第3章 可靠性分布函数

不可靠度函数
F
(t)
ln
t
可靠度函数
R(t
)
1
ln
t
失效率函数
(t)
f (t) R(t)
(ln t )(t )1
1 (ln t )
23
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
对数正态分布的寿命特征
平均寿命
(1 2 )
E(T ) e 2
寿命方差 D(T ) e2 2 e 2 1
2
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例1（教材例3-3）：在一台设备里有4台油泵，已知 每台失效概率为0.1，问： (1)如4台油泵全部正常工作，其概率是多少？ (2)失效油泵不超过2台的概率。
解：设X为工作失效的油泵数，X服从二项分布，X 发生r次 的概率为
(1) 4台油泵全部正常的概率是：
的合格尺寸是多少？
17
车辆可靠性设计
3、正态分布可靠度函数
第三章 可靠性常用分布函数
R(t) 1
e dt
1 2
t
2
2 t
标准正态分布可靠度函数
R(t) 1 F(t) 1 (z) 1 (t )
18
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
4、正态分布失效率函数
1
e
1 2
t
2
解：在50000h内的平均失效零件为：
t 0.00001 50000 0.5
允许2个零件失效的系统可靠度为：
PX
k
2
k
k!
e
e0.5
1 0.5
0.52 2
0.9856
5
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
练习1 ：今有25个零件进行可靠性试验，已知在给定 的试验时间内每个零件的失效概率为0.02，试分别用 二项分布和泊松分布求25次试验中恰有两个零件失效 的概率。
中位寿命 T (0.5)
20
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例8：已知某产品的寿命服从正态分布,
X N (20000, 20002) 寿命以循环次数计。求该产品在 19000次循环时的 R(t)和t0.8 。
解:Z= t 19000 20000 0.5
2000
R(19000) 1 F (19000) 1 (Z ) (0.5) 0.6915
T (e1)
T (e1)
31
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例10(教材例3-7)：已知某汽车零部件疲劳寿命服
从威布尔分布，其形状参数 m 2 200h 0h
试计算该部件的平均寿命;可靠度为95%的可靠寿命; 在200h内的最大失效率。
32
车辆可靠性设计
本章小结
第三章 可靠性常用分布函数
k!
累积分布函数
P k r r k e
k0 k !
n P X k n k e 1
k 0
k0 k !
泊松分布的数学期望和方差为 E( X ) D(X )
4
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例2：某种零件的失效率为0.00001/h。现只有两个备 件，且半年内不能再进备件，实际工作需保证设备运转 50000h，问这种情况设备能够正常工作的概率为多大？
可靠寿命
T e[1(1R)] R
注意： E(ln X ) 为 lnX 的均值；
D(ln X ) 为 lnX的标准差。
24
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例9(教材例3-6)：已知某零件的寿命服从对数 正态分布，随机抽取5个零件进行了试验，测得其 寿命为93，79，83，87，92h。试计算：
指数分布的可靠性函数和寿命特征值 正态分布分布的可靠性函数和寿命特征值 对数正态分布的可靠性函数和寿命特征值 威布尔分布的可靠性函数和寿命特征值
33
车辆可靠性设计
作业
教材P62：3-5，3-7
34
解：(1)
查正态分布表得失效概率 F(Z)=0.5 存活率 R(x=600)=1-F(Z)=0.5 试件失效数 n=100*0.5=50(件)
15
车辆可靠性设计
(2) 失效概率
第三章 可靠性常用分布函数
失效件数 n=100*0.0214≈2(件)
(3) 失效概率F(Z)=0.05，存活率1-F(Z)=0.95
6
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
三、指数分布 e()
指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常 运转期间的寿命。
密度函数 f (t ) e t
不可靠度函数 F(t) 1 et
可靠度函数 R(t) et
失效率函数 (t) f (t) / R(t)
平均寿命 寿命方差
E(T ) 1
T0.8 1(1 0.8) 20000 20001(0.2)
20000 2000 (0.84) 18320(循环)
21
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
五、对数正态分布 LN (, 2 )
P( X xm ) 0.5
σ
定义：连续型随机变量X的自然对数呈正态σ 分布， σ
lnX~N(μ，σ２)，则称X服从对数正态分布。
2、尺度参数 –改变曲线的纵、横坐标的标尺，函
数曲线的形状随之变化。
28
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
3、位置参数 －反映密度函数曲线起始点的位置在横
坐标轴上的变化，但曲线形状不改变。
位置参数又称起始参数,它表示产品在时间γ之前具有 100%的存活率,即失效是从γ之后开始的。由此可见,威
(t) f (t)
R(t)
2
1
e dt
1 2
t
2
2 t
标准正态分布失效率函数
(t)
f (t) R(t)
(z) 1
1 (z)
(t ) 1
1 (t )
19
车辆可靠性设计
5、正态分布的寿命特征
平均寿命 寿命方差
E(X) D( X ) 2
第三章 可靠性常用分布函数
可靠寿命 TR 1(1 R)
查正态分布表得Z=-1.64，由式
因此材料强度值为518MPa。
16
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例7：有一批轴，按规定轴径不超过1.5cm就是合格 品，根据以往经验已知轴径尺寸服从正态分布，其
均值 1.490cm ，标准差 0.005cm 。
试计算(1) 该批轴的废品率是多少？ (2) 若要保证有95%的合格率，则应规定直径
t
f t Rt
m
t
m1
30
车辆可靠性设计
