高一数学必修4同步练习：3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式
人教A版高中数学必修4巩固练习：3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式.docx
[答案] D[解析] sin15°cos15°＝12sin30°＝14；2cos 2π12－1＝cos π6＝32，1＋cos30°2＝cos15°≠12， tan22.5°1－tan 222.5°＝12tan45°＝12，∴选D.2．已知sin2α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α的值是( )A ．－32B.34C.32 D ．－34[答案] A[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α.又∵(cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34，∴cos α－sin α＝－32.3、已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( )A ．－53B ．－59C.59D.53 [答案] A[解析] sin α＋cos α＝33，两边平方可得1＋sin2α＝13⇒sin2α＝－23α是第二象限角，因此sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1＋23＝－153∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－534．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] D[解析] ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，∴α2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4， ∴原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2.5．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 [答案] B[解析] 因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以f (x )是奇函数，因而f (x )的图象关于原点对称，故选B.6.12－sin 215°的值是( ) A.64 B.6－24C.32D.34[答案] D[解析] 原式＝12－1－cos (2×15°)2＝cos30°2＝34.7．已知cos α＝45，则cos2α＝________.[答案] 725[解析] ∵cos α＝45，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×(45)2－1＝725.8.3tanπ81－tan 2π8＝________.[答案] 32[解析] 原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan(2×π8)＝32tan π4＝32. 9．已知sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin2α、cos2α、tan2α的值．[解析] ∵sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.∴sin2α＝2sin αcos α ＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝－120169×169119＝－120119.10．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12 D.72[答案] C[解析] cos2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)＝－22.∴sin α＋cos α＝12.11．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin2θ的值为( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D.2425[答案] A[解析] ∵sin θ＝45>0，sin θcos θ<0，∴cos θ<0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.12．若x ＝π12，则cos 2x －sin 2x 的值等于( )A.14B.12 C.22 D.32[答案] D[解析] 当x ＝π12时，cos 2x －sin 2x ＝cos2x＝cos(2×π12)＝cos π6＝32.13、已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A.1318B.1118C.79 D ．－1[答案] B[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.14．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos θ，12的模为22，则cos2θ等于( )A.2－32B ．－14C ．－12D.12[答案] C[解析] |a |＝cos 2θ＋14＝22，则cos 2θ＝14，所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝－12.15、已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16 B.13 C.12 D.23[答案] A[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．由倍角公式可得，cos 2(2＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A. 16．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin2A ＝________.[答案]120169[解析] ∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1213.∴sin2A ＝2sin A cos A ＝120169.17．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．[答案] 3[解析] 由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.18．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)．(1)求sin x 的值． (2)求sin(2x ＋π3)的值．[解析] (1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)＝1－cos 2(x －π4)＝7210，则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈(π2，3π4)，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－(45)2＝－35，sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin(2x ＋π3)＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.。
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式优化练
A．1B.
C．2D．4
解析：tan 67°30′－
＝
＝ ＝ ＝2.
答案：C
4．函数y＝2cos2 －1是()
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为 的偶函数
解析：y＝2cos2 －1
＝cos ＝cos ＝sin 2x，
其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f ＝－ ，α∈ ，
求sin 的值．
解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝ ，
所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2 cos2x)，
C．－ D.
解析：因为 <θ<3π，|cosθ|＝ ，
所以cosθ<0，cosθ＝－ ，
因为 < < ，
所以sin <0.
因为sin2 ＝ ＝ ，
所以sin ＝－ .
