2019-2020年北京市西城区八年级上册期末数学试卷有答案

北京市西城区第一学期期末试卷
八年级数学
试卷满分： 100 分，考试时间： 100 分钟
、选择题 （本题共 30 分，每小题 3分）
面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1.
下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
2. 2015 年 9 月 14 日，意大利物理学家马尔科 ?德拉戈收到自激光干涉引力波天文台（ LIGO ）的系统自动
提示邮件，一股宇宙深处的引力波到达地球，在位于美国华盛顿和
烈文斯顿的两个 了 4 10-18
米的空间畸变（如图中的引力波信号图像所示） 也被称作“时空中的涟漪” ，人类第一次探测到了引力波的存 在，“天空和以前不同了⋯⋯你也听得到了
.”这次引力波的
信号显著性极其大， 探测结果只有三百五十万分之一的误差 三百五十万分之一约为 0.000 000 285 7.将 0.000 000 285 7用科学
记数法表示应为（
）
A ． 2.857 10-8
B. 2.857 10-7
C . 2.857 10-6
D. 0.285 7 10
-6
3. 以下图形中，不是．．轴对称图形的是（
D. 9a 2
LIGO 探测器上产生
4. 如图，在△ ABC 中，∠ B=∠ C=60 ，点D 在AB 边上，
AC 边交于点E. 如果AD= 1，BC= 6，那么CE 等于（
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
）.
5.下列各式正确的是( )
6 2 12 1
A. x x x = 12
12
2 3 3 2 C. (xy )
x y
3
x
2
y
6.化简x x 11
正确的是（
DE⊥AB，
1
3 x
小刘同学 小赵同学
那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ） .
A. SAS ，HL
B. HL ，SAS
C. SAS ，AAS
D. AAS ，HL
二、填空题 （本题共 18 分，每小题 3分）
11. （ π-3） 0
= ____ .
12. 如果 x 3 在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ________________ .
13. 在平面直角坐标系 Oy 中，点 （ 5,1）关于 y 轴对称的点的坐标为 ___________ .
14. 中国新闻网报道： 2022 年北京冬奥会的配套设施 —— “京张高铁”（北京至张家口高速铁路）将于
22
x 2 1 (x 1)2
1 A. x 1 x 1 x 1
2
B.
x 2
1 (x 1)
x1
2
x1 x1
2
x 2
1 (x 1)(x 1) C. x 1 x 1 x 1
D.
x
2
1
x1
(x 1)(x 1) 1
x 1 x 1
7. 在△
ABD 与△ ACD 中，∠ BAD=∠CAD ，且
B 点，
C 点在 A
D 边两侧，则不．一．定．能使△ ABD 和△ ACD
全等的条件是（
）.
A. BD=CD
B. ∠ B=∠C
C. AB=AC
D. ∠BDA=∠CDA
8.下列判断错误的是（
）.
2 A. 当 a ≠ 0 时，分式
有意义
a
B. 当 a 3 时，分式
a 2
3
有意义
a
2
9
C. 当 a
1
时，分式
2a a
+1的值为
2
a
2a 1
D. 当 a 1 时，分式 2a 1
的值为 1
a
9. 如图，AD 是△ ABC 的角平分线， ∠ C=20 ，AB BD AC ， 将△ ABD 沿 AD 所在直线翻折，点 B 在 AC 边上的落点记为 点 E ，那
么∠ AED 等于（
） .
A. 80
B.60
C. 40
D. 30
10. 在课堂上，张老师布置了一道画图题：
画一个 Rt △ ABC ，使∠ B=90°，它的两条边分别等于两条已知线
小刘和小赵同学先画出了∠ MBN =90°之后，后续画图的主要过程分别如下图所
2019 年底全线通车，届时，北京至张家口高铁将实现 1 小时直达. 目前，北京至张家口的列车里程约200 千米，列车的平均时速为v 千米/ 时，那么北京至张家口“京张高铁”运行的时间比现在列车运行的时间少 _____________ 小时.（用含v 的式子表示）
15.如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1 个单位长度的等边三角形组成）其中已
经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只．涂．黑．一．个．小三角形，
使它与阴影部分合起所构成的完整图形是一个轴对称图形.（1）画出其中
一种涂色方式并画出此时的对称轴；（2）满足题意的涂色方式有______ 种.
16.对于实数p，我们规定：用<p>表示不小于p 的最小整数，例如：<4>=4 ，< 3>=2. 现对72 进行如下操
作：
（1）对36 只需进行_______ 次操作后变为2；
（2）只需进行3 次操作后变为2的所有正整数中，最大的是_____________ .
