连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布
(一)连续型随机变量及其概率密度函数
1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X),若存在非负函数f(x),使
对于任意的实数x,有F(W(M，则称X为连续性随机变量，f(x)称
为X的概率密度函数，简称概率密度。

注：尺劝表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为
lo
2 .密度函数f(x)的性质：注：不是概率。

1)??f(x)M0??
2)? j f(x)dx = \
3)P{x, < X < x2} = ~f(x)(/x =F(x2) -F(Xj)
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即
P{X = x} = 0.(但{脸力并不一定是不可能事件)
因此PQWXWb)二P(a<X<b)= P($WX<b) = P($<XW b)=F(b)-F(a)
4)若f(0在点x处连续，则F\x) = /(x).
分布函数性质
i)0WF(x)Wl；
ii)F(-oo)二0,F(+8)二1；
iii)当xWx2时,Fg)WFg)；(单调性)
注：iv)与离散型随机变量不同,
易知 <P(—x) = 1-0(x) o
0(X )即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。

例3设随机变量X 〜N(0, 1),查表计算:
(1) P(XW ； (2) P(X>； (3) P(|X|<.
解⑴ P(XW 二①二
(2) P(X> =1- P(XW =1-①= (3)
P(|X|< =P<X< 二①-①=20-1
二2X 二
引理 若 X~N(〃,R),则 Z =兰二上 ~ N(0,l).
<y
证z=d 的分布函数为
CT
Y _
[
(1-呼 P{Z <x) = P{-—<x} = P{X < “ + bx} =
2/ dt ,
b
y/lrrcr —
性质：
1•曲线关于x=“对称，这表明对于任意h>0有 P///-h<X<//}= P///<X <// + //}. 2.当x = “时，/(x)取到最大值：f (”)=
丄
(2)标准正态分布
特别地，当“ = 0,b = 1时，称X 服从标准正态分布, 记为X 〜N(0.1)・相应的概率密度函数和分布函数分别记为
>/2/r
s
=叫 lAz!卜①| 耳卜①(0.3)-①( — 0.5) = 0.6179 — [1-①(0.5)]
= 0.6179-1+0.6915 = 0.3094.
例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克，设每 包重量X (以克计)是随机变量,X~N(500, 25),求：
(1)
随机抽查一包，其重量大于510克的概率；
(2) 随机抽查一包，其重量与标准重量之差的绝对 值在8克之内的概
率；
(3)
求常数C,使每包的重量小于C 的概率为。

解：(1)P{X >510| = l-P{X <510) = 1-O(?1()7>()(-)
=1 —①(2) = 1 — 0.9772 = 0.0228
(2) P{IX -5001< 8} = P{492 < X < 508}
于是,若X~N(T\则它的分布函数F(x)可写成:
FW = P{X<x] = P{^~ < 口} = @( 口).
b b b
对于任意区间(X P X 2],,有
b b
b
=0(g)_0(g).
b
b
注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函 数值或有关概率。

例如，设X~N(1,4),则
P{0<X<1.6) = P{^<^^-<
1.6 — 1
〜508-500、~492-500、虫(十①(十)
例5某重点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。

设报考该大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成绩在600分以上的有200人，重点线(500分)以下的2075人，问该大学的实录线(即录取最低分)是多少
分析设学生考试成绩X、N(“Q2),首先应求出“及/之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。

解设学生成绩X~N(〃,R),由题设知应有
P(X>600)- 200 - 0.0667
3000
<
2075 P(X<500)-^ ' -0.6917
3000
从而得 1 - 0( &°°一")- 0.0667, @(500一")- 0.6917
b b
即0(600_//)-0.9333 以及<X>(500~/Z)-0.6917
b b
[600 —“十
查表得解之得"警
500—“ b = 100
-------- =0.5
b
故知,X、N(450,loo?)
又设该大学实录线为日，由题设知：
P(X >a)~800 - 0.2667 SP1 ①("f 0.2667
3000 100
"一450
于是可得0( )-0.7333
100
查表得解之得
基本内容备注
其中，//, 为常数，则称X 服从参数为/和K 的对数正态 分布，
记作X ~ LW ). 对数正态分布的分布函数为 X - LN （u\a ，2）— hiX ）— _・匕〜N
（OJ ）
______________ ____________ * ______ a ， 若 X ~ LNgb' 则 P{\ <X<x 2} =①（1 嘗"：）-①（也："
：）
b b (四)Weibull 分布 定义：若随机变量X 的概率密度函数为
/« = —（x-a ）,fl ^e 0 x>a p 0 x<a 其中, m 、a 、/3 >0为常数，则称X 服从参数为〃 ?心0
的
Weibull 分布,记作X ~W(〃g,0)・ Weibull 分布的分布函数为 j.v-a )w F(x) = £ 乡a - a)"i e~r dt=\-e (x > a) m 一一形状参数 a —一位置参数 P 一一尺度参数 Weibull 分布概括了许多典型的分布。

本次课小结: 介绍了连续型随机变量的概念，连续型随机变量概率密度。