答案：C
2．已知α∈R，sinα＋2cosα＝ ，则tan 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：先利用条件求出tanα，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝ ，即3cos2α＋4sinαcosα＝ ，
所以T＝ ＝π，
又f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数．
答案：A
5．设sin ＝ ，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
高中数学必修四课时作业4：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、基础达标1.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )[答案] B[解析] 如图所示，当x ∈(0，π2)时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x,0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM |＝sin x ，∴f (x )cos x＝sin x ， ∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈(π2，π)时，有f (x )|cos x |＝sin(π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合．2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( ) A.12 B.22 C ．2 D.32[答案] C[解析] 原式＝3－sin 70°2－12(1＋cos 20°)＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79 C.13 D.79[答案] B[解析] cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 4．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－12[答案] A[解析] ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3. 5．若α∈⎣⎡⎦⎤5π2，7π2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] D[解析] ∵α∈⎣⎡⎦⎤5π2，7π2，∴α2∈⎣⎡⎦⎤5π4，7π4， ∴原式＝⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2 ＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2. 6．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2 α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ． [答案] 3 [解析] 由sin 2 α＋cos 2α＝14得sin 2 α＋1－2sin 2 α＝1－sin 2 α＝cos 2 α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.7．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310. 二、能力提升8．4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3D ．22－1[答案] C[解析] 4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4cos 50°cos 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (60°＋20°)－sin (60°－20°)cos 40°＝32cos 20°＋32sin 20°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，选C. 9．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2 x 的最小正周期T 为 ．[答案] π[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2 x ＝sin 2x ＋23×1－cos 2x 2＝sin 2x －3cos 2x ＋ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，所以周期T ＝2π2＝π. 10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ . [答案] 3[解析] 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 11．(1)已知π<α<32π，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α； (2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°)．解 (1)∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2.(2)原式＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin 50°sin (10°＋30°)cos 10°＝2sin 50°sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝1. 12．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos 2 θ在角α的终边上，点Q (sin 2 θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12. (1)求cos 2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．解 (1)因为OP →·OQ →＝－12， 所以12sin 2 θ－cos 2 θ＝－12， 即12(1－cos 2 θ)－cos 2 θ＝－12，所以cos 2 θ＝23， 所以cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝13. (2)因为cos 2 θ＝23，所以sin 2 θ＝13， 所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭⎫13，－1， 又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35. 同理sin β＝－31010，cos β＝1010， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝⎛⎭⎫－31010＝－1010. 三、探究与创新13．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝cos x ·3sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 最小正周期T ＝2π2＝π. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象知， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.。
3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式
又如：α＝2·α2，α2＝2·α4，…
(2)公式正用
人
教
从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通
Ａ
版 数
过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐
学
必 修
步达到目的．
４
第三章 三角恒等变换
(3)公式逆用
意向转换，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新
意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要
9分
又∵2α∈0，π2，β∈π2，π，
∴2α－β∈(－π，0)，
人
教 Ａ 版
∴2α－β＝－34π.
数
学
必
修
４
12 分
第三章 三角恒等变换
【题后总结】在给值求角角 的范围是关键的一步．
人 教 Ａ 版 数 学 必 修 ４
第三章 三角恒等变换
人 教 Ａ 版 数 学 必 修 ４
第三章 三角恒等变换
2．已知 sinπ4－x＝153，0＜x＜π4，求cocsosπ4＋2xx的值． 解：原式＝scionsπ2π4＋＋2xx
人 教 Ａ 版 数 学
＝2sinπ4c＋osx4πc＋osxπ4＋x＝2sinπ4＋x.
