结构有限元分析

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������������������
时引起的近端(远端)沿该线位移方向的力与在远端(近端)引起的同 方向的力是一对平衡力, 由于在单元坐标系下结点力都规定沿坐标系 正方向为正,故方向相反需加负号。
������ ������ ������ ������������1������ = ������2������ + ������4������ 的物理意义:第 j 个位移分量发生单位位移时, ������ ������ ������ ] = [������1������ 引起的近端力为[������������������ ������2������ ] ,引起的远端力 ������ ������ [������������������ ] = [������3������ ������ ������4������ ] ,根据单元力矩的平衡,对远端取矩得 ������ ������ ������ ������ ������ ������ −������������1������ + ������2������ + ������4������ = 0,故������������1������ = ������2������ + ������4������ ,上式关系表明发生单 ������ ������
������ ] ⑵ 各单元在局部坐标系下的单元结点力[������������
⑶ 如有跨间荷载或变温荷载,应给出各单元局部坐标系下的等
������ ������ ] 效结点荷载[������������������ ], [������������������
⑷ 绘制变形示意图
⑸ 绘制梁的弯矩分布(弯矩正方向以使梁的下缘受拉,上缘受 压为正)全梁划分为一个单元。
������
2 ι1 d2 y 故 π=U+ W=∫ ΕΙ ( 2 ) dx − [������ ������ ]������ [������ ������ ] 02 dx 2 1 1 d2 [H] 1 ������ ] [������ = ∫ ΕI dη − [������ ������ ]������ [������ ������ ] { } 2 2 0 dη ������ 3 2 2 1 1 ΕI ������ ]������ d [H] [������ [������ ������ ]dη − [������ ������ ]������ [������ ������ ] = ∫ ( ) 2 0 ������ 3 dη2 1 ΕI d2 [H] d2 [H] e ∂π [δ ]dη 根据势能驻值原理得 = ∫ 0 l3 dη2 dη2 ∂[δe ]T
12������ 0 −6������������ = −12������ 0 [ −6������������
6������������22 ������2 ������������
3
[������]6×6
0 ������������⁄������ 0 0 − ������������⁄������ 0
−6������������ 0 (4 + 2������)������2 ������ 6������������ 0 (2 − 2������)������2 ������
������������
−12������ 0 6������������ 12������ 0 6������������
1.2 在式(1-55)所示平面梁单元的弯曲刚度矩阵 K e 中存在以下关 系
������ ������ ������3������ = −������1������ { ������ ������ ������ ������������1������ = ������2������ + ������4������
1 ΕI l3
d2 [H] dη2
= ������(−4 + 6η)
6EI ������ 2
������(6 − 6η)(−4 + 6η)dη = −
1 ΕI d2 [H] d2 [H] l3 dη2 dη2
同理用公式k ������������ = ∫ 0
dη可计算其余单元刚度矩阵元素
求得单元刚度矩阵为: 12 6������ ΕI 4������ 2 [k e ] = 3 [ 6������ ������ −12 −6������ 6������ 2������ 2 平衡方程为[������ ������ ][������ ������ ] = [F e ]. −12 6������ −6������ 2������ 2 ] 12 −6������ −6������ 4������ 2
对于每个 Hermite 插值函数H������ 都可以假设为三次多项式 H������ = a������0 + a������1 x + a������2 x 2 + a������3 x 3 H������ 满足插值条件,例如: i=1 时,H1 = a10 + a11 x + a12 x 2 + a13 x 3
− [F e ] = 0
因此若令 [������ ������ ] = ∫ 0
1 ΕI d2 [H] d2 [H] l3 dη2 dη2

则上式变为
[������ ������ ][������ ������ ] = [F e ] 单元刚度矩阵[������ ������ ] = ∫ 0
1 ΕI d2 [H] d2 [H] l3 dη2 dη2
习题一 (第一章 杆系结构有限元分析的基本原理)
1.1 试用材料力学方法建立式(1-56)所示的单元平衡方程。 提示:利用式(1-50)和材料力学公式 M EIy , Q EIy ,并注意 按照材力规定, 单元两端截面上的剪力和弯矩的正方向如题图 1-1 所 示。



i=1,2,3,4
′ H1 = a11 + 2a12 x + 3a13 x 2
代入插值条件得:a10 = 1; a11 = 0 ; a10 + a11 ������ + a12 ������ 2 + a13 ������ 3 =0 a11 + 2a12 ������ + 3a13 ������ 2 =0 解得 a10 = 1; a11 = 0;a12 = − 2;a13 = 3;
������ ������ 3 2
故 H1 = 同理得 H2 = H4 =
1 ������ 3 1 ������ 3 1 ������ 2
(������ 3 − 3������x 2 + 2x 3 ); (3������x 2 − 2x 3 );H3 = ( 2 x 3 − ������x 2 )
������ 1 1 ������ 2

