合情推理

……
凸n边形有多少条对角线？
猜想：凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线。由此，凸n边形 对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2).
3.在同一平面内，两条直线相交，有一个交点； 三条直线相交，最多有几个交点？
四条直线相交，最多有几个交点？
……
六条直线相交，最多有几个交点？
……
n条直线相交，最多有几个交点？
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
1、在平面几何里，有勾股定理:
“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则
AB2+AC2=BC2.” 拓展到空间，类比平面几何的
勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的
关系，可以得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD
的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，
则
2 21, 2 2 2 , 2 23, 3 31 3 3 2 3 33
由此猜想： b b m , (a，b，m均为正实数). a am
归纳推理： 从个别事实中推演出一般性的结论.
实验、观察
概括、推广
部分
归纳推理的特点： 特殊
猜测一般性结论
整体 一般
活学活用：
1. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：
S2 BCD
S2 ABC
S2 ACD
SADB2 .
A
D
C
B
2、 由图(1)有面积关系:
SPAB SPAB
PA PB PA PB
则由图(2)有体积关系:
VP ABC VC
B B
B
B
C
P
A
A
P
图(1)
C
A
A
图(2)
3、已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1, 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下 加以推广,即要求得到一个更一般的命题, 而已知命题应成为所推广命题的一个特例, 推广的命题为设：圆-的--方---程--为---①----------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 ---b-≠---d-)--,-则---由--①---式---减--去---②---式--可---得--上---述---两--圆---的--对---称---轴-
推理案例4：
前提： 矩形的对角线的平方等于长与宽的 平方和.
结论： 长方体的对角线的平方等于长、宽、 高的平方和.
比较推理
类比推理：在两类不同的事物之间进行对比，找
出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可 以存在相同或相似之处.
合情推理
—— 类 比 推 理
例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质.
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0)2 = r2
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
例4. 利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列
定义 an an1 d（n 2)
例2变式.数列{an }是正项等差数列，
若也b为n 等a差1 数12a列22. 33a3
n
nan
，则数列{bn
}
类比上述结论，对于正项等比数列{cn } ，
若dn=
，则数列{ d n }也为等比数列.
1
答案： (c1 c22 c33 cnn )123n
例3. 利用圆的性质类比得出球的性质
推理与证明
(1)因为铜、铁、铝、金、银等金属能
导电,所以猜想: 一切金属都能导电. 归
合
部分 整体
纳
情 (2)因为 1,12 ,1 3 ,22 1 3 5 32
推
推 所以猜测: 13(2n1) n2
理
个别 一般
理
推 (3)因为地球上有生命,火星具有一些 类
理
与地球类似的特征,
比
演 所以猜想: 火星上也可能有生命. 推
等式
(1) a=b a+c=b+c (2) a=b ac=bc (3) a=b a2=b2
不等式
a>b a+c>b+c a>b ac>bc a>b a2>b2
例2. 若数列{an}是等差数列，则数列
bn
a1
a2
n
an
也是等差数列。
类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列， 且cn>0，则____________________________也是等比数列；
通项公式 an a1 (n 1)d an am (n m)d
前n项和
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 2
1)
d
等比数列
an : an1 q（n 2)
an a1qn1
an amqnm
Sn
na1 a1 (1
q
n
1 q
(q 1) ) (q 1)
等差数列
等比数列
中项
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
-方---程--.--------------------------------------------------
-
--------.
课外训练题
《五羊高考》P144 课前热身 第2、3、4题
P145 例1、例2、例3.
理
当n=5时，n2-n+11=31;
11,11,13,17,23,31都是质数.
结论：对于所有的自然数n，n2-n+11的值都是质数.
推理案例2：
三角形的内角和是180◦，凸四边形的内角和是 360◦，凸五边形的内角和是540◦，…… 由此猜想：凸n边形的内角和是(n-2) ×1800
推理案例3：
绎 (4)因为没有一个人是永生的,希腊人 理
推 是人,所以没有一个希腊人是永生的.
理
合情推理
—— 归 纳 推 理
推理案例1：
前提： 当n=0时，n2-n+11=11;
当n=1时，n2-n+11=11;
归
当n=2时，n2-n+11=13;
纳
当n=3时，n2-n+11=17;
推
当n=4时，n2-n+11=23;
(1) 1 1 , 22
11 2, 26 3
11 1 3, 2 6 12 4
1 1 1 1 4, 2 6 12 20 5
(2) 1＝1，1-4＝－（1+2），1-4+9＝1+2+3， 1-4+9-16＝－（1+2+3+4），……
2. 凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条； 凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
n+m=p+q时, am+an= ap+aq
n+m=p+q时, aman= apaq
Sm , S2m Sm , S3m S2m Sm , S2m Sm , S3m S2m
成等差数列
成等比数列
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有 这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．