职高数学——数列
数列的概念
一、高考要求：
理解数列的概念和数列的通项公式、数列的前n 项和的意义.了解数列的分类. 二、知识要点： 1.数列的概念:
按一定“次序”排列的一列数,叫做数列.在数列中的每一个数叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)、第2项、第3项、…、第n 项、…. 2.数列的通项公式:
用项数n 来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式.数列的通项是以正整数集的子集为其定义域的函数,可记作:),(),(+?∈=N A A n n f a n . 3.数列的前n 项和:
在数列1a 、2a 、3a 、…、n a 、…中,把1a +2a +3a +…+n a 叫做数列}{n a 的前n 项和,记作:n S =1a +2a +3a +…+n a . 4.数列的分类:
按项数是有限还是无限来分,数列可分为有穷数列和无穷数列;
按项与项之间的大小关系来分,数列可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列. 三、典型例题：
例1:写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下面各列数:
(1)1,3,5,7; (2)1,3,6,10; (3)31,1,59,38; (4)21,49-,6
25,849-.
例2:已知数列}{n a :1a =1,)2()
1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ,
(1)写出数列}{n a 的前5项; (2)求通项公式.
例3:已知数列}{n a 的前n 项和n S ,求数列}{n a 的通项公式:
(1) n S n n 1)1(+-=; (2)322
++=n n S n .
四、归纳小结：
1.数列与数集:数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体.数列中的数是有序的,而数集中的元素是无序的;同一个数在数列中可以重复出现,而数集中的元素是互异的.数列概念的内涵是一列数、有序排列等两个本质属性的总和.
2.数列与函数:数列可看作是一种特殊的函数(定义域为正整数集或其有限子集的函数)当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.
3.数列的通项公式:一个数列的通项公式就是一个以+N 或它的有限子集{1,2,3,…,n}为定义域的函数的解析表达式;不是每一个数列都一定有通项公式,如果一个数列有通项公式,那么它的通项公式在形式上可以不止一个.求数列的通项公式实质上就是寻找数列的第n 项与序号n 之间的联系纽带.数列的递推公式是给出数列的一种重要方法.
4.数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系:???∈≥-==+-),2()
1(11N n n S S n S a n n
n .
五、基础知识训练： (一)选择题：
1.数列1,3,7,15,…的通项公式n a 是( )
A.n 2
B.n 2+1
C.n 2-1
D.12-n 2.下列关于数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,…的通项公式,不正确的是( )
A.n
n a )1(-= B.πn a n cos = C.??
?-=)
(1)(1为偶数为奇数n n a n D.π2
sin n a n =
3.已知某数列的通项公式为12-=n n a ,则2047是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项
4.已知数列,,32,3,6,3 那么6是这个数列的( )
A.第10项
B.第11项
C.第12项
D.第13项 5.已知n n n a a a a a -===++1221,6,3,那么5a 的值是( )
A.3
B.6
C.-3
D.-6 6.已知数列}{n a 满足n a n a a 3log ,1211==+,则5a 的值是( )
A.3log 42
B.3log 52
C.42)3(log
D.52)3(log 7.(97高职)数列}{n a 的前n 项和)1(+=n n S n ,则它的第n 项n a 是( )
A.n
B.n(n+1)
C.2n
D.n 2
8.已知数列}{n a 的通项公式为n a n 351-=,那么数列}{n a 的前n 项和n S 达到最大值时n=( )
A.15
B.18
C.16或17
D.19 (二)填空题： 9.数列1,41-
,91,161-,x,36
1-,…中,x= . 10. 数列7,77,777,7777,77777,…的一个通项公式是 . 11.已知数列}{n a 的前n 项和12+=n S n ,则它的第n 项n a = . 12.已知数列}{n a 的前n 项和1322+-=n n S n ,那么1054a a a +++ = . (三)解答题：
13.已知数列}{n a 的前n 项和pn n S n +=2,数列}{n b 的前n 项和n n T n 232
-=,若
1010b a =,求p 的值.