必
修
４
第三章 三角恒等变换
∵sinπ4－x＝cosπ4＋x＝153，且 0＜x＜π4，
Ａ 版
然变形前后的定义域关于原点对称，但最小正周期不同．
数
学
必
修
４
第三章 三角恒等变换 人 教 Ａ 版 数 学 必 修 ４
二倍角公式
人 教 Ａ 版 数 学 必 修 ４
第三章 三角恒等变换
对于α∈R，sin 2α＝2sin αcos α恒成立．在什么情况下， sin 2α＝2sin α成立？
人教a版高一必修4_3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式_作业_word版含解析
人教a 版高一必修4_3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式_作业_word 版含解析[A.基础达标]1.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选D.原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.2．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选D.sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.3．已知cos(α＋π4)＝14，则sin 2α的值为( )A.78 B ．－78C.34 D ．－34解析：选A.∵cos(α＋π4)＝14，∴sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝－cos[2(α＋π4)]＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－116×2＝78.4．已知cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( )A ．－2425 B ．－45C.2425D.255解析：选A.∵cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2xcos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且 sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于()A.22B.33 C. 2 D. 3 解析：选D.∵sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14. ∴cos α＝±12. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3.6．已知sin(π6＋α)＝13，则cos(2π3－2α)的值等于________． 解析：因为cos(π3－α) ＝sin[π2－(π3－α)] ＝sin(π6＋α)＝13， 所以cos(2π3－2α) ＝2cos 2(π3－α)－1 ＝2×(13)2－1＝－79. 答案：－797．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________. 解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________． 解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35， 所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：24259．已知sin(π4－α)＝513，0＜α＜π4，求cos 2αcos (π4＋α)的值． 解：因为π4＋α＝π2－(π4－α)， 所以cos(π4＋α)＝cos[π2－(π4－α)] ＝sin(π4－α)＝513. 又因为0＜α＜π4，0＜π4－α＜π4， 所以cos(π4－α)＝1213， 所以cos 2α＝sin(π2－2α) ＝2sin(π4－α)cos(π4－α) ＝120169， 所以cos 2αcos (π4＋α)＝120169513＝2413. 10．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 证明：法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α ＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．[B.能力提升]1．tan 67°30′－1tan 67°30′的值为( ) A ．1 B. 2C ．2D ．4解析：选C.tan 67°30′－1tan 67°30′＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2.2．已知不等式32sin x 4cos x 4＋6cos 2 x 4－62－m ≤0对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥ 3B ．m ≤ 3C ．m ≤－ 3D ．－3≤m ≤ 3 解析：选A.32sin x 4cos x 4＋6cos 2 x 4－62 ＝322sin x 2＋62cos x 2＝6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6，所以x 2＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， 所以6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6∈[－3，3]，由题意可知m ≥ 3. 3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos 50°2，将a ，b ，c 用“＜”号连接起来为________． 解析：a ＝12cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°·sin 6°＝sin 24°， b ＝2tan 13°1－tan 213°＝tan 26°， c ＝1－cos 50°2＝sin 2 25°＝sin 25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26°， cos 26°＜1，∴tan 26°＞sin 26°.又∵y ＝sin x 在(0°，90°)上为增函数，所以a ＜c ＜b . 答案：a ＜c ＜b4．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． 解析：y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. 答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 5．已知向量p ＝(cos α－5，－sin α)，q ＝(sin α－5，cos α)，p ∥q ，且α∈(0，π)．(1)求tan 2α的值；(2)求2sin 2(α2＋π6)－sin(α＋π6)． 解：(1)由p ∥q ，可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)·(－sin α)＝0，整理得sin α＋cos α＝15. 两边平方得1＋2sin α·cos α＝125， 所以sin α·cos α＝－1225.因为α∈(0，π)，所以α∈(π2，π)， 所以sin α－cos α ＝1－2sin α·cos α＝75， 解得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. (2)2sin 2(α2＋π6)－sin(α＋π6) ＝1－cos(α＋π3)－sin(α＋π6) ＝1－12cos α＋32sin α－32sin α－12cos α＝1－cos α＝85. 6．(选做题)(2015·南昌高一检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3_1-3_1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式练习 新人教A版必修4
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级 基础巩固一、选择题1．sin 15°sin 75° 的值为( ) A.12 B.32 C.14 D.34解析：原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14. 答案：C2．已知sin α＝23，则cos (π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19 D.53 解析：因为sin α＝23， 所以cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2 α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19. 答案：B3.1－sin 24°等于( )A.2cos 12° B ．2cos 12° C ．cos 12°－sin 12° D ．sin 12°－cos 12°解析：1－sin 24°＝sin 2 12°－2sin 12°cos12°＋cos 212°＝ （sin 12°－cos 12°）2＝|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°.答案：C4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，则sin 2α的值为( )A.78 B ．－78 C.34 D ．－34解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－116×2＝78.