, θ , θ
θ ,
0


θ

,Q

,Q
题图 1-2
解:由于该杆件只有沿������方向的线位移、绕������ 轴角位移和绕������轴的角位 移,所以根据空间梁单元的单元刚度矩阵,划去第 1,2,6,7,8,12 行 和第 1,2,6,7,8,12 列对应的元素,即得该栅格单元的刚度矩阵:

1
,
2


()


2

1


1
温度变化△ = 0/0.5
/2
2




O
()
/2


O
1
△ =2 o
/
2


)
题图 1-3
解:(a)图:单元刚度矩阵 12 6������ −12 6������ ������������ 6������ 4������ 2 −6������ 2������ 2 ������ ] [������] = [������������ = [������ ������ ] = 3������ [ ] ������ −12 −6������ 12 −6������ 6������ 2������ 2 −6������ 4������ 2 结点位移列矢量:[������] = [0 0 ������2 ������2 ]T ; ̅������ ] = [F1 M1 − ������ 0]T ; 结点荷载列矢量:[������] = [������ 由于[������������������ ][������������ ] = [������������ ] [������������ ] = [−������ 0 ]T
(������ 2 x − 2������x 2 + x 3 );
令η = x⁄������ ,则 H1 = 1 − 3η2 + 2η3 ;H2 = 3η2 − 2η3 ; H1 = ������(η − 2η2 + η3 );H4 = ������(η3 − η2 ) 外力势能 W = −(Q ������ V������ + M������ θ������ + Q ������ V������ + M������ θ������ ) = −[������ ������ ]������ [������ ������ ] [������ ������ ] = [Q ������ M������ Q ������ M������ ]
1.4 用本章§1-10 所述杆系结构有限元法的求解步骤求解题图 1-3 所示各题。为便于与本书给出的答案相比较,建议每个梁单元的局部 坐标系均取为与整体坐标系������������������������相同, 且一律取单元左端结点为������ 端。 要求给出: ⑴ 整体坐标系下的结点总位移矢量[������]
元位移分量时,引起的单元的力和力矩是平衡的。 1.3 某个杆件������的单元局部坐标系如题图 1-2 所示, ������������������平面与格栅所 在平面������������������ 重合,������ 轴正方向与整体坐标系������ 轴相同。写出局部坐标 系下的格栅单元刚度矩阵。
������
dx
根据结点位移构造单元的位移函数 y,设 y = H1 U������ + H2 θ������ + H3 V������ + H4 θ������ = [H][δe ] H������ 为 Hermite 插值函数,满足以下条件: H1 (0) = 1
′ (0) H1 =0 ′ (l) H1 (l) = 0 H1 =0
能,记 i,j 端的位移列向量 [������ ������ ]=[������������ ������������ ������������ ������������ ] ,应变能 ⋃=
2 ������ 1 d2 y ΕΙ ( 2 ) ∫ 02 dx

d2 [H] dη2
如求k11 ,此时H1 =1 − 3η2 + 2η3 故k11 = ∫ 0
1 ΕI l3
= −6 + 12η
12EI ������ 3
(−6 + 12η)(−6 + 12η)dη =
d2 [H] dη2
再如求k 23 ,H2 = 3η2 − 2η3 ;
= 6 − 6η
H1 = ������(η − 2η2 + η3 ); k 23 = ∫ 0
0 − ������������⁄������ 0 0 ������������⁄������ 0
−6������������ 0 (2 − 2������)������2 ������ 6������������ 0 (4 + 2������)������2 ������]
其中 ������ =
22 , ������ = ������2 (1+2������) .
(������ = 1,2,3,4)
说明以上关系式的物理意义。
������ ������ 解:式(1-55)为对称矩阵������������������ = ������������������
������ ������3������
12 6������ −12 6������ 4������ 2 −6������ 2������ 2 [������ ������ ] = 3 [ 6������ ] ������ −12 −6������ 12 −6������ 6������ 2������ 2 −6������ 4������ 2 ������ = −������1������ 的物理意义:在单元的近端(远端)发生单元线位移
[H] = [H1 H2 H3 H4 ]
′ (0) ′ (l) H2 (0) = 0 H2 = 1 H2 (l) = 0 H2 =0 ′ (0) ′ (l) H3 (0) = 0 H3 = 0 H3 (l) = 1 H3 =0 ′ (0) ′ (l) H4 (0) = 0 H4 = 0 H4 (l) = 0 H4 =1
相关文档
最新文档