电工学秦曾煌第七版

§4.1 正弦电压和电流
交流电的概念
如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变 化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或 电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做： u(t) = u(t + T )
u
u
t
t
T T
（4-2）
正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
U 2
u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
2
1
U1
相位： 2 1
U1 滞后于 U 2
？ U
2
超前 滞后
U1
（4-22）
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
U 2
U 同频率正弦波的 相量画在一起，
最大值
Um
有效值 U
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号： Um、Im
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
3. 相量符号 U、I 包含幅度与相位信息。 U、I
（4-21）
正弦波的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示。
u1 2U1 sin t 1
相量
重点
必须 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 （4-19）
正弦量的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
ω
Um
t
矢量长度 = U m 矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
（4-20）
相量的书写方式
代数式
U (cos jsin)
U e j
指数式
U
极坐标形式
（4-26）
代数式和极坐标形式的相互转换:
U a jb U
U a2 b2 arctg b
a
例 ：U 1 j 3 2120
U U a jb
a U cos b U sin
例 ：U 2 120 1 j 3
说明： 设：任一相量
A
j 为90°旋转因子。+j 逆时针 转90°，-j 顺时针转90°
则：A e j90 ( j)A
（4-29）
3. 除法运算
设： U1 U11 U2 U22
则：
U1 U2
U1 U2
(1
2 )
例:U1 930,U 2 370,U U1 / U 2 3 40
（4-30）
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A
i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
（4-38）
正误判断
u 100sin t× U
瞬时值
复数
U 50 × e j15 50 2 sin( t 15 )
复数
瞬时值
两种正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
i2
1 2
i1
t
反
相
位
1 2
i1
i2
1 2
t 180
（4-15）
例 已知： i sin1000 t 30
幅度： 频率：
Im 1A
I 1 0.707 A 2
1000 rad/s f 1000 159 Hz
2 2
初相位： 30
（4-16）
i1 i2
t
1
2
i1 Im1 sin t 1 i2 Im2 sin t 2
t 2
t 1
2
1 （4-13）
两种正弦信号的相位关系
相
i2
位
超
前 1 2
i1 1 2 0
t
i i 超前于
1
2
相
i1
位
滞 后
2 1
i2
1 2 0
t
i i 滞后于
1
2
（4-14）
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如
i、u、e 等。
瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大 写字母表示， 如Im、Um、Em等。
如: i Im sin t
I 为正弦电流的最大值 m
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。 如：Um、Im
（4-8）
有效值
在工程应用中常用有效值表示交流电的幅度。 一般所讲的正弦交流电的大小，如交流电压380V或220V， 指的都是有效值。
正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算； 有利于电器设备的运行； .....
（4-3）
正弦交流电的方向
正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。
ii
实际方向和假设方向一致
u
R
t
实际方向和假设方向相反
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量 的正方向，然后才能用数字表达式来描述。
（4-4）
正弦波的特征量 i
i
i 2 I sin ( t)
u
R
u 2U sin ( t)
小写 p u i R i 2 u 2 / R
电阻电路中电流、电压的关系
u 2 U sinω t
i u 2 U sinω t 2 Isin ω t
R
R
1. 频率相同
2. 相位相同
3. 有效值关系：U IR
4. 相量关系：设 U U 0
则 I U 0 或 R
I U
U I R
（4-49）
电阻电路中的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
虚部 b 实部 a
5 8.6602540
5
（4-32）
总结：正弦量的四种表示法
i
波形图
Im t
T
瞬时值 相量图
u Um sin t
U I
复数 符号法
U a jb U ej U
（4-33）
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
U 3 j4
U 3 j4
U 3 j4 U 3 j4
（4-35）
复数符号法应用举例
例1：已知瞬时值，求相量。
已知: 解：
i 141.4sin314t A
6
u 311.1sin314t V
3
求：
i 、u 的相量
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A 2
U 311 .1 60 220 60 110 j190 .5 V 2
Im
i Im sin t
t
特征量:
I m ： 电流幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒）
： 初相角
（4-5）
§4.1.1 正弦波特征量之一 —— 频率与周期
i
t
T
描述变化周期的几种方法：
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹 ...
u 5 2 sin( t 53 1 )
u 5 2 sin( t 53 1 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
（4-34）
符号说明
瞬时值 -- 小写
u、i
有效值 -- 大写
U、I
最大值 -- 大写+下标
复数、相量 -- 大写 +
“.”
