第八章 排队论
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(3)系统灭亡一个的概率n(t )与t有关，而与t无
关; 与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；
——马尔可夫性
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 生灭过程的状态平衡方程
状态 输入率=输出率
0
1 2 … n-1 n …
1P1 0P0
0P0 2P2 (1 1 )P 1
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
1、输入过程
① 顾客总体数，又称顾客源、输入源 ② 顾客到达的形式 ③ 顾客流的概率分布，即单位时间内到达的顾客数， 也可用顾客相继到达的时间间隔描述 这是刻画输入过程的最重要的内容。排队论中常用的分布： 定长分布(D)，这种分布顾客相继到达的时间间隔是确定 的，如产品通过传送带进入包装箱就是定长分布的例子。 泊松流(M), 在一定时间区间内，恰好到达k个顾客的概率 仅与区间长度有关，而与区间起始时刻无关
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
③ 服务时间的分布 •定长分布(D) •负指数分布(M) •K阶爱尔朗分布
7.4、排队论与生灭过程
K阶爱尔朗分布 • 设X1，X2，…，Xk是k个互相独立的，具有相同参数μ的负 指数分布随机变量，则随机变量：X=X1+X2+X3+…+Xk • 服从k阶爱尔朗分布，X的密度函数为：
板存入仓库后，需要时总是从最上面的取出；又如在情报系统中，后 来到达的信息往往更加重要，应首先加以分析和利用。
具有优先权的服务(PS)：如病危的患者应优先治疗，加急的电
报电话应优先处理等
随机服务(SIRO)
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式 从数量上说，服务台有单台和多台之分。从构成 形式上看，有单队单服务台式、单队多服务台并 联式、多队多服务台并联式、单队多服务台串联 式等。
…
服务台
…
服务台
…
顾客离去
图7.4.4 多服务台串联系统
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
• 实际中的排队系统各有不同，但概括起来 都由三个基本部分组成： • 输入过程、 • 排队及排队规则、 • 服务机制
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
1、输入过程 （1）顾客总体数，又称顾客源、输入源。
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的主要数量指标
• 研究排队系统的目的是通过了解系统运行 的状况，对系统进行调整和控制，使系统 处于最优运行状态。因此，首先需要弄清 系统的运行状况。描述一个排队系统运行 状况的主要数量指标有： • Pn：系统中恰好有n个顾客的概率，这n个 顾客包括排队和正在被服务的顾客；在系 统里没有顾客的概率，即所有服务设施空 闲的概率，记为P0。 • Pw顾客到达系统时，得不到及时服务，必 须排队等待服务的概率。
7.4、排队论与生灭过程
排队论起源于20世纪 初的电话通话。909— 1920年丹麦数学家、 电气工程师爱尔朗 （A.K.Erlang）用概率 论方法研究电话通话 问题， 20世纪30年代，费勒 (W.Feller)引进了生灭 过程 20世纪50年代， D.G.Kendall用嵌入马 尔柯夫链方法研究排 4 队论
k (k t )k 1 k t f (t ) e t 0 (k 1)!
