ch05 第二节 数值积分的余项

从而, [a, b]. 由引理5.2，
左矩形公式
两端积分
b
b
b
f ( x)dx f (a)dx f ( ( x))( x a)dx
a
a
a
b
(b a) f (a) a f ( ( x))( x a)dx
注意右端第二项，设f '(x)在[a,b]上连续，
而 x-a 在[a,b]上不变号（非负），由引理5.2知
ab 2
)2
(
x
b)
dx
1 2880
(b
a)5
f
(4)(
)
Newton-Cotes余项的一般形式
n
定理 设 Q[ f ] (b a) Ci(n) f ( xi ) ，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
b a
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x)dx
Q[
f
]
b
a n
n3
f (n2) ()
(n 2)!
n t 2 (t 1)L
0
(t n)dt,
(2) 若 n 为奇数， f (x) Cn+1[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
b a
f
( x)dx
Q[
f
]
ba n
n2
f (n1) ()
(n 1)!
n
t(t 1)L
0
(t n)dt,
的近似值.
多项式 H(x)，满足
H ( xi ) f ( xi ), H'( xi ) f'( xi ), (i = 0, 1, … , n)
插值余项为
f ( x) H ( x)
f (2n2) ( x )
(2n 2)!
n
( x xi )2, x (a,b)
i0
上式两边积分得
Gauss 公式的余项
第五章 数值微积分
第二节 数值积分的余项
§5.2数值积分的余项
引理5. 1 （积分中值定理）若f(x), g(x)均在[a,b] 上连续, 且g(x)在[a,b]不变号, 则存在[a,b] 使
b
b
a f ( x)g( x)dx f ()a g( x)dx
引理5. 2 （复合函数的积分中值定理）若f(x), g(x) 均在[a,b]上连续, g(x)在[a,b]不变号,且对于任意 x[a,b] ，都有 h(x)[a,b] ，则存在[a,b] 使
i f ( xi )
1 (2n
2)!
i0
b a
f
(2n2) ( x )
n
( x xi )2 dx
i0
积分中值定理. f (2n2) ( )
(2n 2)!
b a
n
( x xi )2 dx ， (-1,1)
i0
作业
P128: 3, 4; 补充题: 用三点的Gauss公式求积分
14 0 1 x2 dx
RGa ( f )
b
f '( ( x))( x a)dx
f '()
b
(x
a)dx
(b
a)2
a
a
2
f '()
于是有
b
f ( x)dx (b a) f (a)
a
右式为左矩形公式，其余项为 R (b a)2 f (), [a, b]
2
中矩形公式余项(证明: 用Taylor公式)
RGc ( f )
Gauss 公式的余项
定理 设 f (x) C 2n+2[a, b] ，则 Gauss求积公式的余项为
R[ f ]
b
n
f ( x) dx
a
i f ( xi )
i0
f (2n2) ( )
(2n 2)!
b a
n
( x xi )2 dx
i0
证明：以 x0 … xn 为节点，构造 f (x) 的 2n+1 次Hermite插值
b
b
f ( x) dx H ( x) dx
1
a
a
(2n 2)!
b a
f
(2n2) ( x )
n
( x xi )2
dx
i0
由于Gauss求积公式具有 2n+1 次代数精度，故
b
n
n
H ( x) dx
a
i H( xi )
i f ( xi )
i0
i0
所以,
b
n
R[ f ] f ( x) dx a
dx
1 (b a)3 f''( ), [a,b]
12
Simpson公式余项(证明: 用积分中值定理 +Hermite插值)
RS ( f )
b
ba
ab
f (x)dx [ f (a) 4 f ( ) f (b)]
a
6
2
1 (b a )5 f (4)(), 90 2
Simpson公式的余项证明：
b
b
a f (h(x))g(x)dx f ()a g(x)dx
§5.2数值积分的余项
左矩形公式余项(证明: 用Taylor展开公式)
RGa ( f )
b
(b a)2
f ( x)dx (b a) f (a)
a
2
f ()
证明：将被积函数f(x)在a处泰勒展开,
f ( x) f (a) f '( ( x))( x a),(x在) x、a之间
S( f )
b a
HL23((xx))ddxx,,
RS
b
f (x)
dx
S( f )
b
fb
(
4f)
((3) (x()x) ))
(
x(x
a)a( )x(
x
aba)b2)((xxbb))
ddxx
a
a a 4!3!
22
三次Hermite插值
1 24
f (4) ( )
b
( x a)( x
a
令线性插值L( x):L1(a) f (a),
L1(b) f (b),则
T( f )
b a
L1
(
x)dx,
RT ( f )
b
f (x)
a
dx
b a
L1
(
x)dx
b f''( ( x))
a 2!
( x a)( x b)
dx
中值定理
1 2
f'' ()
b
(x a)( x b)
a
b f ( x)dx (b a) f ( a b ) (b a)3
a
2
24
f ()
梯形公式余项(证明: 用积分中值定理)
RT ( f ) I( f ) T( f )
b
f ( x)dx b a [ f (a)
(b a)3 f (b)]
f (),
a
2
12
梯形公式的余项证明：