2016-2017学年重庆市重庆一中高一上学期期末考试试卷 数学

秘密★启用前
2017年重庆一中高2019级高一上期期末考试
数 学 试 题 卷2017.1
一.选择题.(每小题5分,共60分)
1.已知扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的圆心角为（ ） A ．2 B ． 4 C ． 8 D ． 16
2.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，{1,3,5}N =，则()
M C N U 等于( ) A ．{1,3} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{4,5} 3.14
sin
3
π=（ ） A. 32-
B. 12-
C. 1
2
D. 32 4.幂函数(1)(4)
()p p y x
p N --*=∈为偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则实数p =（ ）
A ． 1
B ．2
C ． 4
D ． 5 5.已知),2
(
ππ
α∈，且5
5
sin =
α，则tan 2α=（ ） A ．2 B ．
12 C ． 43 D ． 43
- 6.函数sin cos y a x b x =-满足2()()3f x f x π-=，那么b
a
＝（ ）
A ．3
B ．1
C ．3－
D ．－1 7.已知函数12
()log sin 2f x x =，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 为奇函数
B ．函数()f x 有最大值0
C ．函数()f x 在区间(
,
)()4
2
k k k Z π
π
ππ++∈上单调递增
D ．函数()f x 在区间(0,
)4
π
上单调递增
8.函数()sin()(0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的图象如图所示，为
了得到()sin 2g x A x =的图象，则只需将()f x 的图象
（ ）
A ．向左平移
12π
个长度单位 B ．向右平移12π
个长度单位
C ．向左平移6
π
个长度单位
D ．向右平移
6
π
个长度单位 9.已知函数2
()2x
f x x =+，则不等式(2sin )3,[,]22
f x x ππ
>∈-
的解集为（ ） A ．(,)66ππ
-
B ． (,)
33ππ- C ．[,)(,]2662ππππ--⋃ D ．[,)(,]2332
ππππ
--⋃ 10.若关于x 的函数2222
2sin ()(0)tx x t x x
f x t x t
+++=>+的最大值为M ，最小值为N ，且4=+N M ，则实数t 的值为（ ）
A ．1 B.2 C.3 D ．4 11.（原创）已知关于x 方程1
1.4log 1 1.4
x x --=，则该方程的所有根的和为（ ）
A.0
B.2
C.4
D.6
12.（原创）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈满足(28)(2)f x f x +=，且当(0,4)x ∈时，
2()cos 1f x x x x π=-+-，则函数()f x 在区间[4,12]-上的零点个数是（ ）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13 二.填空题.(每小题5分,共20分)
13.已知角α的始边落在x
轴的非负半轴上，且终边过点(P ，且[0,2)απ∈，则α= . 14.求值：2log (lg5)
22
lg 2ln e ++=___________. （其中e 为自然对数的底）
15.求值：
2cos10(1sin10
)
cos 20
-= .
16.已知二次函数2
()f x ax bx c =++满足条件：①42a b a -≤<-；②[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，若对任意的[2,2]x ∈-，都有()f x m ≥恒成立，则实数m 的取值范围为 .
三.解答题.(共6小题,共70分) 17.（本小题满分10分）已知3(0,),tan 2
4
π
αα∈=
， （1）求sin α的值； （2）求
2sin()cos()sin()cos()
22
παπαππ
αα-++--+的值.
18.（本小题满分12分）已知函数2()2log f x x =-的定义域为A ，关于x 的不等式
223()0x a a x a -++<的解集为B ，其中0a >，
（1）求A ；
（2）若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围.
19.（本小题满分12分）在ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且
310
cos 2,sin 510
A B ==.
（1）求A B +的值；
（2）求函数()cos 225sin f x x A x =+的最大值.
20.（本小题满分12分）已知函数2
2
()(sin cos )2cos 2(0)f x x x x ωωωω=++->． （1）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 在区间[,]44
ππ
-上的值域； （2）若函数()f x 在(
,)2
π
π上单调递减.求ω的取值范围.
21.（原创）（本小题满分12分）
已知()22x
x
f x -=+,定义在(0,)+∞上的连续不断的函数()
g x 满足()()()g xy g x g y =+，当1x >时，
()0g x >且(2)2g =．
（1）解关于x 不等式：5
(2)()202
f x f x -
+≤； （2）若对任意的1(1,)x ∈+∞，存在2x R ∈，
使得2
2
1122()(1)()(4)(2)4()72
a g x g x g a f x f x +-+-≥-+成立，求实数a 的范围.
22.（原创）（本小题满分12分）已知函数21()32f x x =+，2113
()32
g x x x =-+， （1）a R ∈，若关于x
的方程42233
log [
(1)]log log 24
f x --=-有两个不同解，求实数a 的范围；
（2）若关于x 的方程：[()()]0x f x g x mx +-=有三个不同解12120,,()x x x x <，且对任意的12[,]x x x ∈，
[()()](1)x f x g x m x +<-恒成立，求实数m 的范围.