Um
U
电压和电流关系：u = iR
i uR
电阻率
金属导体： R = ρl / S
长度
横截面积
电导： G = 1 / R
单位： S（西门子）
（4-43）
电阻元件的交流电路
根据 欧姆定律
u iR
i
u
R
设： u 2 U sin t 则： i u 2 U sin t 2 I sin t
RR
（4-48）
（4-39）
正误判断
已知：i 10 sin( t 45 )
j45
× 则： I 10 45 2 有效值
× Im 10 e45
已知： u 2 10 sin ( t 15 ) -j15
则： U√ 10
× U 10 e j15
（4-40）
正误判断
已知： I 100 50
则： i 100 sin ( t 50 )
3. 角频率 ω： 每秒变化的弧度 单位：弧度/秒
f 1 T
2 2 f
T
（4-6）
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
（4-7）
§4.1.2 正弦波特征量之二 ——幅值与有效值
（均方根值）
当 i Im sin t 时， 可得
I Im 2
（4-10）
讨论 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
~ 220V
电器 最高耐压 =300V
有效值 U = 220V
电源电压
最大值 Um = 2 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。
（4-36）
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A 2
U 311 .1 60 220 60 110 j190 .5 V 2 I
100 / 6
/3
220
U （4-37）
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A I2 10 e j30 A
＃ 计算器上的复数运算操作
代数式→极坐标形式
-3+j4 = 5 /126.9°
3 +/- a 4 b 2nd →rθ
辐角 b 模a
5 126.869897
5
注意选择角度DEG
（4-31）
＃ 计算器上的复数运算操作
极坐标形式→代数式
10 /60° = 5 + j8.66 注意选择角度DEG
1 0 a 6 0 b 2nd →xy
（4-27）
相量的复数运算
1. 加 、减运算
设： U1 a1 jb1 U 2 a2 jb2
则： U U1 U2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
U
（4-28）
2. 乘法运算
设： U1 U11 则 U U1 U2 U2 U22 ： (U1 U2 )(1 2 )
例:U1 230,U 2 360,U U1U 2 690
有效值是用电流的热效应来规定的：
设一交流电流和一直流电流I 流过相同的电阻R，如果在交流电的
一个周期内交流电和直流电产生的热量相等，则交流电流的有效值 就等于这个直流电的电流I
（4-9）
热效应相当
有
效
值
T i2R dt I 2RT
概0
念
交流
Байду номын сангаас直流
有效值
电量必须大写 如：U、I
则有 I 1 T i2dt T0
将相量 U 放到复平面上，可如下表示：
j
U
U a2 b2
bU
arctg b
+1
a
a
U a jb U cos jU sin
例 ：U 1 j 3 2 cos 60 j2sin 60
（4-25）
U
bU
a
欧 cos e j e j
拉
2
公 式
sin e j ej
2j
U a jb
3、正弦量变化平滑，在正常情况下不会引起过
电压，而破坏电气设备的绝缘。
（4-17）
例：设 i = 10 sinωt mA，请改正图中
的三处错误。
i
10
π
2π
t
P113：题4.1.7 （4-18）
§4.2 正弦量的相量表示方法
正弦量的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i sin1000 t 30
（4-11）
§4.1.3 正弦波特征量之三 —— 初相位
i 2I sin t
（t ）：正弦波的相位角或相位。
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t
说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
（4-12）
两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
第四章 正弦交流电路
（4-0）
第四章 正弦交流电路
4.1 正弦电压与电流 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 单一参数的交流电路 4.4 电阻、电感与电容元件串联的交流
电路 4.5 阻抗的串联与并联 4.6 复杂正弦交流电路的分析与计算 4.7 交流电路的频率特性 4.8 功率因数的提高
（4-1）
构成相量图。
2
1 U1
U U1 U 2
（4-23）
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不
同频率不行。
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入相量的复数运算法。
相量 复数表示法 复数运算
（4-24）
相量的复数表示
在近代电工技术中，正弦量的应用是十分广 泛的。在强电方面：电流的产生和传输。在弱电 方面：信号源。
正弦量广泛应用的原因
1、可利用变压器将正弦电压升高或降低。
2、因同频率正弦量的加、减、求导、积分后仍
为同频率的正弦量，故在技术上具有重大的
意义。今后讨论同频率正弦波时， 可不考
虑，主要研究幅度与初相位的变化。
最大值
Im 2I 100 2
（4-41）
§4.3 单一参数的交流电路
电阻、电感、电容均为无源元件。 电阻、电感、电容均是组成电路模型 的理想元件。其中：电阻为耗能元件，电 感和电容为储能元件。电感储存磁场能， 电容储存电场能。
（4-42）
§4.3.1 电阻元件的交流电路
电阻 R （常用单位：、k、M ）