圆的切线方程问题专题

跟踪训练
求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程： (1)经过点P( 3，1)；(2)斜率为－1， (3)过点Q(3,0)
跟踪训练
[解析] (1)∵点P( 3，1)在圆上． ∴所求切线方程为 3x＋y－4＝0. (2)设圆的切线方程为y＝－x＋b， 代入圆的方程，整理得 2x2－2bx＋b2－4＝0，∵直线与圆相切， ∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0. 解得b＝±2 2. ∴所求切线方程为x＋y±2 2＝0. 也可用几何法d＝r求解．
跟踪训练
1、求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．
解：容易判断点 Q(3,0)在圆外．
设切线的方程为 y＝k(x－3)，即：kx－y－3k＝0， 又圆的圆心为(0,0)，半径为 2，所以 |－3k| ＝2，
1＋ k2
解得：k＝±2
5
5 .
所以所求切线方程
为：y＝
2 ±5
5(x－
3)．
y kx b ③斜率为k的切线方程可设为
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆 x2 y2 r 2
．
①过圆上的 P0 (x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x y0 y r 2
;
②斜率为 k的圆的切线方程为 y kx r
1 k2
（3）过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为(x-a)(x-x0)+(y-b)(yy0)=r2
跟踪训练
(3)解法1：∵32＋02>4，∴点Q在圆外． 设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0. ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径， ∴ |－1＋3kk|2＝2，∴k＝±25 5， ∴所求切线方程为2x± 5y－6＝0.
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解法2：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为 x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝43① 又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4② 由①②构成的方程组可解得
典型例题讲解
此时直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0. (2)若直线 l 的斜率不存在，即 x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2. 【名师点评】 如果所求切线过某已知点，务必弄清该点与 圆的位置关系．另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点 直线的验证．
x0 x

y0
y

D(x0 2
x)

E( y0 2
y)

F

0
. 当
(x0 , y0 )
在圆外时,
x0 x

y0
y

D(x0 2
x)

E( y0 2
y)

F

0பைடு நூலகம்
表示过两个切点的切点弦方程．
课堂总结
y y k (x x ) ②过圆外一点的切线方程可设为
0
0
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
深圳市龙翔学校高中数学教师欧阳文丰制作
圆的切线问题
学法指导 (1)过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程 的求法．
①先假设切线斜率存在，有下列两种求切线斜率k的方 法：
方法一：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx －y＋y0－kx0＝0，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距 离等于半径，由此解出k；
x0＝43， y0＝2 3 5
x0＝43，
，或
y0＝－2
3
5 .
跟踪训练
∴所求切线方程为 43x＋235y＝4或43x－23 5y＝4， 即2x＋ 5y－6＝0或2x－ 5y－6＝0.
课堂总结
(1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0
．
①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
方法二：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联 立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.
②若通过上述方法只求出一个斜率k，则另一条切线斜率 一定不存在，此时另一切线方程为x＝x0.
注：过圆外一点与圆相切的直线有且只有两条．
(2)过圆上一点的圆的切线方程的求法． 利用斜率公式求出圆心和切点连线的斜率，进而求出切 线的斜率，利用点斜式求出切线方程． (3)斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的 求法． 方法一：先设切线方程为y＝kx＋b，然后变成一般式kx－ y＋b＝0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求b；
课后练习
1、 求过点Ｐ(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方 程？
2、 圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为____________
．
3、 求经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程.
4、 如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l： y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线y＝ x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
因为直线 l 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，
所以 |5－k| ＝1，所以 k＝12.所以直线 l 的方程为
k2 ＋ 1
5
y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0.
典型例题讲解
(2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2. 法二：(1)若直线 l 的斜率存在， 设 l：y－3＝k(x－2)，即 y＝k(x－2)＋3， 与圆的方程联立消去 y 得： (x－ 1)2＋ [k(x－ 2)＋ 3＋ 2]2＝ 1， 整理得 (k2＋ 1)x2－ (4k2－ 10k＋ 2)x＋ 4k2－ 20k＋ 25＝ 0， ∵ Δ＝ (4k2－ 10k＋ 2)2－ 4(k2＋ 1)(4k2－ 20k＋ 25)＝ 0， ∴ k＝152.
方法二：设切线方程为y＝kx＋b，与圆的方程(x－a)2＋(y －b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，再利用判别式为 0，求出b.
典型例题讲解
例题1 若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y ＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
【解】 法一：(1)若直线 l 的斜率存在，
设 l：y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0，