第5讲换面法(1)解析

b
b b1
X a
X1
a1
.b2 （a2 ）
X2
3. 一般位置平面
投影面垂直面
先找到平面内的一条投影面平行线，再将其转化投影面的垂直线
b
b
a1
b1
c1
a
c
a
X
c
投影规律：
新投影面中的投 影积聚为一条直 线，它与新投影 轴的夹角反映了 空间平面与不变 投影面之间的夹 角实大。
X1
4. 一般位置平面
. .
.
.
例1 过点C作直线与直线AB垂直相交
.c d
第1类问题！
b
c.
X
a
d
X1
第几类问题？
b b1
d1 a1 c1
例2 求两交叉直线的距离 第2类问题！
b X 实长
ca
X1
c2
d
c1
.b2 （a2）
b
a1
d2
b1 d1
第几类问题？ X2
例3 求两平面的夹角
c
a
b c
b
d
X a X1
5.1 换面法的基本概念 5.2 换面法的基本规律 5.3 四个基本问题 5.4 应用举例 小结
平行——反映实形（实长）
一般位置
实长 实形
特殊位置
垂直——积聚性
β
5.1 换面法的基本概念
V1
V
X
X1 H
新投影面（X1轴）选取的两个基本条件： 1. 新投影面必须和空间投影面处于有利的解题位置；
2. 新投影面必须垂直于一个不变投影面；
换面法的定义
空间几何元素的位置保持不动，用新的 投影面代替旧的投影面，使得空间几何元 素对新的投影面的相对位置处于有利的解 题位置，然后找出其在新投影面上的投影。
5.2 换面法的基本规律
V1
V
. a1 （新投影）
a （旧投影）
. .A
Za
.a1
Za X1
.
a(不变投影） H
X X1
.a’
X
.a
点的投影变换规律： 1. 新投影和不变投影的连线必须垂直于新投影轴；
2. 新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。
点的一次换面——换H面
.a1 .a
X X1
.a
点的两次换面——先换V面再换H面
.a
X
.a
.a2
.a1
X2 X1
5.3 四个基本问题
方法，并能灵活运用换面法解决问
题。
作业：A19 A20
1. 一般位置直线
投影面平行线
b X
a X1
b
a1
b1
一般位置直线
投影面平行线（换H面）
b1 b
投影规律：
a1 β
X1
X a
新投影面中的 投影反映空间 线段实长，其 与新投影轴的 夹角反映了空 间直线与不变 投影面之间的 夹角。
b
2. 一般位置直线
投影面垂直线
一般位置直线 投影面平行线 投影面垂直线
一般位置平面
投影面垂直面
投影面平行面
a b
a
c X
投影面平行面
b
c
实形
a1
b1
c1
b2
X2 X1
a2 c2
5.4 应用举例
在应用换面法解题时，要先弄清题意并进行空 间分析，分析清楚已知条件和所求问题之间的空间 几何关系，确定所需要变换的是直线还是平面；
是进行一次换面还是两次换面，然后运用换面的 基本规律和解决四个基本问题的方法进行求解。
X2
d d1 b1
d2 a1
b2(a2)第几类问题？
φ
c2
c1
第3类问题！
例4 在直线AB上取点D，使得CD与AB的夹角为60o
.c
Байду номын сангаас
..
.. .
.
d b
第4类问题！
c.
d b
X
第几类问题？
X1 a
X2 c1 a1
d1 b1
a2 第2解
60。
d2 60。 c2
b2
重点掌握：
小结
★掌握常见的四个基本问题的换面