三、解答题（本题共52 分）
17.（本题6 分，每小题3 分）分解因式：（1） a3b 5a2b2；解：
18.（本题6 分）
化简并求值：a222 a 1 a 4，其中 a 1. a2 2a a2 4a 4 a 2 19.（本题6 分）2） 3a2 12a 12. 解：
解方
程：
2 1 7
2
x 1 x 1 x 1
解：
20.（本题6 分）小华在学习二次根式时遇到如下计算题，他是这样做的：
请你先把他在第一步中出现的其它错误圈画出（不必改正），再．完．成．此．题．的．解．答．过．程．解：
21.（本题6 分）
如图，△ PAO和△ PBQ 是等边三角形，连接AB，OQ. 求证：AB =OQ.
证明：
22.（本题6 分）
阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n 时， m2n ≠m n2.可是我见到有这样一个神奇的等式：
（a）2 b a=a（b a）2（其中a，b为任意实数，且b≠0）.你相信它成立吗？”
b b b b
小雨：“我可以先给a，b 取几组特殊值验证一下看看.”
完成下列任务：
1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b 的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立（在相应方框内打勾）；
① 当a= ，b= 时，等式（□成立；□不成立）
② 当a= ，b= 时，等式（□成立；□不成立）
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明（a）2 b a=a（b a）2是否成立.
b b b b
解：
23.（本题5 分）
阅读下列材料：
为了了解学校初二年级学生的阅读情况，小廉所在实践小组的同学们设计了相应的调查问卷，他们共发放问卷300 张，收回有效问卷290 张，并利用统计表整理了每一个问题的数据，绘制了统计图.他们的调查问卷中，有关“阅读载体的选择”和“阅读过书的类型”两个问题的统计情况如下表所示.
表1 ：
1）如图 2，在△ ABC 中， AB=3，AC=4，BC=5，EF 垂直且平分
BC ，点 P 在直线 EF 上，直接写出 PA+PB 的最小值，回答
A.
历史传记类
B.社会哲学类
C. 科普科技 类
D.文学名著 类
236 35 185 290 E.报刊杂志类
F.网络小说类
G.漫画类 H.其他 216
85
196
160
根据以上材料解答下列问题：
1）根据表 1 中的统计数据，选择合适的统计图对其进行数据的描述； 2）通过表 2 中统计出的数据你能得到哪些结论？请你说出其中的一条即可
解：（1） 24. 先阅读以下材料，再从 24.1、24.2两题中 任．选．一．题．作答
（若．两．题．都．做．以．第．一．题．为．准．）． .24.1题 5分（此
时卷面满分 100 分）， 24.2 题 7 分（卷面总分不超过 100 分）
请先在以下相应方框内打勾，再解答相应题目
24.1 解决下列两个问题：
2）
PA+PB 取最小值时点P 的位置并在．图．中．标．出
解：PA+PB 的最小值为，PA+PB 取最小值时点P 的
位置是；
（2）如图3，点M，N 分别在直线AB两侧，在直线AB 上找一点P，使得 MPB NPB .要求画图，并简要叙述确定点P 位
置的步骤.（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明）
解：确定点P 位置的简要步骤：
.
24.2 借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作．图．．．：已知三条线段h，m，c，求作△ ABC，使其BC 边上的高AH=h ，中线AD=m，AB= c.
（1）请先画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现目标图的大致作图步骤）；（4 分）解：
草图（目标示意图）区
2）完成尺规作图（不．要．求．写．作．法．．，作出一个满足条件的三角形即可）. （3 分）
作图区
25.（本题6 分）
在等边△ ABC 中，点D 在BC 边上，点E在AC 的延长线上，DE =DA （如图1）
（1）求证：∠ BAD=∠EDC；
（2）点E 关于直线BC 的对称点为M，连接DM，AM.
①依题意将图2 补全；
②小姚通过观察、实验提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有DA=AM .小姚把这个猜想与同学们进行交
流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1 要证明DA=AM ，只需证△ADM 是等边三角形；想法2：连接CM ，只需证明△ ABD≌△ ACM 即
可. 请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM （一种方法即可）
1）证明：
2）①补全图形
图1
②证明：
北京市西城区第一学期期末试卷
八年级数学附加题
试卷满分： 20 分
一、填空题（本题8 分）
1.将一组数 3， 6，3，2 3， 15 ，⋯， 87 ，3 10 按下面的方式进行排列：
3, 6, 3, 2 3, 15,
3 2, 21, 2 6, 3 3, 30,
按这样的方式进行下去，将 15所在的位置记为（1,5）， 2 6所在的位置记为（2,3），那么
（1） 30 所在的位置应记为；
（2）在（4,1）的位置上的数是， 6 2 所在的位置应记为；
（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为.
二、操作题（本题4 分）
2.条件：图①和图②是由边长都为1 个单位长度的小正方形组成的网格，其中有三个图形：组块A，组块B
和组块C.
任务：在图②的正方形网格中，用这三个组块拼出一个轴对称图形（组块C 的位置已经画好），要求组块的所有顶点都在格点上，并且3 个组块中，每两．．个．组．块．要有公共的顶点或边.请画出组块A 和组块
B 的位置（用阴影部分表示，并标注字母）
说明：只画一种即可，组块A ，组块B 可在网格中平移，翻折或旋转.