14.已知数列}{n a 的前n 项和1322++=n n S n ,求n a .
等差数列
一、高考要求：
掌握等差数列的概念,掌握其等差中项、通项公式及前n 项和公式,并会用公式解简单的问题.
二、知识要点： 1.等差数列的概念:
一般地,如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一常数,则这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 来表示.
公差为0的数列叫做常数列.
2.等差数列}{n a 的通项公式:d n a a n )1(1-+=.
3.等差中项的概念:
一般地,如果在数a 与b 中间插入一个数A,使a,A,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.记作:2
b
a A +=
. 4.等差数列}{n a 的前n 项和公式:2)(1n n a a n S +=或d n n na S n 2
)
1(1-+=. 三、典型例题：
例1:已知5,1185==a a ,求等差数列}{n a 的通项公式及前n 项的和公式.
例2:在等差数列}{n a 中,121,16,442===n S S S ,求n.
例3:已知数列}{n a 是等差数列,且1171713951=+-+-a a a a a ,求153a a +的值.
例4:已知数列}{n a 的前n 项的和为n n S n 32+=,求证数列}{n a 是等差数列.
例5:等差数列}{n a 中,1291,0S S a =<,该数列的前多少项的和最小?
四、归纳小结：
1.判断一个数列是等差数列的方法:
(1)d a a n n =--1(n≥2,d 为常数)?}{n a 是公差为d 的等差数列; (2)112+-+=n n n a a a (n≥2)?}{n a 是等差数列;
(3)b kn a n +=(k,b 为常数)?}{n a 是公差为k 的等差数列; (4)Bn An S n +=2(A,B 为常数)?}{n a 是等差数列.
2.三个数a,b,c 成等差数列的充要条件是a+c=2b(b 是a 和c 的等差中项).
等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系:n n n a a a 211=++-(n≥2),可推广为:若项数m,n,p 成等差数列,则n p m a a a 2=+. 3.公差为d 的等差数列}{n a 的主要性质:
(1)d ＞0时,}{n a 是递增数列; d ＜0时,}{n a 是递减数列; d=0时,}{n a 是常数列; (2))()(+∈-+=N n m d m n a a m n 、;
(3)若m+n=p+q(+∈N q p n m 、、、),则q p n m a a a a +=+; (4)数列}{b a n +λ(λ,b 是常数)是公差为λd 的等差数列; (5)n n n n n S S S S S 232,,--成等差数列. 4.解题的基本方法:
(1) 抓住首项与公差,灵活运用定义、通项公式及前n 项和公式是解决等差数列问题的
关键.
(2) 等差数列的通项公式、前n 项和公式涉及五个量:n n S a n d a ,,,,1,知道其中任意三个
就可以列出方程组求出另外两个(俗称“知三求二”).
(3) 巧设未知量.若三数成等差数列,可设这三数分别为a-d,a,a+d(其中d 为公差);若
四数成等差数列,可设这四数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(其中2d 为公差). (4) 若a,b,c 成等差数列,常转化为a+c=2b 的形式去运用;反之,求证a,b,c 成等差数列,
常改证a+c=2b.
五、基础知识训练： (一)选择题：
1.已知等差数列}{n a 中,2a =1002,n a =2002,d=100,则项数n 的值是( )
A.8
B.9
C.11
D.12 2.已知等差数列}{n a 中,1a =1,3a =5,则10a =( )
A.19
B.21
C.37
D.41 3.等差数列}{n a 中,31=a ,36100=a ,则983a a +=( )
A.36
B.38
C.39
D.42
4.在1和100之间插入15个数,使它们同这两个数成等差数列,则其公差( ) A.
17101 B.16101 C.1799 D.16
99
5.已知a,b,c∈R,那么“a -2b +c=0”是“a,b,c 成等差数列”的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 中C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知a,b,c 的倒数成等差数列,且a,b,c 互不相等,则
c
b b
a --等于( ) A.c a B.a c C.c
b D.b
a
7.已知数列y a a x ,,,21和y b b b x ,,,,321都是等差数列,且y x ≠,则
1
21
2b b a a --=( )
A.