• 随机变量X的均值和方差分别为： • E(X)=1/μ，Var(X)=1/kμ2 • 如果顾客连续接受串联的k个服务台的服务，各服务台的服 务时间相互独立，且均服从参数为μ的负指数分布，则顾客 接受k个服务台总共所需的时间就服从k阶爱尔朗分布。
0 0 0 (1 1 ) 1 0 2 (2 2 ) 2 0 3 (3 3 )
0 0 0 0 0 0
wenku.baidu.com
0 0 0 3 0 0 ... 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 m1 0 m m
第七章 连续时间马尔科夫过程
第七章 连续时间马尔科夫过程
7.1、Ito过程
7.2、增量过程 7.3、泊松过程
7.4、排队论与生灭过程
7.4、排队论与生灭过程
排队论（Queuing theory），又称随机服务系统， 是通过研究各种服务系统在排队等待现象中的概 率特性，解决服务系统最优设计与最优控制的一 种理论。
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的主要数量指标
• Ls在系统里的平均顾客数，包括排队的顾客 数和正在被服务的顾客数。 • Lq排队的平均长度，即排队的平均顾客数。 • Wq平均一位顾客花在排队上的时间。 • Ws平均一位顾客在系统里的平均逗留时间 ，它包括排队时间和被服务的时间。 • Little公式，L=λ W。λ 为单位时间内到达的 顾客数。
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论）
1. 生灭过程
生灭过程是一类非常简单具有广泛应用的一类随机过程，很多排队 模型中都假设其状态过程为生灭过程；这样的排队子系统如：M/M/C和 M/M/C/R，我们也可称之为生灭过程的排队系统。在这样的排队系统中， 一个新顾客的到达看作“生”，一个顾客服务完之后离开系统看作是 “死”，设N(t)的任意时刻t排队系统的状态（即排队子系统中的总顾客 数），则对M/M/C/K系统N(t)具有有限个状态0，1，„,k,对M/M/C来说
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的符号表示 • X/Y/Z/A/B/C • 这里的X记顾客相继到达的时间间隔的分布，M表示服从 泊松分布或负指数分布，D表示定长分布，Ek表示爱尔朗 分布，G表示一般相互独立任意分布； • Y记服务时间的分布，类型同X； • Z记服务台数目，取正整数； • A记系统的容量，表示系统中顾客容量限额，若系统中有k 个等待位子(0<k<∞)，当k=0时，说明系统不允许等待，即 为损失制。 k=∞为等待制系统。k为有限整数时，则为混 合制 ； • B记顾客源的数目，可取正整数或∞ ，即有限与无限； • C记排队服务规则，FCFS先到先服务，LCFS后到先服务 ，SIRO随机服务，PR有优先权的服务。
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） Definition 7.2(Birth-death process)
设某系统具有状态集S={0,1,2,…},或S={0,1,2,…,k},
N(t)表示系统在时刻 t (t>=0) 的状态。若在N(t)=n的条件下,随 机过程{N(t),t>=0}满足以下条件:
顾客源可以是有限的，也可以是无限的。如到售票处 购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故 障待修的机床则是有限的
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
1、输入过程 （1）顾客总体数，又称顾客源、输入源。 （2）顾客到达的形式
单个到达，还是成批到达。如大学生到图书馆借书 是单个到达，而购买的材料入库则可以看成成批到 达。
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
2、排队规则
① 排队系统
排队分为有限排队和无限排队两类。前者是指系统的空 间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾客将不能 进入系统；后者是指系统中的顾客数可以是无限的，队 列可以排到无限长，顾客到达后均可进入系统排队或接 受服务。具体又分为：
等待制：即无限排队 损失制：这种系统是指排队空间为零的系统，实际上是不允许排
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
指在某一时刻接受服务的顾客数，有单个服 务和成批服务两种。
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
③ 服务时间的分布 •定长分布(D) 指每个顾客接受服务的时间是一个确定的常数。
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 生灭过程的状态转移图
• 无限状态的：
0 0 1 1 1 2 2 3 3 4 i-1 3 i －2 i-1 i i－1 i i+1 i
2
• m个状态的：
0
0 1 1 2
1
2
2
3 3
3
4
i－1
i i
i
i+1
图7.4.2 多服务台单队系统
7.4、排队论与生灭过程
根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类
(3)多队多服务台 …
顾客到达 服务台
…
服务台
服务台
…
顾客离去
…
图7.4.3 多服务台多队系统
7.4、排队论与生灭过程
根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类
(4)多服务台串联服务
顾客到达
m－2
m-1 m-1
7.4、排队论与生灭过程
根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类
(1)单服务台单队
顾客到达 进入队列
…
服务台
…
顾客离去
接受服务
图7.4.1 单服务台单队系统
7.4、排队论与生灭过程
根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类
(2)多服务台单队
服务台 顾客到达
…
服务台 服务台
…
顾客离去
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的平稳状态
当一个排队服务系统开始运转时，系统状 态很大程度上取决于系统的初始状态和运 转经历的时间，但过了一段时间后，系统 的状态将独立于初始状态及经历的时间， 这时称系统处于平稳状态。由于对系统的 瞬时状态研究分析起来很困难，所以排队 论中主要研究系统处于平稳状态的工作情 况。
