第二章解析几何初步

第二章解析几何初步

一、直线及其方程

(一)平面直角坐标系中的基本公式

1•两点的距离公式

平面直角坐标系中，已知点A x , y1，B x2 , y2，贝y A、B两点间的距离d A, B __________________ ,

例1 ( 1)已知点A2, 4, B 2,3，则dA, B _______________________ ;

(2)已知点A 1, 2 , B 3, 4 , C 5, 0，则△ ABC的面积为 _____________________________ .

例2已知平行四边形ABCD，求证：AC2 BD2 2 AB2 AD2.

*定理：平行四边形的两条对角线和平方和等于它的四边的平方和

*坐标法：建立平面直角坐标系，利用点的坐标，将几何问题转化为代数问题，通过逐步计算来解决的方法•2•中点坐标公式

已知点A儿，％, B X2 , y2 ,则线段AB的中点M的坐标x, y满足：

例3若平行四边形ABCD的三个顶点A 3, 0 , B 2, 2 , C 5, 2，则顶点D的坐标是

变式：若一个平行四边形的三个顶点分别为3, 0 , 2, 2 , 5, 2，则第四个顶点的坐标是

*重心坐标公式

已知△ ABC的三个顶点A X1 , y1 , B X2 , y2 , C X3 , y3，则△ ABC的重心G的坐标是

实战训练

1•点2, 3关于点1, 5的对称点的坐标是________________________ •

2•已知点M 1, 1平分线段AB，且A x, 3 , B 3, y，则x ____________________ ,y ___________ .

3•已知点A 1, 2 , B 2, 7，在x轴上的点p满足PA PB，则点P的坐标是 _______________________ . 4•已知点A 4, 1 , B 3, 2，在y轴上一点C满足△ ABC的面积为12，则点C的坐标是_____________________

5•已知△ ABC的重心为P 4, 2，顶点A 4, 1 , AB边的中点为M 3,2，则BC边的长为()

A. 5

B.4

C.10

D.8

6•已知0 x 1, 0 y 1，使得不等式

x2—y2x2 1 y 2 1 x 2 y2 . 1 x 2 1 y 2> 2 2中的等号成立的x, y满足条件

7•用坐标法证明：对于矩形ABCD所在平面内的任意一点

立•

(二)直线的方程

1.直线的方程”与方程的直线” 2•直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，一条直线向上的方向与斜角•

规定：当直线与x轴重合或平行时，直线的倾斜角为0

(2)倾斜角的范围0, n (或0 , 180 ) •

3•直线的斜率

(1)定义：倾斜角

不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k tan 倾

斜角为90的直线没有斜率•

(2)斜率的坐标公式：经过点R为,

M，都有等式AM2CM 2BM2DM 2成

x轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾

（或0 ）

•

90 ,

y1

、

例1( 1)若三点A 2, 3，B 3,

(2)斜率为2的直线上有A 3, 5，B a, 提醒：

①直线的倾斜角____________ ，但斜率____

②直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角

当倾斜角

是锐角时，斜率

是钝角时，斜率

巳

1

2

7

X2, y2咅X2的直线的斜率k

m共线，则m

C 1, b三点，求a，b.

范围内随着倾斜角

范围内随着倾斜角

的增大而

的增大而

系为

3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3 的大小关

4•直线的方程

(1)点斜式：已知直线过点x3, y0，斜率为k，则直线方程为_________________

*直线的截距

若一条直线与X轴交于点a, 0，则称直线在X轴上的截距为a；若一条直线与y轴交于

点0, b，则称直线在y轴上的截距为b•

注意：截距 距离 .

例3过点2,1，在x 轴、y 轴上的截距相等的直线有 _______________ 条，这样的直线的斜率是 _____________ (2) 斜截式：已知直线在 y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程 _________________.

(3) _______________________________________________________________________ 两点式：已知直线经过点 P 1 x 1 , y 1 、 P 2 x 2, y 2 ，则直线方程为 ________________________________________ .

(4) _____________________________________________________________________________ 截距式：已知直线在 x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b ，则直线方程为 ____________________________________ . ( 5 )一般式： ______________ .

例 4( 1)过点 2, 1 ，斜率为 1 的直线方程为 ____________________________ ； (2) _________________________________________________________ 过点2, 1，平行于y 轴的直线方程为 _______________________________________________________________ ；

(3) _____________________________________________________________ 斜率为5，在y 轴上的截距为 2的直线方程为 _______________________________________________________ ；

(4) ________________________________________________________________ 斜率为 3，在x 轴上的截距为 2的直线方程为 ________________________________________________________ ； (5) 已知△ ABC 的三个顶点A 1, 2，B 3, 4，C 5, 0，则AB 边的中线所在直线的方程为

*与直线 y kx b 平行的直线方程形如： ______________________ .

4 ，且它与坐标轴围成的三角形的面积为 8，求直线 I 的方程 . 例

6 已知两条相交直线 a 1x b 1y 1 0 和 a 2x b 2y

Q 2 a 2 , b 2 a 1 a 2 的直线方程 .

例 7 ( 1)若 AC 0 ， BC 0 ，则直线 Ax By C ( 2)直线 y kx 2 必过点 ( 3)直线 y kx 2k 3 必过点 _ (三)两条直线的位置关系 1.两条直线相交、平行、重合的条件 (1

)有．斜．率．的两直线： I 1:y k 1x b 1， I 2 :y

① I l //12

________________________________

.

② I 1 I2 _________________________ . ③ |

1与|

2相交 _______________________ . ④ 11与$重合 ___________________________ .

例5已知直线I 在y 轴上的截距为

1 0的交点为 P 2, 3 ，求过两点 Q 1

0 一定不经过第

象限；

k 2x

b 2

，则有：

a 1 ,

b 1 、

2）直线 I 1 : A 1x B 1y C 1 0 和 I 2 : A 2 x B 2 y C 2

的公共点的坐标是方程组

A 1x

B 1 y

A 2x

B 2 y

C 1 C 2 0 0

的

解. 方程组有唯一解 方程组无解 方程组有无数多解

*一般式的直线： I 1:A 1x B 1y C 1 0,I 2:A 2x ①

I 1/ I2 __________________ ②

I 1 I2 ________________ ③

I 1与$相交 __________________

④

I 1

与

I 2

重合 _________________

例1(1)若直线 3x 1 a y 5 ( 2)若直线 m 2 x m 2 y

( 3)过点 1, 3 ，与直线 I : y 程为 ； (4)已知点 A 7, 4 ， B 5,

B 2y

C 2 0 ,则有：

0与直线 x y 0 平行，则 a ___ 0 与直线 3x my 1 0 垂直，则

3 平行的直线方程为 __________

2x

6， 则线段 AB 的垂直平分线方程为

，与直线 I 垂直的直线方