43 B.54 C.34 D.4
5 8.一个等差数列的首项是32,若这个数列从第15项开始小于1,那么这个数列的公差d 的取值范围是( )
A.1431- B.1331>d C.14311331-<≤-d D.14 31 1331-<<-d 9.在△ABC 中,若三个角A 、B 、C 成等差数列,且a lg 、b lg 、c lg 也成等差数列,则△ABC 一 定是( ) A.有一个角是60o的任意三角形 B.有一个角是60o的直角三角形 C.正三角形 D.以上都不正确 10.在等差数列}{n a 中,已知1254=+a a ,那么它的前8项和8S =( ) A.12 B.24 C.36 D.48 11.已知等差数列}{n a 的公差为 1,且99999821=++++a a a a ,则 999663a a a a ++++ 的值是( ) A.99 B.66 C.33 D.0 12.等差数列}{n a 中,10109=+a a ,203029=+a a ,则10099a a +=( ) A.55 B.110 C.15 D.以上都不对 (二)填空题： 13.已知等差数列}{n a 中,111032a a a a +++=48,则76a a += . 14.等差数列}{n a 中,已知m a n a n m ==,,则n m a += . 15.已知三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,则这三个数依次为 . 16.4log 6与9log 6的等差中项为 . (三)解答题： 17.已知}{n a 是等差数列,公差为d,前n 项和为n S : (1)5,2,11=-==n d a ,求n a 及n S ; (2)0,31,3===n S n d ,求1a 及n a ; (3)840,80,4-=-=-=n n S a d ,求1a 及n ; 等比数列 一、高考要求： 掌握等比数列的概念,掌握其等比中项、通项公式及前n 项和公式,并会用公式解简单的问题. 二、知识要点： 1.等比数列的概念: 一般地,如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的比都等于同一常数,则这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 来表示. 公比为1的数列叫做常数列. 2.等比数列}{n a 的通项公式:11-=n n q a a . 3.等比中项的概念: 一般地,如果在数a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的 等比中项.记作:ab G ab G ±==或2. 4.等比数列}{n a 的前n 项和公式:1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1或q q a a S n n --=11;1 =q 时,1na S n =. 三、典型例题： 例1:在等比数列}{n a 中,已知n S =189,n a =96,q=2,求1a 和n. 例2:设等比数列}{n a 的公比与前n 项和分别为q 与n S ,且q≠±1,810=S ,求10 201q S +的值. 例3:数列}{n a 中,)1,0(1≠≠+=k k ka S n n . (1)求证:}{n a 是等比数列; (2)求n a . 例 4:已知等差数列}{n a 的公差和等比数列}{n b 的公比都是 d,10104411,,,1b a b a b a d ===≠. (1)求1a 与d 的值; (2)16b 是不是}{n a 中的项?为什么? 例5:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为8, 第二个数与第三个数的和为4,求这四个数. 四、归纳小结： 1.判断一个数列是等比数列的方法: (1)q a a n n ?=-1(n≥2,q 是不为零的常数)?}{n a 是公比为q 的等比数列; (2)112 +-?=n n n a a a (n≥2,011≠??+-n n n a a a )?}{n a 是等比数列; (3)n n q c a ?=(c,q 均是不为零的常数)?}{n a 是首项为cq,公比为q 的等比数列. 2.三个数a,b,c 成等比数列的必要条件是ac b =2或ac b ±= (b 是a 和c 的等比中项). 等比中项描述了等比数列中相邻三项之间的数量关系:2 11n n n a a a =?+-(n≥2),可推广为: 若项数m,n,p 成等差数列,则2 n p m a a a =?. 3.公比为q 的等比数列}{n a 的主要性质: (1)当q ＞1,01>a 或0,101<<