答案：A5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2 α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于()A.22 B.33 C. 2 D.3解析：因为sin 2 α＋cos 2α＝14，所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2 α＝14所以cos α＝±12.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝12，sin α＝32.所以tan α＝ 3.答案：D二、填空题 6．已知tan α＝－13，则sin 2α －cos 2 α1＋cos 2α＝________． 解析：sin 2α－cos 2 α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2 α1＋2cos 2α－1＝ 2sin αcos α－cos 2 α2cos 2 α＝tan α－12＝－56. 答案：－56 7．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________． 解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13， 所以cos 2θ＝1－2sin 2 θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案：13 798．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________． 解析：法一：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， 所以 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35， 所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725. 答案：725三、解答题9．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)． 解：原式sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1＝ sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝ sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin （－10°）cos 20°＝ －sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 10．已知tan α＝17，tan β＝13，并且α、 β均为锐角，求α＋2 β的值． 解：因为tan β＝13，所以tan 2 β＝2tan β1－tan 2 β＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34，所以tan(α＋2 β )＝tan α＋tan 2 β1－tan αtan 2 β＝17＋341－17×34＝1. 0＜tan α＝17＜1，0＜tan β＝13＜1， 又已知α， β均为锐角，所以0＜α＜π4，0＜ β ＜π4，0＜2 β ＜π2， 所以0＜α＋2 β ＜3π4. 又tan(α＋2 β )＝1，所以α＋2 β＝π4. B 级 能力提升1．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2 x ，x ∈R 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22－12，22－12 解析：y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝ 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝ 22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12. 因为x ∈R，所以2x －π4∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4∈[－1，1]， 所以函数y 的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22＋12，22＋12.答案：C2．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________． 解析：设此三角形的底角为α，顶角为 β，则cos α＝45，sin α＝35， 所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：24253．(2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解：(1)由题意知cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝－255， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝ 22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45， cos 2α＝2cos 2 α－1＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－33＋410.。
人教版数学高一-人教A版必修4练习 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．基础梳理一、二倍角的正弦、余弦、正切公式α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中，令β＝α，在公式sin()得到sin 2α＝2sin_αcos_α，这就是二倍角的正弦公式；α＋β＝cos αcos β－sin αsin β中，令β＝α，在公式cos()得到cos 2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 在公式tan ()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中，令β＝α，得到tan 2α＝2tan α1－tan α，这就是二倍角的正切公式．练习1：2sin 15°cos 15°＝12．练习2：cos 2α2－sin 2α2＝cos_α．练习3：2tan 2α1－tan 22α＝tan_4α．思考应用1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角？ 解析：注意 tan 2α＝2tan α1－tan 2α这个公式，因为要使tan 2α，tan α有意义，即2α≠π2＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)还有1－tan 2α≠0即tanα≠±1从而推出α≠π4＋k π(k ∈Z)综上所述α≠π4＋k π2且α≠π2＋k π(k ∈Z)而公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角．二、二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角，α3是α6的二倍角等等．又如α＝2×α2，α2＝2×α4，…，α2n ＝2×α2n ＋1等等．(2)当α＝k π＋π2()k ∈Z 时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π6.(4)公式的逆用变形． 升幂公式： 1＋cos α＝2cos α21－cos α＝2sinα21±sin 2α＝()sin α±cos α2．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．思考应用2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1的奇偶性与周期性．解析：∵y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，∴函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1为奇函数， 且其最小正周期T ＝2π2＝π.自测自评1．若sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α是(C )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 解析：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425<0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725<0，∴角α是第三象限角．故选C.2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则tan 2α分析：由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.3.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是(A ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：原式＝12sin 40°cos 310°＝sin 40°2cos ⎝⎛⎭⎫270°＋40° ＝sin 40°2sin 40°＝12.故选A. 4．已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝－247． 