高等数学(下册) 三重积分要点总结

f ( x, y , z ) dv
多个平面： 由
x 0, y 0, z 0 和 x 2 y z 1 围成；（101
页，例 1）


f ( x, y , z ) dv
多个平面和一个曲顶： 由 y x ， x 1 ， z 0 和一个曲面


f ( x, y , z ) dv
x 2 y 2 ( z a)2 a 2
围成(或两球相交部分)； （106 页，10 题（1）；124 页，7 题（1，2）） 球锥形： 由球面


f ( x, y , z ) dv
x y ( z a) a
2 2 2
2


f ( x, y , z ) dv
2
2


f ( x, y , z ) dv
和抛物面
4 z x2 y 2
围成；（106 页，9 题（1）； 107 页，12 题（4））
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三重积分要点总结
抛物面与锥面： 由抛物面
z k(x y )
2 2


f ( x, y , z ) dv
和锥面
z x2 y 2
比较： 求质量对密度积分； 求质心密度乘 x 积分 （除质量） ， 求惯量密度乘 x 2 平方和积分。
3
三重积分要点总结
1、三重积分的计算步骤： 画出积分区域示意图 根据区域描述选择坐标系并描述区域（曲面和变量范围等） 利 用公式转化成累次积分计算。 2、典型区域总结：对教材上的例题和习题类型做了归纳。 典型区域描述 纯球形： 由球面 如区域描述方程中含有 x 2 y 2 z 2 时选择球坐标系 区域示意图 区域极坐标描述和累次积分
x 乘以密度的在物体上积分 ; 对密度的积分 y 乘以密度的在物体上积分 ; y 对密度的积分 z 乘以密度的在物体上积分 ; z 对密度的积分 x
求空间物体转动惯量：
（x 轴乘 x）
I x ( y 2 z 2) 乘以密度在物体上积分 I y ( x 2 z 2) 乘以密度在物体上积分 （x 轴乘 y 2 z 2 ） I z ( y 2 x 2) 乘以密度在物体上积分


f ( x, y , z ) dv
其它类型区域选直角坐标系 区域示意图 区域直角坐标描述和累次积分（写出 两种形式累次积分：穿线法先对 z 积 分，和切片法后对 z 积分）
2
单个封闭曲面： 由椭球面
x y z 2 2 1 2 a b c
围成；（101 页，例 2）
2
2

z xy
围成；（106 页，4 题）
2
三重积分要点总结
3、利用区域对称性和函数奇偶性算三重积分 区域对称性 区域 关于 YOZ 平面对称 区域 关于 XOZ 平面对称 区域 关于 XOY 平面对称 函数奇偶性 被积函数关于 X 变量是奇函数 结论
f ( x , y , z ) f ( x, y , z ) f ( x , y , z ) f ( x, y , z ) f ( x , y , z ) f ( x, y , z )
z x2 y2 a


和平面
z ba
围成；（103 页，例 3） 抛物面与平面： 由 xOy 平 面上曲线 y 2 x 绕 x 轴旋转 与平面 x 5 围成； （124 页，
2


f ( x, y , z ) dv
7 题（3）） 球面与抛物面： 由球面
z 2 x y
和 锥 面 z k 2 ( x2 y 2 ) 围 成；（105 页，例 4；107 页， 10 题（2），12 题（2）） 球锥形： 由球面


f ( x, y , z ) dv
x2 y2 z 2 a2
和 锥 面 z k 2 ( x2 y 2 ) 围 成； 如区域描述方程中含有 x 2 y 2 时选择柱坐标系 典型区域描述 区域示意图 区域柱坐标描述和累次积分 抛物面与平面： 由曲面 f ( x, y , z ) dv
f ( x, y, z )dv 0

被积函数关于 Y 变量是奇函数 被积函数关于 Z 变量是奇函数
f ( x, y, z )dv 0

f ( x, y, z )dv 0

四、三重积分的类型题目： 交换积分顺序； 球坐标、柱坐标、直角坐标下积分的互相表示； 三重积分的计算； 求空间物体质量:在物体区域上对密度进行积分。 求空间物体质心：
围成；（107 页，12 题（3）） 锥面与平面： 由曲面
4 z 2 25( x 2 y 2 )
及平面


f ( x, y , z ) dv
z 5
围成；（107 页，11 题（3）） 柱面和平面： 由柱面
x2 y 2 1
及平面 z 1 ， z 0 ， x 0, y 0 所围成的第一卦限内的闭区 域；（107 页，11 题（1）） 典型区域描述