连续函数的一个性质及其应用

一元连续函数的一个性质及其应用

叶留青 杨秀芹

焦作师范高等专科学校数学系 河南焦作 454001

树立函数观点，突出函数思想，培养函数思维模式，运用函数方法，是初等数学教育教学的重要内容之一。幂平均不等式实质上是幂函数的一个性质，它是否还可以改进，一般一元连续函数是否也具有类似的性质？我们对此问题进行探讨表明，利用所给出的定理证明不等式时，思路通畅，作题规范，步骤简便，使有些证明难度较大的不等式问题变得比较简单，也加深了学生对函数思想和函数方法的运用和理解，为发现不等式，解决不等式问题开辟了一条新途径。

1.关于一元连续函数的一个性质定理

设()m

f x x =，则幂平均不等式可表示为

（1）()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫

≥ ⎪⎝⎭∑∑其中0i x >()1,2,

,i n =，1m ≥ （2）()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

∑∑其中0i x >()1,2,

,i n =，01m <≤

1.1引理 设()f x 是区间Q 上的连续函数，,(1,2,,1)i x Q i n ∈=+，且1231n x x x x +≤≤≤

≤。

用()

n M

表示点()1111,n n i i i i x f x n n ==⎛⎫ ⎪⎝⎭

∑∑（下同），则点()1n M +在以点()n M 和点()()11,n n A x f x ++为端

点的线段()

n M A 上。

证明 因为

()()()1

11

11

111111111111n

n

i i i i n n i i i i n n x f x n n x f x n n x f x ==++==++++∑∑∑∑＝()()

()

()

1

1

1

1

1

1

1

11

111

n

n

i i

i i n n i i

i i n n x f x n x f x n n n x f x ==++==++++∑∑∑∑ ＝

()

()

()

()

111

1

1

11

11

n

n

i

i

i i n

n

i

i

i i n n x f x n x f x n n n x f x ====+++∑∑∑∑＝0

基金项目:全国教育科学十五规划课题(FIB030837)子课题,河南省教育厅课程教学改革项目（C2803） 作者简介：叶留青（1965-），男，河南汝南人， 硕士，焦作师专数学系教授，从事数学课程与教学论研究。

所以点()

n M

，()

1n M

+，A 共线。由1231n x x x x +≤≤≤

≤易知1

111

111n n i i n i i x x x n n ++==≤≤+∑∑，故点

(

)

1n M +在线段()

n M

A 上。

1.2 定理 函数()f x 在区间Q 上，

（1）若()f x '是增函数，则对于,(1,2,)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫

≥ ⎪⎝⎭∑∑

（2）若()f x '是减函数，则对于,(1,2,

)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑

（3）若()f x '是常函数，则对于,(1,2,)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑∑

证明（1）不妨设123n x x x x <<<

<，曲线()f x 上横坐标为(1,2,

)i x i n =的点为I A ,弦1n

A A 与弧1n A A 围成的区域（包括边界）为P （如图）

下面先证明：对于任意自然数(1)N N n ≤≤点()

N M

在P 上。当1N =时，(1)

1M A =,所以点(1)

M 在P 上。假设点N k =时()11k n ≤≤-，点k

M

在P ,已知点1

k

A 在弧1n A A 上，所以线段

1k

k M A 的两端点都在P 上。因为f x 在Q 上是增函数，所以曲线f x 在Q 上呈下凸形状，于

是知线段1k

k M

A 所有点都在P 上。因为1

21k x x x ，所以由引理知点1

k M

在线段

1k

k M A 上，从而知点1

k M

也在P 上。所以对于任意自然数(1)N N n 点N

M

都在P

上。

点1

1

11,n n

n

i i

i i M

x f x n

n

在P 上，而点1

1

1

1,n n

i i i i A

x f

x n

n

在弧1n A A 上，注意到

()n A M x x ,于是()

n A M y y ，即

1

1

11n

n

i

i i i f x f x n

n

.

同理可证明（2）. （

3

）

因

f x 是常

函数，故

可设

f x kx b

，于是

1

1

1

1

1111()

n

n

n

n

i

i

i

i i i i i f x kx b k x b

f x n

n

n

n

1A

2.定理应用

一元连续函数的图像或凸或凹或直总是普遍存在的，而高中数学新编教材增加导数内容后，为判断一元连续函数的凸凹性提供了有力工具，这就为运用定理证明不等式，发现不等式，解决不等式问题开辟了新途径。 2.1改进幂平均不等式

长期以来，在应用幂平均不等式时，只考虑幂指数1m 或01m

，缺失了0m 的情况，如文〔1〕和文〔2〕。事实上，当0m

时，

幂函数m f x x 的导数1m f x

mx 在0,

上是增函数，由定理知，对于0,,1,2,

,i

x i

n ，有

1

1

1

1m

n n

m

i i

i i x x n

n

0m

许多与幂平均不等式有关的命题也应改进。例如文〔2〕给出的经多次推广而得到的一个不

等式：若：,,,n x y z R ,且2,1m x y z

则

2

3(1)(1)(1)31

m

m

m

n m n n n n

x y z y y z z x x 中n 和m 的取值范围应改进为n

R 或1n ；2m 或0m 。顺便说明一下，该不等式还可以

推广为

若：1,2,,i

x R i

N ，n

R 或1n ；2m

或0m ，

1

n

i

i x P ，则

12

12

223311(1)

(1)

(1)

m

m

m m n m

N

n

n

n n n

x x x p N x x x x x x N P ，因证明思路与文〔2〕中对原不等式的

证明类同，故从略。 2.2导出几个重要不等式

由于一元连续函数的导数的单调性与函数图像的凸凹性是等价的，因而根据几个常见函数图像的凹凸性，即可得出下面几个重要不等式

1. 弦平均不等式