弹塑性理论习题

习题2

2-1 受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图2.1。试证明齿尖上完全没有应力。

图 2.1

2-2 物体中某点的应力状态为,101)010101i j σ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（，求三个不变量和三个主应力的大小。

2-3 有两个坐标系，试证明x y z x y z σσσσσσ'''++=++=不变量。 2-4 M 点的主应力为22212375N/cm ,50N/cm ,50N/cm σσσ===-。一斜截面的法线v 与三个主轴成等角，求v P 、v σ及v τ。

2-5 已知某点的应力状态为 ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛ττττττ=σ000ij ）

（，求该点主应力的大小和主轴方向。

2-6 已知某点的应力状态为⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛σσσσσσσσσ=σ）（ij ，求该主应力的大小和主轴方

向。

2-7 已知某点的应力状态为

,)x xy xz i j xy y yz xz yz z σττστστττσ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

（过该点斜截面法线v 的方向余弦为),,(n m l ,试求斜截面上切应力v τ的表达式。

p

p

2-8 物体中某点的应力状态为

,00)000xz i j yz xz yz τστττ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

（求该点主应力的大小和主轴方向。

2-9 已知物体中某点的应力状态为ij σ，斜截面法线的方向余弦

为

，试求斜截面上切应力的大小。 2-10 半径为a 的球，以常速度v 在粘性流体中沿x 轴方向运动。球面上点

A （z y x ,,）受到的表面力为032x x v p p a a μ-=

+，0y y p p a -=，0z z

p p a

-=，式中0p 为流体的静水压力。试求球所受的总力量。

2-11 已知物体中某点的应力状态为ij σ，斜截面法线的方向余弦

为

，试证明斜截面上的正应力8σ及剪应力8τ分别为8113J σ=

、8τ=

。

习题3

3-1 若位移w v u 、、是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是一样的，这种变形叫均匀变形。设有以O 为中心的曲面，在均匀变形后成为球面，

2222r 'z 'y 'x =++

问原来的曲面0),,(=z y x f 是怎样的一种曲面？ 3-2 证明

)

y x (k 22x +=ε，

)z y (k 22y +=ε，xyz 'k xy =γ，

0zx yz z ===γγε（其中k 和'k 是微小的常数），不是一个可能的应变状态。

3-3 将一个实体非均匀加热到温度T ，而T 是x 、y 、z 的函数。如果假设每一单元体的热膨胀都不受约束，那么各应变分量为T z y x αεεε===，

0zx yz xy ===γγγ，其中α是热膨胀系数，是常数。试证明，这种情况只有当T 是x 、y 、z 的线性函数时才会发生。 3-4 参照下图，

设000dS B A =，dS AE =,而AD AC AB AE ++=,试证:

222201112223332222dS dS E d E d E d ααα-=++121223233131444E d d E d d E d d αααααα+++

ij 2i j E d αα=

1

α2

α3

α0

A A B

C

D

B 0

C 0

D O

S

E

3-5 已知欧拉应变ij e 的6个分量，证明小变形的线应变和剪应变为

00

1x AB A B AB

ε-=

=- 221112

0000000021212e e e C A B A C A B A xy -⋅-=

⋅⋅-=

γ

3-6 已知：20.01u α= ，0υ=， 0ω=，求：ij E . 3-7 试证：2202ij i j dS dS e dx dx -= .

3-8 设某点的拉格朗日应变为 ()1

000 1.640.4800.48 1.36ij E -⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

试求：(a) 主应变；

(b) 最大主应变对应的主轴方向； (c) 最大剪应变分量n E .

3-9 刚性位移与刚体位移有什么区别？

3-10 试用应力分量写出轴对称极坐标平面应变状态条件下的协调方程。 3-11 如图3-11所示，试用正方体（a ×a ×a ）证明不可压缩物体的泊松比

2

1

=

μ。 3-12 将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖上面承受均匀压力p 的作用，如图3-12所示。假设铁盒与铁盖可以看作为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦力，试求铁盒内侧面所受到的压力以及橡皮块的体积应

变。若将橡皮块换成刚体或不可压缩体时，其体积应变将有什么变化？

图3-11 图3-12

p

3-13 设321,,s s s 为主应力偏量，试证明用主应力偏量表示米泽斯屈服条件，其形式为

s s s s σ=++）（2322212

3 3-1

4 已知两端封闭的薄壁圆筒，半径为r ，厚度为t ，承受内压及轴向拉应力的作用，试求此时圆管的屈服条件，并画出屈服条件的图。

3-15 已知半径为r ，厚度为t 的薄壁圆筒，承受轴向拉伸和扭转的联合作用，设在加载过程中，保持1/=z r στθ，试求此圆管在按米泽斯屈服条件屈服时，轴向拉伸力P 和扭矩M 的表达式。

3-16 在如下两种情况下，试给出塑性应变增量的比值。 （a ）单向受力状态，1s σσ=， （b ）纯剪受力状态，3

3s

στ=

。

3-17 已知薄壁圆筒承受拉应力s z σσ2

1

=

及扭矩的作用，若使用米泽斯屈服条件，试求薄壁圆筒屈服时扭转应力应为多大？并给出此时塑性应变增量的比值。

3-18 若有两向应力状态C s

==-

==p 132s

1d 03

3

εσσσσσ，，，，试求各

应变分量的值。