威布尔分布的寿命特征
两参数
平均寿命
E(T ) ( 1 1)
m
第三章 可靠性常用分布函数
三参数
E(T ) ( 1 1)
m
寿命方差
D(T )
2
(
2 m
1)
2 ( 1 m
1)
可靠寿命
1
TR ( ln R) m
1
TR ( ln R)m
特征寿命
D(T ) 2 1 2
可靠寿命
11
TR
ln R
特征寿命 T (e1) 1
7
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例3：某仪器的寿命T服从指数分布，其平均无故障连 续工 作时间MTBF为25h，试求其失效率为多少？若 要求 可靠性为90%，问应如何选择连续工作时间？
解：失效率为：
即为了有90%的把握不出故障，该仪器连续工作时 间 不应超过2.63h。
(2) 失效油泵不超过2台的概率包括全部正常、失效1 台和2台共 3种情况
3
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
二 、泊松分布
在二项分布中，当p很小，n很大，而np 为常
数时，则该二项分布接近一个极限，这个极限就称
为泊松分布。它是一种离散型分布。
在n次试验中，X发生k次的概率为
PX k k e
exp
t
m
式中 m— 形状参数； —尺度参数； —位置参数。
可靠度函数:
Rt
1
F t
exp
t
m
失效率函数:
t
f t Rt
m
twenku.baidu.com
m1
26
车辆可靠性设计
威布尔分布的参数
第三章 可靠性常用分布函数
1、形状参数 m－决定威布尔密度函数曲线的形状。
m
m
27
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
概率密度函数
f
(x)
t
1
2
exp
1 2
ln
x
2
分布函数 F ( x)
x 1
0 x 2
exp
1 2
ln
x
2
dx
对数正态分布标准化
设z ln x
F (x)
1
2
ln 0
x
exp
1 2
z2
dz
ln
x
z
22
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
对数正态分布的可靠性函数
2
1）特征：
① 曲线关于x 对称。
x
1
② 在均值x 处有最大值，其值为 2 。
③ 标准差σ越小，曲线 f (x)的峰值越高，因而 X落在μ附近的概率越大。
10
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2）标准正态分布故障密度函数
0 , 1 的正态分布称为标准正态分布
(x)
1
x2
e2
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
重点：
几个常用分布的可靠性函数、寿命指标： 正态分布 对数正态分布 指数分布 威布尔分布
1
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
一、二项分布 X~B（n，p）
在一次试验中只能出现两种结果之一的情况，
它是一种离散型分布。
设试验只能出现成功和失败两种结果： 失败 X 概率为p 成功1－X 概率为q 1 p
布尔分布存在最小安全寿命,这与机械零件的强度、寿命 等概念吻合。
29
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
两参数威布尔分布的可靠性函数
概率密度函数 分布函数
f
(t
)
m
t
m1
exp
t
m
t m
F
(t)
1
exp
可靠度函数 故障率函数
R
t
1
F
t
exp
t
m
2
非标准正态分布
标准正态分布
设z x (标准正态变量)
(z) f (x)
(z) (z)
1
z2
e2
2
( z) 值可查正态分布密度函数数值表
11
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2、正态分布不可靠度函数
F(x) 1
e dx x
1 2
x
2
2
标准正态分布不可靠度函数
14
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例6（教材例3-5）:有100个某种材料的试件进行抗拉强 度试验，现测得试件材料的强度呈正态分布,均值 μ=600MPa ，标准差 σ=50MPa。求：(1)试件强度 =600MPa时的存活率、失效概率和失效试件数；(2)强 度落在(550~450)MPa 区间内的失效概率和失效试件数； (3)失效概率为 0.05时材料的强度值。
1）寿命的数学期望及方差；
2）可靠度为95%的可靠寿命；
3）要求工作80h的可靠度。
25
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
六、威布尔分布 W (m, ,)
威布尔分布主要用于工程中的寿命问题。
概率密度函数
f
(t)
m
t
m1
exp
t
m
(m 0, 0, t)
分布函数
F (t )
1
a
(z) 1 (z)
(z) 值可查正态分布表
13
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例5：已知某轴在精加工后，其直径尺寸呈正态分布， 均值 μ=14.90mm，标准差σ =0.05mm。规定直径尺寸在 (14.90±0.1)mm内时就为合格品，求合格品的概率。
解：先将正态分布标准化
合格品的概率为:
1
x x2
(x)
e 2 dx
2
标准化
设 z x ，则 dx dz
1
z z2
x
F(x)
e 2 dz (z) ( )
2
12
车辆可靠性设计
若 X N(, 2)
第三章 可靠性常用分布函数
则
F ( x)
P( X
x)
P
X
x
P(Z
z)
(z)
对于任意区间
Pa
X
b
P
a
X
b
b
8
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例4：某汽车零件服从指数分布，且在100h的工 作时间内约有5%失效,求可靠寿命t(0.95)和可靠度 R(1000)。
9
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
四、正态分布 N (, 2)
1、正态分布故障密度函数
f (x)
1
e ,
1 2
x
2
( x )
在n次试验中， X发生k次的概 率为
P( X k) Cnk pkqnk (k 0,1, , n)
累积分
布函数
r
P(k r) Cnk pk qnk
k 0
n
n
P( X k ) Cnk pk qnk 1
k 0
k 0
二项分布的数学期望和方差为 E( X ) np D(X ) npq