电磁场与电磁波理论基础 曹建章 张正阶 李景镇 编著(第3章答案)

ρ R1 − ρ R2 ⎛ ∂ ⎡ ⎢ε 0 J 0 ⎜ ρ R1 + ∂z ⎣ d ⎝
ρ R − ρ R2 ⎞⎤ z ⎟⎥ = ε 0 J 0 1 d ⎠⎦
⎞ z ⎟ J 0e z ⋅ e z dz ⎠
（2）两极板间的电位差为
⎛J U = ∫ E ⋅ dl = ∫ ⎜ V σ 0 0⎝
d
d
d ρ R1 − ρ R2 ⎛ ⎞ e ⋅ dz = ⎜ ρ R1 + ⎟ z ∫ d ⎠ 0⎝ d
o
题 3-12 图
解 （1）由题知，介质中的电阻率非均匀，因而电导率非均匀。利用关系
ρV = ∇ ⋅ D
有
⎡ ρ R − ρ R2 ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ J ⎞ ρV = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ (ε 0E ) = ∇ ⋅ ⎜ ε 0 V ⎟ = ∇ ⋅ ⎢ε 0 J 0 ⎜ ρ R1 + 1 z ⎟ ez ⎥ d ⎝ σ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ =
P = ∫∫∫ E ⋅ JV dV = ∫∫∫
(V ) (V )
⎞ z ⎟ Adz ⎠
=
1 2 J 0 Ad 3ρ R1 − ρ R2 2
(
)
⎡ 1 ρ R1 − ρ R2 2 ⎤ 1 = J 0 ⎢ ρ R1 z + z ⎥ = J0d ⎡ ⎣3ρ R1 − ρ R2 ⎤ ⎦ 2 d ⎣ ⎦0 2
（3）假设介质板的面积为 A，可得介质板中的功率损耗为
d ρ R − ρ R2 ⎛ JV ⋅ JV dV = J 02 ∫ ⎜ ρ R1 + 1 σ d 0⎝
由此可以看出，由于电流密度矢量非均匀，X 方向平均电流密度的大小与该面中心处的电流 密度大小不相等。 3-9 ．无限大导电介质中有恒定电流流过，已知导电介质中的电场强度为 E ，电导率为
σ = σ ( x, y , z ) 和介电常数 ε = ε ( x, y , z ) ，试求该介质中的电荷体密度。
由此可得两球间的电阻为
R=
U0 1 b- a = I 4ps ab
3-2． 已知电流密度矢量 JV = 10 y 2 ze x − 2 x 2 ye y + 2 x 2 ze z (A/m2 ) ， 试求： （1） 穿过面积 x = 3 ， （2）在上述面积中心处电流密度的大小； 2 ≤ y ≤ 3 ， 3.8 ≤ z ≤ 5.2 ，沿 ex 方向的总电流； （3）在上述面积上电流密度 X 方向的分量 Jx 的平均值。 解 （1）根据电流 I 与电流密度矢量 JV 之间的通 量关系
O
X
3
3 5.2
= ∫ ∫ 10 y 2 zdydz = 399 ( A )
2 3.8
题 3-2 图
（2）面 x = 3 ， 2 ≤ y ≤ 3 ， 3.8 ≤ z ≤ 5.2 中心处的坐标为
x = 3 ， y = 2.5 ， z = 4.5
代入 JV 的表达式，得到
JV = 10 y 2 ze x − 2 x2 ye y + 2 x2 ze z = 10 × 2.52 × 4.5e x − 2 × 3 2 × 2.5e y + 2 × 3 2 × 4.5 e z = 281.25e x − 45e y + 81e z (A/m 2 )
Z
ρR =
ρ R − ρ R2 1 = ρ R1 + 1 z σ d
JV = J 0 e z
e0 , s (z )
d
介质的介电常数为 ε0，介质中有 JV = J 0 e z 的均匀电 流，试求： （1）介质中的自由电荷密度； （2）两极板 间的电位差； （3）面积为 A 的一块介质板中的功率损 耗。
Z Y
5.2
(3, 2. 5, 4. 5)
I = ∫∫ JV ⋅ dS
(S )
则穿过面积 x = 3 ， 2 ≤ y ≤ 3 ， 3.8 ≤ z ≤ 5.2 ，沿 ex 方 向的总电流为
3.3 5.2
3.8 2
3
Ix =
∫
2 3.8
2 2 2 ∫ (10 y ze x − 2 x ye y + 2 x ze z ) ⋅ e x dydz
解 根据电荷体密度ρV 与电通密度矢量 D 之间的关系，有
ρV = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ ⎡ ⎣ε ( x, y,z ) E ⎤ ⎦ = ε∇ ⋅ E + E ⋅∇ε
由于电流恒定，则有
∇ ⋅ JV = ∇ ⋅ ⎡ ⎣σ ( x, y,x ) E ⎤ ⎦ = σ∇ ⋅ E + E ⋅∇σ = 0
求解可得
电流密度矢量的大小为
JV = JV =
( 281.25 ) + ( −45 ) + (81)
2
2
2
≈ 296.12(A/m 2 )
（3）面 x = 3 ， 2 ≤ y ≤ 3 ， 3.8 ≤ z ≤ 5.2 上电流密度的平均值为
Jx =
Ix 399 = = 285(A/m 2 ) S (3 - 2)(5.2 - 3.8)
r u = U0
I JV = er 4p r 2
根据欧姆定律
s
JV = s E
得到两球间的电场强度矢量
u= 0
题 3-1 图
E=
I er 4ps r 2
b Biblioteka Baidu b
由电场强度矢量，可计算两球间的电压，有
I I 1 e ⋅ e r dr = U = ∫ E ⋅ dl = ∫ dr 2 r ∫ 4πσ r 4πσ a r 2 a a I b−a = = U0 4πσ ab
∇⋅E = −
E ⋅∇σ σ E ⋅∇σ ⎡ σ∇ε − ε∇σ ⎤ ε + E ⋅∇ε = E ⋅ ⎢ ⎥ σ σ ⎣ ⎦
代入电荷体密度的表达式，得到
ρV = ε∇ ⋅ E + E ⋅∇ε = −
3-12 ．有一非均匀导电介质板，厚度为 d，其两侧面 为良导体电极，下板表面与坐标 z=0 重合，介质的电 阻率为
第三章 恒定电流与恒定电场 作业习题解答
3-1．半径为 a 和 b 的同心球，内球的电位为 u = U 0 ，外球的电位为 u = 0 ，两球之间介质 的电导率为 σ ，试求这个球形电阻器的电阻。 解 设内球与外球之间的总电流为 I，而体电流密度矢量 JV 在半径为 r 的球面上大小相等，沿 er 方向，由此可写出电流 密度矢量为