平面向量与解析几何综合问题

平面向量与解析几何交汇的综合问题

苍南县龙港二高李丕贵

设计立意及思路

向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

高考考点回顾

近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天津卷21道只是数学符号上的混合；2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合；2004年有6份卷（分别是全国卷理科（必修+选修I）21道；全国卷理科（选修Ⅱ）21道；辽宁19道；湖南文21道；江苏卷21道；天津卷22道）涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，可以说是应用层面上综合。就应用层面上又有两个层次。第一层次：考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况. 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义（这三点已有所涉及）、数量积几何意义、射影定理（这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1变式）。考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.

基础知识梳理

1．向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；

2．实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；

3．平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；

4．椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；

5．曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；

6．直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；

7．平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。

例题讲解

一、“减少运算量，提高思维量”是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。在以向量为载体，求轨迹

方程为命题切入点，可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。

例1．已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,

b =j y i x ++)3(,且满足|a |+|b |=4.

(1)求点P(x,y)的轨迹C 的方程. (2)如果过点Q(0，m)且方向向量为c =(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ，

B 两点，当∆AOB 的面积取到最大值时，求m 的值。

解：(1) a =j y i x +-)3(, |b |=j y i x ++)3(,且|a |+|b |=4.

∴ 点P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P 的轨迹方程为14

22=+y x (2)设A(11,y x ),B(22,y x )依题意直线AB 的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得

0448522=-++m mx x ，则1x +2x =-58

m, 1x •2x =)1(25

4-m 因此，225221

)5(m m d AB S AOB -==∆

当225m m =-时，即m=210

±时，1max =S

[题设变式I.1] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,

b =j y i x ++)3(,且满足||a |-|b ||=2.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(轨迹为双曲线)

[题设变式I.2] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,

b =j y i x ++)3(,且满足b •i =|a |.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.

[提示：设K(-3,0)，F (3,0)，则b •i 表示KP 在x 轴上射影，即点P 到x= -3的距离，所以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为1，故点P 的轨迹是以(3,0)为焦点以x= -3为准线抛物线]

[题设变式I.3] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,

b =j y i x ++)3(,且满足b •i =λ|a |.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.

[提示：设K(-3,0)，F (3,0)，则b •i 表示KP 在x 轴上射影，即点P 到x=

-3的距离，所以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为λ1 =•i b a

，当110<<λ时，点P 的轨迹是以(3,0)为焦点，以x= -3为相应准线的椭圆；当11>λ

时，点P 的轨迹是以(3,0)为焦点，以x= -3为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支λ应满足什么条件？]

[题设变式I.4] 已知平面上两定点K 、F ，P 为一动点，满足，KF KP •=.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(以F 焦点，过K 且垂直于KF 的直线为准线的抛物线)

[题设变式I.5] 已知平面上两定点K 、F ，P 为一动点，满足，KF KP •=.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(以F 焦点，过K 且垂直于KF 的直线为准线的圆锥曲线。)

[考题] 已知点A(22-，0)，B(2-，0)动点P 满足||||2BP AB AB AP ⋅=⋅

(1)若动点P 的轨迹记作曲线C 1，求曲线C 1的方程.

(2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ，过点D （0，3

2-）作斜率为k 的直线交曲线 C 1于M 、N 点，求证：无论k 如何变化，以MN 为直径的圆过点Q.（解答见附页）

[题设变式II.1] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,

b =j y i x ++)3(,且满足|a +b |=4..求点P(x,y)的轨迹C 的方程. (OP BP AP 2=+,点P 轨迹为圆，其中A （3，0），B （－3，0）)

[题设变式II.2] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a =j y i x +-)3(,

b =j y i x ++)3(,且满足a •b ＝6.求点P(x,y)的轨迹C 的方程. (轨迹为圆) 例2、已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P 在y 轴上的射影是H ，如果

PN PM PH PH ⋅⋅, 分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方两个不同的点，A 、B ，设R

为AB 的中点，若过点R 与定点Q(0，-2)的直线交x 轴于点D(x 0，0)，

求x 0的取值范围.

导析 （1）设P(x ，y)，则H(0，y)，),0,(x PH -= ),,2(y x PM ---=).,2(y x PN --=