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2 x＝－247.基础提升1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是(A ) A ．π B.π2C.π4D ．2π解析：∵y ＝cos 2x ，∴函数的最小正周期T ＝π.故选A. 2．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果是(B )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.故选B. 3．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的结果是(B ) A.12sin 2x B.12cos 2x C ．－12cos 2x D ．－12sin 2x解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x ＋cos π4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x －cos π4sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x .故选B. 4．已知cos α＝－35，且π<α<3π2，则cos α2＝ (B )A.55 B ．－55 C.255 D ．－255解析：∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos2α2＝1＋cos α2＝15. ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2＝－15＝－55.故选B. 5．当3π<α<4π时，化简1＋cos α2－ 1－cos α2(A ) A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 B ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4 D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4解析：1＋cos α2－1－cos α2＝cos2α2－sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵3π<α<4π， ∴3π2<α2<2π， ∴sin α2<0，cos α2>0.∴原式＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋π4.故选A. 巩固提高6．已知三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝34，则三角形的形状是(B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵sin α＋cos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1＋sin 2α＝916，∴sin 2α＝－716<0，又α是三角形的一个内角，故α是钝角． 故选B.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35 ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425. 又由cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35，得 2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4－1＝－725，即cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－725，∴sin 2α＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－2425×22－725×22＝－31250.8．已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos 2α的值．解析：∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， 2sin αcos α＝－23，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝53，∴sin α－cos α＝153. ∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－153×33＝－53. 9．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1()x ∈R .(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y ＝sin x ()x ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14⎝⎛⎭⎫2cos 2x －1＋14＋34·()2sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2x sin π6＋sin 2x cos π6＋54 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54. 所以y 取最大值时，只需2x ＋π6＝π2＋2k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z ， 即x ＝π6＋k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z . 所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z.(2)将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ④把得到的图象向上平移54个单位长度，得到函数 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54的图象． 综上得到y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈R 的图象．1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：一类是已知角α的某个三角函数值，求其他三角函数值．解法是直接利用三角函数基本关系式求解．另一类是已知tan α的值，求关于sin α，cosα的齐次分式的值的问题，比如求sin α＋cos αsin α－cos α的值，因为cos α≠0，所以用cos α除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成待求式的求值．2．关于化简与证明：(1)sin 2α＋cos 2α＝1及()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明．。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式刷题课件高一数学人教A版必修4第三章
A.1
3
C.2
解析
1+ 3
2
B.
D.1＋ 3
刷提升
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
6．[广西钦州202X高一期末]已知
7
7
A. 8
B．－ 8
4
C. 7
解析
4
D．－ 7
则sin 2α的值是( A )
刷提升
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
7．[江苏镇江202X高一期末]已知cos x＋sin x＝
题型1
给角求值
3−sin 70∘
2
5.2−2 10＝________.
解析
刷基础
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题型2
给值求角
6．[广东雷州202X期末]若tan α>0，则( C )
A．sin α>0
B．cos α>0
C．sin 2α>0 D．cos 2α>0
解析
sin
由tan α＝cos>0，得sin 2α＝2sin αcos α>0.故选C.
值为( A )
4 2
7
A．－
解析
B.
4 2
7
4
4
C．－ 3 D. 3
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题型2
给值求角
3
9．[福建厦门202X高一期末]已知sin( + )＝ ，则sin( − 2)的值为( D )
6
5
6
7
4
4
7
A．－25 B．－ 25 C. 25 D. 25
解析
刷基础
三角函数最好练习3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式
18．设函数
π f ( x) ＝ 2cos xsin( x＋ 3 ) －
3sin 2x＋sin xcosx，当
π x∈ [0 ， 2 ] 时，求
f ( x) 的最大值和最
小值． [ 分析 ] 一般地，对形如 y＝ Asin 2x＋Bcos 2x＋ Csin xcos x 的函数利用二倍角公式及其变形公式，可将
)
7 A.
25
16 B.
25
14 C. 25
19 D. 25
[ 答案 ] A
[ 解析 ]
sin2
x＝ cos
π 2
－
2x
＝ cos2
π 4
－
x
＝ 1－ 2sin
2
π 4
－
x
97 ＝ 1－2× 25＝ 25.
1
2
6．已知向量
a＝
cos θ ， 2
的模为
2 ，则 cos2 θ 等于 (
)
3 A. 2－ 2
)
60 A.
119
120 B.
119
60 C．－ 119
120 D．－ 119
[ 答案 ] B
12
π
[ 解析 ] ∵ sin α ＝ 13， α∈ 2 ，π ，
5 ∴ cos α ＝－ .
