第六节微分方程的应用举例

第六节 微分方程的应用举例
在学习了以上几节内容关于微分方程解法的基础上，本节将举例说明如何通过建立微分方程解决一些在几何上和物理上的实际问题。

例1 设曲线过（1，1），且其上任意点p 的切线在y 轴上的截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程（图12-1）
解：设所求的曲线方程为()()y x P x y y ,，=为其上任意
点，则过点P 的切线方程为
()x X y y Y -'=-. 其中()Y X ,是切线上动点，
()
y x ,是曲线上
L
令0=X ,的y x y Y '-=为切线在
y 轴上的截距。

由
x
所给的条件得微分方程： 图12-1
y y x y 3='-
这是一阶线性齐次方程，易得其通解为2x
C
y =。

因曲线过点（1，1），代入上式，得1=C ，所以曲线方程为
2
1x y =
. 例2 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比（比例系数为常数0>k ），起跳时的速度为0。

求下落的速度与时间之间的函数关系。

解：这是一个运动问题，我们可以利用牛顿第二定律ma F =建立微分方程。

首先，设下落速度为()t v ，则加速度()t v a '=。

再分析运动物体所受的外力。

在此，跳伞员只受重力和阻力这两个力的作用。

重力的大小为mg ，方向与速度方向一致；阻力大小为kv ，方向与速度方向相反。

因此，所受的外力为
kv mg F -=，
于是，由牛顿第二定律可得到速度()t v 应满足的微分方程为
v m kv mg '=-，
又因为假设起跳时的速度为0，所以，其初始条件为
00==t v ， 至此，我们已将这个运动问题化为一个初值问题
()⎩⎨
⎧=-='.
00,
v kv mg v m 解此初值问题。

这是一个一阶线性非齐次微分方程，但由于v v '，的系数及自由项均为常数，故也可按分离变量方程来解。

求出方程的通解为
t m
k Ce
kv mg -=-.
将初始条件()00=v 代入，得mg C =。

所以，所求特解为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-t m k
e k mg v 1. 即所求的函数关系。

从上式可以看出，当t 充分大时，速度v 近似为常量
k
mg。

也就是说，跳伞之初是加速运动，但逐渐趋向于匀速运动。

正因为如此，跳伞员才得以安全着落。

以上例题表明，根据实际问题建立微分方程时，应明确在该问题中未知函数导数的实际意义，并运用有关科学中的基本知识（常借助于已知的物理定律）寻找含有未知函数导数的等量关系，从而建立描述该问题的微分方程。

下面，我们再看几个例子。

例3 设R-C 电路如图12-2所示，其中电阻R 和电容C 均为正常数，电源电压为E ，如果开关K 闭合（0=t ）时，电容两端的电压0=C U ，试求 开关合上后电压C U 随时间t 的变化规律。

解：这是一个电学问题，我们运用有关的电学定律来建立微 分方程。

由闭合回路电压定律知电源电压等于外电路上各段电压之和， 图12-2 即
C R U U E +=，
这里，电容两端的电压()t U U C C =是时间t 的函数，也就是我们要寻求的未知函数；电阻两端的电压RI U R =，其中R 是常数，I 为电路中的电流量，它是一个变量，变量I 与未知函数有什么关系呢？考虑到电流I 是电量Q 关于时间的变化率，即
dt
dQ
I =
，而电容上的电量C CU Q =，所以有
dt
dU C
dt dQ
I C ==
， 从而dt
dU RC
U C
R =。

于是，我们得到C U 应满足的微分方程：
E U dt
dU RC
C C
=+. 此外，由题意知C U 所满足的初始条件为
00
==t C
U .
于是，我们列出初值问题
⎪⎩
⎪
⎨
⎧==+=.0,0t C C C U E U dt dU RC 并对两种不同的电源进行讨论。

（1） 直流电源。

这时电源电压E 为常量，则方程
E U dt
dU RC
C C
=+ 是一个可分离变量方程，也是一阶线性非齐次方程。

可求得它的通解为
RC
t C Ae
E U -
+= （A 为任意常数）.
将初始条件代入，得E A -=。

因此，电容两端的电压C U 随时间t 的变化规律为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-RC t C e E U 1. （2） 交流电源。

这时电源电压t E E m ωsin =，其中ω与m E 都是常量，则
方程
t E U dt
dU RC
m C C
ωsin =+ 是一个一阶线性非齐次方程，其中C U 的系数()RC
t P 1
=
，自由项()t RC
E t Q m
ωsin =
，可以求得它的通解为
()
()RC
m C Ae
t RC t RC E U 12
cos sin 1-
+-+=
ωωωω，
其中A 为任意常数。

