结构动力响应计算的精细积分法_55346

可求得特解：C1 (2I H2 )1(r2 Hr1) C2 (2I H2 )1(r1 Hr2 )
z p (t) 代入 z(t) T( t)[z(tk ) z p (tk )] z p (t) 中
得：
z(tk1) T(t)[z(t k ) C1 sintk C2 costk ] C1 sintk1 C2 costk1
可求得特解： C1 [(I H)2 2I]1[(I H)r1 r2 ] C2 [(I H)2 2I]1[(I H)r2 r1]
z p (t) 代入 z(t) T( t)[z(tk ) z p (tk )] z p (t) 中
得： z(tk1) T(t)[z(tk ) eatk (C1 sin tk C2 costk )] etk1 (C1 sin tk1 C2 costk1)
使用(2)式进行递推运算时排除了 I 参与加法运算的情况， 避免了 Tai 中的元素大数相减而严重丧失有效数字，从而 保证了各 Tai 以及 T(t ) 的高度精确。
这是 精细积分的关键之处 – 创新点!
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T(t)=(eH )m
I
H
(H )2
2!
(H )3
3!
(H )4
4!
m
(I Ta0 )m
假定在每一积分步长 t [tk ,tk1] 内荷载变化是线性的
即： F(t) r1 (t tk )r2
z(t) Hz(t) F(t)
应用待定系数法可求得特解： z p (t) (H1 tI)(H1r2 ) H1(r1 tkr2 ) z p (t) 代入 z(t) T( t)[z(tk ) z p (tk )] z p (t) 中 得：z(tk1) T(t)[z(t k ) H1(r1 H1r2 )] H1(r1 H1r2 tr2 )
若荷载按简谐变化，则上式在计算机上给出精确的数值解。
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3.指数衰减型简谐荷载精细积分格式 (HPD-E:High Precision Direct integration scheme-Exponential form):
假定在每一积分步长 t [tk ,tk1] 内荷载按下式变化：
F(t) et (r1 sint r2 cost) (a) z p (t) et (C1 sin t C2 cost)
则 I TaN (I Ta,N1)2 (I Ta,N2 )4 ... (I Ta,0 )m T(t)
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由递推公式 I Tai I 2Ta,i1 Ta,i1Ta,i1 (i 1, 2,...N ) ---(1) 可得 Tai 2Ta,i1 T T a,i1 a,i1 (i 1, 2,...N ) ---(2)
若荷载严格按线性变化，则上式在计算机上给出精确的数值解。
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2.简谐荷载精细积分格式 (HPD-S:High Precision Direct integration scheme-Sinusoidal form):
假定在每一积分步长 t [tk ,tk1] 内荷载变化是简谐的
即：F(t) r1 sint r2 cost z p (t) C1 sin t C2 cost
结构动力响应计算的精细积分法 （兼谈 matlab 的学习）
一、状态空间(State space)
单自由度运动方程写为： x(t) 2x(t) 2x(t) Fe (t)
m
设状态向量：
z(t)
x(t)
x(t
)
运动方程可改写为： z(t) Hz(t) F(t)
其中
0 1
H
2
2
0
上述展开式中略去了 5以及更高阶的项，其量级为： O( 5 ) 1030O(t5 )，已是一般计算机的舍入误差范围
之内。对于线性等步长时域积分而言，T(t )只需计算 一次，计算量是很小的。
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1.线性荷载精细积分格式 (HPD-L:High Precision Direct integration scheme-Linear form):
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所以： z(t) zh (t) z p (t)
T( t)=eHt ( t t tk ) zh (t) T( t)c c z(tk ) z p (tk )
z(t) T( t)[z(tk ) z p (tk )] z p (t) 令 t tk1 就得到了积分步长终点处的状态
对给定时间步长 t tk1 tk 引入微小时段 令： t , m 2N
在合理的积分步长范围内，它是不会发生稳定性问题的。即使对高
度病态的问题，精细积分法仍具有很高的精度。
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将状态方程： z(t) Hz(t) F(t) 的通解：
z(t) eH(tt0 )z(t0 ) eHt
t eHsF(s)ds
t0
改写为齐次通解zh与特解z p 之和:
z(t) zh (t) z p (t)
在某一积分步 t [tk ,tk1]中，其齐次通解为：
zh (t) T( t)c，其中T( t)=eHt ( t t tk )
当t tk 时：
z(tk ) zh (tk ) z p (tk ) T( t)c z p (tk )
注：当t tk 时
T( t)=eHt e0 I
所以：c z(tk ) z p (tk )
m
N一般取20，于是 m=1,048,576 106 t
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t tk1 tk
T(t)=eHt (eH )m
令： t , m 2N
m
I
H
(H )2
2!
(H )3
3!
(H )4
4!
m
(I Ta0 )m
令 I Tai (I Ta,i1)2 I 2Ta,i1 T T a,i1 a,i1 (i 1, 2,...N )
F(t)
Fe(t ) m
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百度文库
方程 z(t) Hz(t) F(t) 为一阶线性微分方程组，通解为：
z(t) eH(tt0 )z(t0 ) eHt
t eHsF(s)ds
t0
二、精细积分法
钟万勰在2N 类算法计算指数矩阵的基础上，提出了精细积分法，
用于求解热传导、扩散对流问题以及结构动力学问题的暂态过程。