13 12 ∴ tan α ＝－ 5 .
2tan α 120
∴
tan2
α
＝
1－
tan
2
α
＝
119.
3．若 x＝ π12，则 cos 2x－ sin 2x 的值等于 (
＝ sin2
x
cos
π 3
＋
cos2
人教A版高中数学必修四《3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式》练习题
§3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【学习目标、细解考纲】1、 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2、 能正确运用上述公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式变形。
【知识梳理、双基再现】1、 在两角和的三角函数三角函数公式βαβαβα+++T C S ,,中，当时βα=就可以得到二倍角的三角函数公式，____;__________2sin =α______________________________________________2cos ===α；____;__________2tan =α2、 余弦二倍角公式有三种形式，可得变形公式.______________cos ____;__________sin 22==αα（即降幂公式） 【小试身手、轻松过关】1．sin22︒30’cos22︒30’=__________________;2．=-π18cos 22_________________; 3．=π-π8cos 8sin 22____________________; 4．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8__________________. 5．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin __________________;6．=α-α2sin 2cos 44____________________; 7．=α+-α-tan 11tan 11___________________; 8．=θ-θ+2cos cos 212______________________.【基础训练、锋芒初显】9、 已知180°＜2α＜270°，化简αα2sin 2cos 2-+=（）A 、-3cos αB 、3cos αC 、-3cos αD 、3sin α-3cos α10、已知)3,25(ππα∈，化简αsin 1-+αsin 1+=（） A 、-2cos 2αB 、2cos 2αC 、-2sin 2αD 、2sin 2α 11、已知sin 2α=53，cos 2α=－54，则角α是（） A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角12、若tan θ=3，求sin2θ-cos2θ的值。
【精讲优练课】人教版高中数学必修4练习：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(含答案解析)
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(二十八)二倍角的正弦、余弦、正切公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列各式中，值为的是()A.2sin 15°cos 15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos 30°=.2.已知sin=，cos=-，则角α所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为sinα=2sin cos=2××=-<0，cosα=cos2-sin2=-=-<0，所以α是第三象限角.3.(2015·乐山高一检测)若tanα=3，则的值等于()A.2B.3C.4D.6【解析】选D.==2tanα=2×3=6.【延伸探究】若本题条件不变，则的值如何？【解析】==2+2tanα=2+2×3=8.4.已知α∈R，sinα+2cosα=，则tan2α=()A. B.C.-D.-【解析】选C.本题考查三角函数同角间的基本关系.将sinα+2cosα=两边平方可得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=.将左边分子分母同除以cos2α得，=，解得tanα=3或-，所以tan2α==-.5.(2015·成都高一检测)在△ABC中，若||=2sin15°，||=4cos15°，且∠ABC=30°，则·的值为()A. B.-C.2D.-2【解析】选B.因为||=2sin15°，||=4cos15°，且∠ABC=30°，所以·=||||cos150°=2sin15°·4cos15°·=-2sin30°=-2×=-.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·合肥高一检测)已知α∈，sinα=，则tan2α=________.【解析】由α∈，sinα=，得cosα=-，tanα==-，tan2α==-.答案：-7.化简：tan70°cos10°·(tan20°-1)的结果是________.【解析】原式=·cos10°=cos10°-cos10°·=cos10°-====-1.答案：-1【误区警示】解答本题在切化弦通分后易忽视应用辅助角公式进一步化简. 【补偿训练】计算cos·cos·cos=________.【解析】原式======.答案：8.已知角α的终边经过点(-8，-6)，则=________.【解题指南】先利用定义求出α的三角函数，而后化简所求式即可.【解析】因为点(-8，-6)到原点的距离r==10，所以sinα==-，cosα==-.==-2cosα-2sinα=-2×-2×=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·泰州高一检测)已知α为第二象限角，且sinα=，求的值. 【解析】原式==.因为α为第二象限角，且sinα=，所以sinα+cosα≠0，cosα=-，所以原式==-.【补偿训练】已知sin sin=，α∈，求sin4α的值.【解析】因为sin sin=sin cos=，所以sin=，即cos2α=.因为α∈，所以2α∈(π，2π).所以sin2α=-=-.所以sin4α=2sin2αcos2α=2××=-.10.(2015·吉林高一检测)已知向量m=(cosα-，-1)，n=(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈.(1)求sinα+cosα的值.(2)求的值.【解析】(1)因为m与n为共线向量，所以×1-(-1)×sinα=0，即sinα+cosα=.