队。当顾客到大系统时，如果所有服务台均被占用，则自动离去，并 不再回来，这部分顾客就被损失掉了。
混合制：该系统是等待制和损失制系统的结合，一般是指允许排
队，但又不允许队列无限长下去
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
2、排队规则
② 排队规则 先来先服务(FCFS)
后来先服务(LCFS) ：在许多库存系统中会出现这种情形，如钢
1P1 3P3 (2 2 )P 1
… n 2Pn -2 n Pn (n -1 n -1 )Pn -1
n 1Pn -1 n 1Pn 1 (n n )Pn
…
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 生灭过程的跳跃强度矩阵
0 1 0 Q 0 0 0
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
③ 服务时间的分布 •定长分布(D) •负指数分布(M) 负指数概率分布能较好地描述一些排队系统里服务时间 的概率分布情况。在负指数分布里，服务时间小于或等 于时间长度t的概率： F（t）=P（服务时间≤t）=1-e-μt 这里的μ为单位时间里被服务完的平均顾客数。
(1) N(t+t)转移到“n+1”的概率为Pn,n+1(t )=nt ;
(2) N(t+t)转移到“n-1”的概率为Pn,n-1(t )= nt ); (3) N(t+t)转移到其他状态“S-{n+1,n-1}”的概
率为o(t )(高阶无穷小) ;
则称随机过程{N(t),t>=0}为生灭过程。
N(t)具有可列个状态0，1，2„。
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 若排队系统具有下列性质:
(1) 顾客到达为泊松流，时间间隔服从参
数为n的负指数分布;
(2) 顾客服务时间服从参数为 n的负指
数分布;
则排队系统的随机过程{N(t),t>=0}具有马
尔可夫性质, 为一个生灭过程.
7.4、排队论与生灭过程
排队系统的例子
顾客 1．借书的学生 2．打电话 3．提货者 4．待降落的飞行器 5．储户 6．河水进入水库 7．购票旅客 8．十字路口的汽车 要求的服务 借书 通话 提货 降落 存款、取款 放水、调整水位 购票 通过路口 服务台 图书管理员 交换台 仓库管理员 指挥塔台 储蓄窗口、ATM取款 机 水库管理员 售票窗口 红绿灯或交警
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 生灭过程状态变化的性质 (1) 在无穷小t内,系统或生长1个;或灭亡1个;或既 不生长又不灭亡的概率: 1- n(t ) -n(t ); (2)系统生长一个的概率n(t )与t有关，而与t无
关; 与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；
关; 与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；
——马尔可夫性
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 生灭过程的状态平衡方程
状态 输入率=输出率
0
1 2 … n-1 n …
1P1 0P0
0P0 2P2 (1 1 )P 1
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
1、输入过程
① 顾客总体数，又称顾客源、输入源 ② 顾客到达的形式 ③ 顾客流的概率分布，即单位时间内到达的顾客数， 也可用顾客相继到达的时间间隔描述 这是刻画输入过程的最重要的内容。排队论中常用的分布： 定长分布(D)，这种分布顾客相继到达的时间间隔是确定 的，如产品通过传送带进入包装箱就是定长分布的例子。 泊松流(M), 在一定时间区间内，恰好到达k个顾客的概率 仅与区间长度有关，而与区间起始时刻无关
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
③ 服务时间的分布 •定长分布(D) •负指数分布(M) •K阶爱尔朗分布
7.4、排队论与生灭过程
K阶爱尔朗分布 • 设X1，X2，…，Xk是k个互相独立的，具有相同参数μ的负 指数分布随机变量，则随机变量：X=X1+X2+X3+…+Xk • 服从k阶爱尔朗分布，X的密度函数为：
板存入仓库后，需要时总是从最上面的取出；又如在情报系统中，后 来到达的信息往往更加重要，应首先加以分析和利用。
具有优先权的服务(PS)：如病危的患者应优先治疗，加急的电
报电话应优先处理等
随机服务(SIRO)
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式 从数量上说，服务台有单台和多台之分。从构成 形式上看，有单队单服务台式、单队多服务台并 联式、多队多服务台并联式、单队多服务台串联 式等。
…
服务台
…
服务台
…
顾客离去
图7.4.4 多服务台串联系统
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
• 实际中的排队系统各有不同，但概括起来 都由三个基本部分组成： • 输入过程、 • 排队及排队规则、 • 服务机制
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
1、输入过程 （1）顾客总体数，又称顾客源、输入源。
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的主要数量指标
• 研究排队系统的目的是通过了解系统运行 的状况，对系统进行调整和控制，使系统 处于最优运行状态。因此，首先需要弄清 系统的运行状况。描述一个排队系统运行 状况的主要数量指标有： • Pn：系统中恰好有n个顾客的概率，这n个 顾客包括排队和正在被服务的顾客；在系 统里没有顾客的概率，即所有服务设施空 闲的概率，记为P0。 • Pw顾客到达系统时，得不到及时服务，必 须排队等待服务的概率。
7.4、排队论与生灭过程
排队论起源于20世纪 初的电话通话。909— 1920年丹麦数学家、 电气工程师爱尔朗 （A.K.Erlang）用概率 论方法研究电话通话 问题， 20世纪30年代，费勒 (W.Feller)引进了生灭 过程 20世纪50年代， D.G.Kendall用嵌入马 尔柯夫链方法研究排 4 队论
k (k t )k 1 k t f (t ) e t 0 (k 1)!
