3线性方程组解法

第3章 线性方程组的解法

本章讨论线性方程组

11112211211222221122n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪

⎪+++=⎩L L M L 的求解问题.

线性方程组的矩阵表示

Ax b =

式中A 称为系数矩阵，b 称为右端项。

数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。

直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。

迭代法是一种逐次逼近的方法。

1 线性方程组的迭代解法

线性方程组迭代解法有Jocobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法及SOR法等

基本思想（与简单迭代法类比）

将线性方程组Ax b

等价变形为

x Bx g =+

以构造向量迭代格式

()

()

1k k x

Bx

g +=+

用算出的迭代向量序列()

()

12,,x x L 去逼近解。

11112211211222221122n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪⎪+++=⎩L L M L

1. 构造原理

（1）Jacobi迭代法

将线性方程组的第i个变元i x用其他n-1个变元表出，可得

Jacobi 迭代格式

:

（3）取定初始向量()

()()()

(

)

000012,,,T

n

x

x x x =L ，代入，可

逐次算出向量序列()

()

()

12,,,k x x x L L ，这里

()

()()()

(

)12,,,T

k k k k n

x

x x x =L 。

（2）Gauss-Seidel迭代法

:

Seidel迭代格式

例1对线性方程组

123123123+22=1+=2

2+2=3

x x x x x x x x x ⎧-⎪

+⎨⎪

+⎩ 写出Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式.

3）SOR法

SOR法的迭代格式

式中参数ω称为松弛因子，当ω =1时，SOR法就是Seidel迭代法.

2.迭代分析及向量收敛

1） 三种迭代法的向量迭代格式 对 Ax=b ，将系数矩阵A 作如下分解

A D L U =--

1122

12

121212

,0

0000000,00

00nn n n n n a a D a a a a a L U a a ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦--⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=

=⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥--⎣⎦

⎣⎦O L L L L M M O M M M O M L L

则Ax=b 可以写成

()D L U x b --=

Jacobi 迭代的向量迭代格式

()

()

1k k J J x

B x g +=+

1()J B D L U -=+，1J g D b -=. J

B 为Jacobi 迭代法的

迭代矩阵.

Seidel 向量迭代格式

()

()

1k k S S x

B x

g +=+

()1

S B D L U -=-，()1

S g D L b -=-.s B 为

Seidel 迭代法

的迭代矩阵.

SOR 法的向量迭代格式

()

()

1k k x

B x

g ωω+=+

()()1

1B D L D U ωωωω-=--+⎡⎤⎣⎦，()1

g D L b ωωω-=-.B ω

为超松弛迭代法的迭代矩阵。

三种迭代格式可写成迭代格式

(

)

()1k k

x B x g +=+

2）向量收敛定义

定义1 设向量序列()

()()()

(

)

12,,,T

k k k k n

x

x x x =L 及

向量()*

***1

2

,,,T n

x x x x =L 都是n

R 中的向量，如果有

()*lim ,1,2,,k i i k x x i n →∞

==L

成立,则称()

k x

收敛于*

x .简记为

()

*

lim k k x

x →∞

=。