(2)因为1+sin2α=(sinα+cosα)2=，所以sin2α=-，因为(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2，所以(sinα-cosα)2=2-=.又因为α∈，所以sinα-cosα<0，sinα-cosα=-.因此，=.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若α∈，且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于()A. B.C. D.【解析】选D.由二倍角公式可得sin2α+1-2sin2α=，即-sin2α=-，sin2α=，又因为α∈，所以sinα=，即α=，所以tanα=.2.(2015·昆明高一检测)若=-，则sinα+cosα的值为()A.-B.-C.D.【解析】选C.cos2α=sin=-sin=-sin2=-2sin·cos，==-，所以2cos=1，展开得2=1，即cosα+sinα=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·黄冈高一检测)若sin=，则cos=________.【解析】已知sin=，且+=，则cos=sin=，故cos=2cos2-1=-.答案：-4.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于________. 【解析】sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ，又sin4θ+cos4θ=，所以1-sin22θ=，即sin22θ=，因为θ是第三象限角.所以2kπ+π<θ<2kπ+(k∈Z)，所以4kπ+2π<2θ<4kπ+3π(k∈Z)，所以sin2θ>0，所以sin2θ=.答案：【延伸探究】若cos2θ=，试求sin4θ+cos4θ.【解析】因为cos2θ=，所以sin22θ=.所以sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知向量a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x值；(2)若f(θ)=，求cos2的值.【解题指南】用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求解.【解析】(1)因为a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，所以f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=sin+1.因此，当2x-=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z)时，f(x)取得最大值+1.(2)由f(θ)=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=得sin2θ-cos2θ=，两边平方得1-sin4θ=，即sin4θ=.因此，cos2=cos=sin4θ=.6.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°；⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解析】方法一：(1)计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.方法二：(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°·sin2α)-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)=1-cos2α-+cos2α=.关闭Word文档返回原板块。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后习题 新人教A版必修4(
高中数学第三章三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后习题新人教A版必修4的全部内容。
3。
1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、A组1.（2016•陕西渭南阶段性测试)=（）A.-B.—C.D.解析:原式=cos2-sin2=cos，故选D。
答案:D2。
若sin 2α=，且α∈,则cos α-sin α的值是(）A.B。
C.— D.-解析：（cos α—sin α)2=1-sin 2α=1-.∵α∈,∴cos α—sin α〈0，∴cos α-sin α=-.答案:C3.已知向量a=(3,—2)，b=（cos α,sin α)，若a∥b，则tan 2α的值为()A。
B。
—C。
D.—解析：由已知可得3sin α—(-2)cos α=0,∴tan α=—.∴tan 2α==—。
答案:B4。
若f(x）=2tan x-,则f的值为（）A.—4B。
—C。
8 D。
4解析：∵f（x）=,∴f=8。
答案:C5.设sin α=，tan(π—β)=,则tan(α-2β)=（）A.—B。
- C.D。
解析:∵sin α=，α∈,∴cos α=-,∴tan α=—。
又tan（π—β)=,∴tan β=—，∴tan 2β==—。
∴tan（α-2β)==。
答案：D6。
高一数学人教A版必修4练习3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 Word版含解析
第三章三角恒等变换
．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
．二倍角的正弦、余弦、正切公式
．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式
在公式＝αβ＋αβ中，令β＝α，
得到α＝αα，这就是二倍角的正弦公式；
在公式＝αβ－αβ中，令β＝α，
得到α＝α－α，这就是二倍角的余弦公式，
其变形形式有：α＝α－＝－α；
在公式＝中，令β＝α，
得到α＝，这就是二倍角的正切公式．
练习：°°＝．
练习：－＝α．
练习：＝α．
. 二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角？
解析：注意α＝这个公式，因为要使α，α有意义，即α≠＋π且α≠＋π(∈)还有－α≠即α≠±从而推出α≠＋π(∈)综上所述α≠＋且α≠＋π(∈)而公式α、α中，角α可以是任意角．
二、二倍角公式中应注意的问题
()对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如α是α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角等等．又如α＝×，＝×，…，＝×等等．
()当α＝π＋时，α的值不存在，这时求α的值可用诱导公式求得．
()一般情况下，α≠α，例如≠.