• 随机变量X的均值和方差分别为： • E(X)=1/μ，Var(X)=1/kμ2 • 如果顾客连续接受串联的k个服务台的服务，各服务台的服 务时间相互独立，且均服从参数为μ的负指数分布，则顾客 接受k个服务台总共所需的时间就服从k阶爱尔朗分布。
0 0 0 (1 1 ) 1 0 2 (2 2 ) 2 0 3 (3 3 )
0 0 0 0 0 0
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0 0 0 3 0 0 ... 0 0
0 0 0
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第七章 连续时间马尔科夫过程
第七章 连续时间马尔科夫过程
7.1、Ito过程
7.2、增量过程 7.3、泊松过程
7.4、排队论与生灭过程
7.4、排队论与生灭过程
排队论（Queuing theory），又称随机服务系统， 是通过研究各种服务系统在排队等待现象中的概 率特性，解决服务系统最优设计与最优控制的一 种理论。
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的主要数量指标
• Ls在系统里的平均顾客数，包括排队的顾客 数和正在被服务的顾客数。 • Lq排队的平均长度，即排队的平均顾客数。 • Wq平均一位顾客花在排队上的时间。 • Ws平均一位顾客在系统里的平均逗留时间 ，它包括排队时间和被服务的时间。 • Little公式，L=λ W。λ 为单位时间内到达的 顾客数。
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论）
1. 生灭过程
生灭过程是一类非常简单具有广泛应用的一类随机过程，很多排队 模型中都假设其状态过程为生灭过程；这样的排队子系统如：M/M/C和 M/M/C/R，我们也可称之为生灭过程的排队系统。在这样的排队系统中， 一个新顾客的到达看作“生”，一个顾客服务完之后离开系统看作是 “死”，设N(t)的任意时刻t排队系统的状态（即排队子系统中的总顾客 数），则对M/M/C/K系统N(t)具有有限个状态0，1，„,k,对M/M/C来说
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的符号表示 • X/Y/Z/A/B/C • 这里的X记顾客相继到达的时间间隔的分布，M表示服从 泊松分布或负指数分布，D表示定长分布，Ek表示爱尔朗 分布，G表示一般相互独立任意分布； • Y记服务时间的分布，类型同X； • Z记服务台数目，取正整数； • A记系统的容量，表示系统中顾客容量限额，若系统中有k 个等待位子(0<k<∞)，当k=0时，说明系统不允许等待，即 为损失制。 k=∞为等待制系统。k为有限整数时，则为混 合制 ； • B记顾客源的数目，可取正整数或∞ ，即有限与无限； • C记排队服务规则，FCFS先到先服务，LCFS后到先服务 ，SIRO随机服务，PR有优先权的服务。
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） Definition 7.2(Birth-death process)
设某系统具有状态集S={0,1,2,…},或S={0,1,2,…,k},
N(t)表示系统在时刻 t (t>=0) 的状态。若在N(t)=n的条件下,随 机过程{N(t),t>=0}满足以下条件:
顾客源可以是有限的，也可以是无限的。如到售票处 购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故 障待修的机床则是有限的
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
1、输入过程 （1）顾客总体数，又称顾客源、输入源。 （2）顾客到达的形式
单个到达，还是成批到达。如大学生到图书馆借书 是单个到达，而购买的材料入库则可以看成成批到 达。
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
2、排队规则
① 排队系统
排队分为有限排队和无限排队两类。前者是指系统的空 间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾客将不能 进入系统；后者是指系统中的顾客数可以是无限的，队 列可以排到无限长，顾客到达后均可进入系统排队或接 受服务。具体又分为：
等待制：即无限排队 损失制：这种系统是指排队空间为零的系统，实际上是不允许排
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
指在某一时刻接受服务的顾客数，有单个服 务和成批服务两种。
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