为了便于说明它所反映的物理现象，可将上面解的形式写成：
()
()RC
m
C Ae
t RC E U 12
sin 1-
+-+=
ϕωω，
其中，()ωϕRC arctan =。

再将初始条件代入，得()
2
1ωωRC RC E A m +=。

于是，得电容两端的电压C U 随时间
t 的变化规律为
()
()()
RC
m m C e
RC RC E t RC E U 12
2
1sin 1-
++
-+=
ωωϕωω.
因为0lim 1=-
+∞
→RC
t e
，故由所得的解可以看出，当t 增大时，电容电压C U 将逐渐
稳定。

使用直流电源充电时，电容电压C U 从零逐渐增大，经过一段时间后，基本上达到电源电压E ；使用交流电源充电时，电容电压C U 的解析表达式中第二项经
过一段时间后就会变得很小而不起作用（这一项称做暂态电压），即电压C U 可由第一项决定，而第一项是正弦型函数（这一项称作稳态电压），它的周期和电源电压的周期相同、而相脚落后ϕ。

C U 的这段变化过程称作过渡过程，它是电子技术中最常见的现象。

例4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，其介质（冷却剂）温度始终保持为10C 0
，物体的初始温度为200C 0
，且由200C 0
冷却到100C 0
需要40s 。

已知冷却定律：冷却速率与物体和介质的温度差成正比。

试求物体温度θ与时间t 的函数关系，并求物体温度降到20C 0
所需的时间。

解 设物体温度()t θθ=，它是时间t 的函数，则物体的冷却速率就是温度()
t θ对时间t 的变化率，即()t θ'。

因此，由冷却定律可得()t θ应该满足的微分方程为
()()[]10--='t k t θθ，
其中，比例系数0>k ，由于物体在冷却剂中降温，所以温度变化率不为正，因而上式右端有负号。

此外，由题意知()t θ所满足的初始条件为
2000
==t θ
.
于是，初值问题是
()()[]⎩⎨
⎧=--='=.200,
100
t t k t θθθ 解此初值问题，得特解为
()kt e t -+=19010θ.
我们再由题意确定比例系数k 。

因为该物体由200C 0
冷却到100C 0
需要40s ，
即
k e 4019010100-+=，
由次，得
.01868.019
9ln 401≈-
=k 从而得物体温度θ与时间t 的函数关系为
().1901001868.0t e t -+=θ
最后，将20=θ代入上式，并解出
s t 15801868
.019
ln ≈=
.
即物体温度降到20C 0
大约需要2min38s 。

例5
某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内的含污染物A 的污水量为
6
V
，流出湖泊的水量为
3
V
，已知1999年底湖中A 的含量为05m ，超过了国家规定指标。

为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖中含A 的污水浓度不超过
V
m 0
，问至多需经过多少年，湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内？（注：设湖水中A 的浓度是均匀的）。

解题思路
根据污染物A 的排入量和排出量确定湖泊中污染物
A 的含量降
低的速度，用()t m m =表示第t 年湖中污染物A 的总量，()()t Q t P ,分别表示第t 年污染物A 的排入速度和排出速度，则
()()V
t Q t P dt dm -=
根据题目条件可以确定()()t Q t P ,。

解 设从2000年初（令此0=t 时）开始，第t 年湖中污染物A 的总量为m ，
浓度为
V
m
，则在时间间隔[]dt t t +,内，排入湖泊中A 的量为dt m dt V V m 6600=⋅，
流出湖泊的水中A 的量为dt m
dt V V m 3
3=⋅，因此在时间间隔[]dt t t +,内湖泊中污染物A 的改变量等于
dt m m
dm ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36
用分离变量法解此方程得到
302
t
ce m
m --=
代入初值条件005m m t ==，得到02
9
m c -=，于是
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=-30
912
t e m
m 令0m m =，得到3ln 6=t ，即至多经过3ln 6年，湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内。

习题12-6
1．质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。

在s t 10=时，速度等于50cm/s ，外力为4g 2
/s cm ⋅，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？
2．镭的衰变有如下的 规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比。

有经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量0R 的一半，试求镭的量R 与时间t 的函数关系。

3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y ）处的切线斜率等于2x+y 。

4．一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间： （1）若不计钉子对链条所产生的摩擦力； （2）若摩擦力为1m 长的链条的重量。