无穷大与无界

无穷大与无界

一、数列

无穷大：0,,G N ∀>∃当n N >时，有n a G >，则称数列{}n a 为无穷大量。

记为lim n n a →∞

=∞。

类似定义：lim n n a →∞

=+∞，lim n n a →∞

=-∞

例如：1,2,3, 是正无穷大，1,2,3,--- 是负无穷大，它们都是无穷大

1,2,3,4-- 是无穷大，但不是正无穷大，也不是负无穷大。

无界：0G ∀>，0n ∃，使0n a G >，则称数列{}n a 为无界。

即{}n a 所对应的数集是无界的。

类似定义：无上界（{}sup n a =+∞），无下界（{}inf n a =-∞） 显然：无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大。 例如：1,0,2,0,3,0, 是无界的，但不是无穷大。

定理：{}n x 无界的充要条件是{}n x 有一个子列是无穷大量。 证明：()⇒由{}n x 无界，取1G =，则∃1n x ，使11n x >； 取2G =，则∃2n x ，21n n >，使22n x >（否则，如果对所有1n n ≤，都有2n x ≤， 则{}n x 有界）

如此继续下去，可得子列{}

k n x ，(1,2,)k n x k k >=

{}k

n x 为无穷大量。

()⇐显然。

例题：设{}n x 是一个无界数列，但非无穷大量。证明：存在两个子列，一个是无穷大量，

另一个是收敛子列。

证明：第一部分见上面定理。

由{}n x 非无穷大量，故∃M ，对∀k N ，∃k k n N >，使k n x M ≤。 取11N =，∃11n >，1n x M ≤;

取21N n =，∃21n n >，2n x M ≤;

如果继续下去，得子列{}

k n x ，(1,2,)k n x M k ≤= ，{}

k n x 有界。 由致密性定理（以后学），{}

k n x 有收敛子列，这收敛子列也是{}n x 的子列。

二、函数

无穷大：0,0,G δ∀>∃>当00(,)x U x δ∈时，有()f x G >，则称f 为当0x x →时的

无穷大量。记为0

lim ()x x f x →=∞。

类似定义：0

lim (),lim (),lim ()x x x x x f x f x f x →→→+∞

=+∞=-∞=+∞等。

有界：若f 在某00()U x 有界，则称f 为当0x x →时的有界量。 无界：0δ∀>，f 在00(,)U x δ无界，则称f 为当0x x →时的无界量。 显然：无穷大量必是无界量，反之不然。（约定x 是同一趋向）

定理：f 为当0x x →时的无界量的充要条件是存在数列{}0

0()n x U x ⊂，

0()n x x n →→∞，使得{}()n f x 是无穷大量。

证明：（必要性）0δ∀>，000,(,)G x U x δ'∀>∃∈,使得()f x G '>

取00δδ=>，01001,(,)G x U x δ=∃∈，1()1f x > 取0

2

δδ=

，0

202,(,

)2

G x U x δ=∃∈，2()2f x >

如此继续下去，得0

00n x x n

δ<-<

，()n f x n >

显然，0()n x x n →→∞，且{}()n f x 为无穷大量。 （充分性）0δ∀>，0G ∀>，由于0()n x x n →→∞，{}()n f x 是无穷大量，

1N ∃，当1n N >时，0n x x δ-<， 2N ∃，当2n N >时，()n f x G >，

从而0n ∃（只要012max(,)n N N >），就有000(,)n x U x δ∈，且0()n f x G >。

例题：（见P61最后一行）

证明当0x →时，11

()sin f x x x

=

与()1

sin x g x x

=都是无界量，但都不是无穷大量。

证明：（1）取122

n x n π

π=

+

，则0n x →，()22

n f x n π

π=+

→+∞

因此f 是无界量。

取1

2n

x n π

'=，则0n

x '→，()0n f x '=，因此f 不是无穷大量。

（2）取2

11

2n x n n

π=+，则0n x →，2

2112()1sin n n n g x n π+=

→+∞ 因此g 是无界量。

取1

12n x n n π'=+

，则0n x '→，1()2n f x π'→，因此g 不是无穷大量。