③ 服务时间的分布 •定长分布(D) 指每个顾客接受服务的时间是一个确定的常数。
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 生灭过程的状态转移图
• 无限状态的：
0 0 1 1 1 2 2 3 3 4 i-1 3 i －2 i-1 i i－1 i i+1 i
2
• m个状态的：
0
0 1 1 2
1
2
2
3 3
3
4
i－1
i i
i
i+1
图7.4.2 多服务台单队系统
7.4、排队论与生灭过程
根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类
(3)多队多服务台 …
顾客到达 服务台
…
服务台
服务台
…
顾客离去
…
图7.4.3 多服务台多队系统
7.4、排队论与生灭过程
根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类
(4)多服务台串联服务
顾客到达
m－2
m-1 m-1
7.4、排队论与生灭过程
根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类
(1)单服务台单队
顾客到达 进入队列
…
服务台
…
顾客离去
接受服务
图7.4.1 单服务台单队系统
7.4、排队论与生灭过程
根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类
(2)多服务台单队
服务台 顾客到达
…
服务台 服务台
…
顾客离去
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的平稳状态
当一个排队服务系统开始运转时，系统状 态很大程度上取决于系统的初始状态和运 转经历的时间，但过了一段时间后，系统 的状态将独立于初始状态及经历的时间， 这时称系统处于平稳状态。由于对系统的 瞬时状态研究分析起来很困难，所以排队 论中主要研究系统处于平稳状态的工作情 况。
队。当顾客到大系统时，如果所有服务台均被占用，则自动离去，并 不再回来，这部分顾客就被损失掉了。
混合制：该系统是等待制和损失制系统的结合，一般是指允许排
队，但又不允许队列无限长下去
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
2、排队规则
② 排队规则 先来先服务(FCFS)
后来先服务(LCFS) ：在许多库存系统中会出现这种情形，如钢
1P1 3P3 (2 2 )P 1
… n 2Pn -2 n Pn (n -1 n -1 )Pn -1
n 1Pn -1 n 1Pn 1 (n n )Pn
…
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 生灭过程的跳跃强度矩阵
0 1 0 Q 0 0 0
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
③ 服务时间的分布 •定长分布(D) •负指数分布(M) 负指数概率分布能较好地描述一些排队系统里服务时间 的概率分布情况。在负指数分布里，服务时间小于或等 于时间长度t的概率： F（t）=P（服务时间≤t）=1-e-μt 这里的μ为单位时间里被服务完的平均顾客数。
(1) N(t+t)转移到“n+1”的概率为Pn,n+1(t )=nt ;
(2) N(t+t)转移到“n-1”的概率为Pn,n-1(t )= nt ); (3) N(t+t)转移到其他状态“S-{n+1,n-1}”的概
率为o(t )(高阶无穷小) ;
则称随机过程{N(t),t>=0}为生灭过程。
N(t)具有可列个状态0，1，2„。
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 若排队系统具有下列性质:
(1) 顾客到达为泊松流，时间间隔服从参
数为n的负指数分布;
(2) 顾客服务时间服从参数为 n的负指
数分布;
则排队系统的随机过程{N(t),t>=0}具有马
尔可夫性质, 为一个生灭过程.
7.4、排队论与生灭过程
排队系统的例子
顾客 1．借书的学生 2．打电话 3．提货者 4．待降落的飞行器 5．储户 6．河水进入水库 7．购票旅客 8．十字路口的汽车 要求的服务 借书 通话 提货 降落 存款、取款 放水、调整水位 购票 通过路口 服务台 图书管理员 交换台 仓库管理员 指挥塔台 储蓄窗口、ATM取款 机 水库管理员 售票窗口 红绿灯或交警
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论） 生灭过程状态变化的性质 (1) 在无穷小t内,系统或生长1个;或灭亡1个;或既 不生长又不灭亡的概率: 1- n(t ) -n(t ); (2)系统生长一个的概率n(t )与t有关，而与t无
关; 与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；