课题研究结题中期总报告《高中数学变式教学研究》中期报告

《高中数学变式教学研究》中期报告

——新授课概念性变式教学的三个环节

顾泠沅等学者把变式教学分为概念性变式和过程性变式教学两类。概念性变式教学突出对概念内涵的理解，注重概念的情景引入、语言转换等，逐步从概念的“标准变式”转向概念的“非标准变式”，使学生获得对概念的多角度的理解；过程性变式教学突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展，通过过程性变式教学，使数学教学有层次地递进。一堂新授的概念课，总的来说，主要侧重概念性变式教学，因为这一阶段不适宜作高难度的知识综合训练。

我们工作室第二阶段的工作重点侧重对新授课进行概念性变式教学，下面我们就新授课概念性变式教学应注意的三个环节作些研究和探讨，并从大家熟知的等差数列新授课教学谈起。

一、设置情景，揭示概念的本质特征

（1）知识背景的创设

每节新授课要从学生最为熟悉的现实背景、生活背景、历史背景、数学知识背景等出发，设置最能体现新授概念本质特征的知识背景。

这是概念性变式教学的切入点。老师要列举学生学习经验中感受最深

的例子。概念引入的背景可多可少，原则只有一条：尽可能地揭示概念的本质特征。

①班级同学的鞋子尺码：27.5，27，26.5，26，25.5，25，24.5，24，23.5，23。

②每个同学的统一营养午餐费：5，5，5， (5)

③能被3整除的所有正整数：3，6，9，…

这里列举的三个例子，前两个例子源于学生的生活背景，第三个例子源于学生的数学知识背景。第一个例子中公差小于零，第二个例子中公差等于零，第三个例子中公差大于零。

等差数列概念的本质特征是：从第二项起，后一项与前一项的差是一个常数。这个常数d （公差）可以是任意的实数。即当*2,n n N ≥∈时，1,n n a a d d R --=∈。

（2）特殊情形的考虑

从概念的一般性出发，探讨概念的特殊情形。这在新授概念教学中，

是学生容易接受的一个学习过程，这样的教学情景不可忽视，它是理解概念一般性结论的基础。我们在这里把对特殊情形的考虑视作为概念性变式教学的特殊情景。这个情景实际上是从概念的局部来解释概念的本质特征，是从学生容易理解的方面入手的。

①三个数成等差数列的充要条件：

,,a A b 成等差数列22

a b A a b A A a b A +⇔-=-⇔=+⇔=。称A 为,a b 的等差中项。

②等差数列{}n a 中，任意相邻三项也成等差数列：

*11,,(2,)n n n a a a n n N -+≥∈成等差数列n a ⇔是1n a -和1n a +的中项

112n n n a a a -+⇔=+⇔由n 的任意性，数列{}n a 成等差数列。

③等差数列{}n a 中，奇数项组成的数列13,,a a 成等差数列，其公差为2d ；偶数项组成的数列24,,a a 成等差数列，其公差为2d ；每隔相同的项组成的新数列2,,m m k m k a a a ++，*(,)m k N ∈…也是等差数列，其公差为kd 。

（3）基本结论的推出

从概念的本原出发，进行演绎推理，得出一些基本的结论，如概念衍

生出来的性质、定理、公式等。这些结论和新授概念一起成为新授课中的学习要点。我们在这里把基本结论的推演过程视作为概念性变式教学的一般情景。

① 归纳推广：

由等差数列的定义，得到：

21a a d =+，3212a a d a d =+=+，4313a a d a d =+=+，…，1(1)n a a n d =+-。 ② 数列是特殊的函数。

从函数的角度来看等差数列的通项公式，当公差不为零时，其表达式是关于n的一次函数；当公差为零时，是常量函数。点(,)

n a是直角坐标系

n

中直线上离散的点。

作为新授概念，从以上的三个方面来理解，是概念性变式教学的三个不同角度，也是概念性变式教学的三个基本维度。在变式教学中，创设背景是概念呈现的孕育过程，是帮助学生进行知识建构的前提。得出了概念，不是概念教学的终结，还需要寻找概念的“知识固着点”，从两个方向进行寻找，最近的方向和较远的方向。最近的方向我们考虑的是概念的特殊情况，较远的方向是从概念出发的一般性推理，直到我们找到本节课新授概念所能依附的“知识固着点”为止，我们把这个环节称之为新授课概念性变式教学的第一个环节。等差数列新授课我们可以把等差数列的通项公式作为概念性变式教学中的“知识固着点”。在“知识固着点”未找到之前，新授概念与“知识固着点”之间存在一个“潜在距离”，我们可以理解为学生的“最近发展区”。为了完成第一环节的教学要求，从变式教学的层面上来说，老师要围绕新授的概念，多角度地设置问题情景，使学生在第一环节就找到“知识的固着点”，使新授概念有一个稳固的外显的“知识抓手”，为后续的概念应用作好充分的准备。

二、拓展外延，凸显概念的不变内涵

（1）概念的简单外延

我们把概念应用的较小适用范围称之为概念的简单外延。较小是一个模糊的量化。在讲完等差数列定义后，一些老师接下来请学生判断给出的

具体数列是不是等差数列，如果是的话，说出首项和公差等。这个层次的能力训练要求比较低，实际上我们在背景设置当中，已经做过了这样的训练，这里可以再提高一步，如进行下列层次的变式训练：

①已知等差数列的首项和第二项，求出等差数列中的任意项；

②已知等差数列的前三项，求出等差数列中的任意项；

③已知等差数列的公差和某一项，求出等差数列中的任意项；

④已知等差数列中的任意两项，求出等差数列中的公差和通项公式。

上面的问题比较简单，其中的实例就不再列举。

总结数学思想方法，以不变应万变是概念性变式教学第二环节的着力点。一节课从知识的层面来说，不变的是等差数列的定义和通项公式；从

方法层面来说，不变的是突出基本量的数学思想方法。在四个量

1,,,

n

a d n a 中，知三必可求一。我们在以上的变式中所凸显的不变内涵是：只要给出两个独立的条件，就可以求出等差数列的首项和公差，所有的问题变式最终都可转化为能够知道等差数列的首项和公差，就可以写出通项公式了。

（2）概念的复杂外延

我们把概念应用的较大适用范围称之为概念的复杂外延。这也是一个模糊的量化，复杂到什么程度，直到概念应用的边界。如果外延复杂的程