命题人：何 勇 审题人：关毓维
2017年重庆一中高2019级高一上期期末考试
数 学 答 案2017.1
一、选择题
ACDBDC CDCBDB 二、填空题
13.5
6π 14. 3
16.5(,]4
-∞- 三、解答题 17.解：（1）3sin 5α=
；（2）2sin()cos()2sin cos 2tan 12cos sin 1tan 7sin()cos()22
παπααααππααααα-++--===++--+.
18.解：（1）2222log 0,log 2log 4,(0,4]x x A -≥≤==； （2）由于A B B ⋂=所以B A ⊆，
2232()0()()0x a a x a x a x a -++<⇔--<，
若1a =，B =∅，符合题意；
若1a >，2
(,)(0,4]B a a =⊆，则2
412a a ≤⇒<≤；
若01a <<，2
(,)(0,4]B a a =⊆，则01a <<，综上，02a <≤.
19.解：（Ⅰ）
A 、
B 为锐角，10sin 10B =
，2
310cos 1sin 10
B b ∴=-= 又2
3cos 212sin 5
A A =-=
，5sin 5A ∴=，2
25cos 1sin 5A A =-=，
253105102
cos()cos cos sin sin A B A B A B ∴+=-=
=
0A B π<+<4
A B π
∴+=
；
（2）2
()cos 225sin cos 22sin 2sin 2sin 1f x x A x x x x x =+=+=-++
2
1
32(sin )2
2x =--+，所以函数的最大值为32
.
20.解：（Ⅰ）
2222()(sin cos )2cos 2sin cos sin 212cos 22f x x x x x x x x ωωωωωωω=++-=++++-
sin 2cos 22)4x x x πωωω=+=+，()f x 的最小正周期为π，22T π
πω
==，所以
1,()2)4
f x x πω==+，[,]44
x ππ∈-时，32[,]4
44
x πππ
+∈-，2sin(2)[4
x π+∈，所以函数值域为[2]-； （2）0ω>时，令
3222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
πωπ+≤+
≤
+∈，()f x 的单减区间为 5[,]88k k ππππωωωω++，由题意5(,)[,]288k k ππππππωωωω⊆++，可得82
58k k πππ
ωωπππωω
⎧+≤⎪⎪⎨
⎪+≥⎪⎩，解得
1
52,4
80k k k Z
ωω⎧+≤≤+∈⎪⎨⎪>⎩
，只有当0k =时，1548ω≤≤.
21.解：（1）2255
(2)()0(222)(22)022x x x x f x f x ---
≤⇔++-+≤⇔
51
(22)0(2)(22)022
x x x x -+-≤⇔--≤，解得11x -≤≤；
（2）22(2)4()7(2
22)4(22)5
x
x x x y f x f x --=-+=++-++
2(222)1x x -=+-+，问题转化为对任意的(0,)x ∈+∞，有2211()(1)()(4)12
a
g x g x g a +-+-≥恒成立，
即2
()(2)()41g x a g x a +-+-≥恒成立， 下
证
函
数
()
g x 在
(0,)
+∞上单增：取任意的
12(0,)
x x <∈+∞，
221211
11
()()()()()0x x
g x g x g x g x g x x -=-=-<，所以函数()g x 在(0,)+∞上单增， 由于(1)0g =，(2)2g =，所以1(1,)x ∈+∞时函数可取到(0,2]之间的所有值，
2()2
()32
(()1)(
)1()1
g x g x a g x g x g x ++≤=+++
+
恒成立，所以a ≤()1g x =-时取等.
22.解：（1）
原方程可化为4
log (1)x -=且14x a x <⎧⎨<<⎩
，即2
(1)x -=，
即14a x x x --=-，且方程要有解，1a >，
①若14a <≤，则此时14
x a <<≤，方程为2
640
x x a -++=，2040a =->，方程的解为
3x =±3x =
14x a <<≤；
②若4a >，此时14x <<，2040a =->，即45a <<，方程的解为3(1,4)x =±均符合题意，综上45a <<；
（2）原方程等价于2(32)0x x x m -+-=，则12,x x 为2
320x x m -+-=的两个不同根，所以
94(2)0m ∆=-->，解得1
4
m >-，并且令2()(32)h x x x x m =-+-，
又对任意的12[,]x x x ∈，[()()](1)x f x g x m x +<-恒成立，即[()()]x f x g x mx m +-<-，取1x x =，有
0m ->，即0m <，综上1
0,4
m -<<
由维达定理121220,30x x m x x =->+=>，所以120x x <<，则对任意12(,)x x x ∈，
212()(32)()()0h x x x x m x x x x x =-+-=--<，且max 1()()0h x h x ==，所以当1
04
m -<<时，原不
等式恒成立，综上1
04
m -<<.。