()公式的逆用变形．
升幂公式：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1.12－sin 215°的值是( ) A.64 B.6－24C.32D.34[答案] D[解析] 原式＝12－1－cos 2×15°2＝cos30°2＝34. 2．若sin α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan2α的值为( )A.60119 B.120119 C ．－60119D ．－120119[答案] B[解析] ∵sin α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－513.∴tan α＝－125.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝120119.3．若x ＝π12，则cos 2x －sin 2x 的值等于( )A.14B.12C.22D.32[答案] D[解析] 当x ＝π12时，cos 2x －sin 2x ＝cos2x＝cos(2×π12)＝cos π6＝32. 4．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin2θ的值为( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D.2425[答案] A[解析] ∵sin θ＝45>0，sin θcos θ<0，∴cos θ<0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )A.725 B.1625 C.1425D.1925[答案] A[解析] sin2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×925＝725.6．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos θ，12的模为22，则cos2θ等于( )A.2－32B ．－14C ．－12D.12[答案] C [解析] |a |＝cos 2θ＋14＝22，则cos 2θ＝14，所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝－12.7．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A.459B.259C ．－459D ．－259[答案] A[解析] 令底角为α，则顶角β＝π－2α， ∵cos α＝23，∴sin α＝53，∴sin β＝sin(π－2α)＝sin2α ＝2sin αcos α＝2×53×23＝459.8．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α的值是( )A ．－79B ．－13C.13D.79[答案] A[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.9．(2009·高考)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos(2x －π2)＝sin2x 为奇函数T ＝2π2＝π.10．(2011、高考)3－sin70°2－cos 210°＝( )A.12B.22 C ．2 D.32[答案] C [解析]3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝6－2sin70°3－sin70°＝2.二、填空题11.3tanπ81－tan 2π8＝________.[答案] 32[解析] 原式＝32×2tanπ81－tan 2π8＝32tan(2×π8)＝32tan π4＝32. 12．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin2A ＝________.[答案] 120169[解析] ∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1213.∴sin2A ＝2sin A cos A ＝120169.13．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ的值是________．[答案] 1118[解析] cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝12＋12cos 22θ＝12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝1118. 14．2002年召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．[答案]725[解析] 设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则有4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12ab ＋1＝25，∴ab ＝12.又a 2＋b 2＝25，即直角三角形的斜边c ＝5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝12，a 2＋b 2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴cos θ＝45.∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝725.三、解答题15．已知cos α＝－1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[解析] ∵cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513.∴sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝120169，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝120119.16．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)．(1)求sin x 的值．(2)求sin(2x ＋π3)的值．[解析] (1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)＝1－cos2x －π4＝7210，则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈(π2，3π4)，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－452＝－35，sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin(2x ＋π3) ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解析] ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169513＝2413.18．设函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x ，当x∈[0，π2]时，求f (x )的最大值和最小值．[分析] 一般地，对形如y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C sin x cos x 的函数利用二倍角公式及其变形公式，可将函数式化为y ＝A sin2x ＋B cos2x ＋C 的形式，进而可化为y ＝A 2＋B 2sin(2x ＋φ)＋C 的形式，经过变形后再研究函数性质，就比较容易了．[解析] f (x )＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－3sin 2x ＋sin x cos x＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin2x ＋3cos2x＝2sin(2x＋π3 )．∵x∈[0，π2]，∴2x＋π3∈[π3，4π3]，∴－32≤sin(2x＋π3)≤1，从而－3≤f(x)≤2故当x∈[0，π2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－ 3.。