新初始化
求解水平集方程，更新设计域水平集函数后，要重新初始化，
以保持水平集函数为符号距离函数性质，且满足 | | =1