三、解答题（本题8 分）
3.在平面直角坐标系Oy 中，点A 的坐标为（ 4,0），点B 的坐标为（0,b），将线
段
90 得到线段BC，连接AC.
（1）当点B 在y 轴的正半轴上时，在图1 中画出△ ABC 并求点C 的坐标（用含
（2）画图探究：当点B 在y 轴上运动且满足2≤b≤5
时，相应的点C 的运动路径形成什么图形.
①在图2 中画出该图形；
②描述该图形的特征；
③利用图3 简要证明以上结论解：（1）
2）①画图.
②该图形的特征是
③简要证明过程：
图3
BA绕点B 顺时针旋转
b 的式子表示）；
图1
图2
北京市西城区第一学期期末试卷
八年级数学参考答案及评分标准
30 3
18 3
200
11. 1. 12. ≥3. 13. (5,1). 14. ( 1).
v
15. （1）见图1（涂色1 分，画对称轴1 分）；（2）3（1分）
图1
16.（1）3（2 分）；（2）256（1 分）.
三、解答题（本题共52 分）
17.(本题6 分，每小题3 分)
解：( 1) a3b 5a2b2 a2b(a 5b)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
2
(2) 3a2 12a 12
3(a2 4a 4) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2
3(a 2)2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
18.(本题6 分)
a 2 a 1 a 4
a2 2a a2 4a 4 a 2
a 2 a 1 a 2
a(a 2) (a 2)2 a 4
(a 2)(a 2) a(a 1)
a(a 2)(a 4)
a4 a(a 2)(a 4)
1
a1
a2
a(a 4) (a 2)(a 4) 3分
19. 解： 当 a 1 时， 本题 6 分） 方程两边同乘 去括号，得 11 2 2
1
a 2 2a ( 1)2
2 ( 1)
(x 1)(x 1)，得 2(x 1) (x 1) 7. 2x 2 x 1 7. 移项，合并，得 3x 6. 系数化 1，得 x 2.
经检验， x 2 是原方程的根 . 所以原方程的解为 x 2.
2
6分
2分 3分 4分 5分 6分
2分
4分
5分
4分 5分
∴∠OPA=∠QPB. ∴ OPA 3 QPB
3.
∴ ∠1=∠2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 在△PAB 和△POQ 中，
PA PO,
1 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 PB PQ,
∴△PAB ≌△POQ. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 ∴ AB=OQ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
22. （本题 6 分）
（1）例如：
2 2 1 2 12
①
当 a= 2 ，b= 3 时，等式 ( )2
( )2
成立；
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
3 3 3 3
23. （本题 5 分） 解：（ 1）例如：（画出一种即可）
4分
图3
1分 32 2 3 2 2 ② 当 a= 3 ， b= 5 时，等式 ( )2
( )2
成立 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2）解： a
2
(a b
)2
ba b
2 2 2 2
a 2
b a a 2 b(b a) a 2
ab b 2
b
2
b b
2
b
2
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 2 2 2
a b a 2 a b 2ab a a ab b ( ) 2 2
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ b b b b 2 b 2
所以等式 (b
a )
2 b
b
a =
b a
( b
b
a )2
成立. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
3分
5分
6分
2）先画点 M 关于直线 AB 的对称点 M ，射线 NM
与直线 AB 的交点即为点 P. （见图 3）
5分
24.2（本题 7 分）
∴ ∠BAD=∠EDC.
1）解：草图如图 4. 1分
先由长为 h ， m 的两条线段作 Rt △ADH ，再由线段 c 作边 AB 确定点 B ， 再倍长
BD 确定点 C.
4分
∵ BAD BAC 1， EDC 2 E ， 2）①补全图形 .（见图 7）
3分
②法 1： 证明：如图 7. 由（ 1）已得 3 4.
注：画图 1 分，回答 1 分 .
2分
∵点E与点M关于直线BC对称，
可得4 5，DE=DM .
∵ DE=DA ，
∴ 3 5，DA=DM .
∵ ∠ADC 是△ABD 的外角，
∴ ADC B 3 60 3.
又∵ ADC ADM 5 ，
∴ ADM 60 .
∴ △ADM 错误！未找到引用源。

是等边三角
形
∴ DA=AM . 6分法2：
证明：如图8，在AB 边上截取BF=BD ，连接CM，DF.
可得△BDF 是等边三角形，AFD DCE 120 .
∵ DA= DE ，3 4
∴ △ADF
≌△DEC.
∴ DF=EC .
∵ 点E 与点M 关于直线BC 对称，可得
4 5，CE=CM ，
DCM DCE 120 .
∴ BD= DF=EC= MC ，ACM 60 .
B ACM .
∵ △ABC 是等边三角
形，
∴ AB AC.
∴ △ABD
≌△ACM.
∴ DA=AM . 6分
北京市西城区第一学期期末试卷
八年级数学附加题参考答案及评分标准
、填空题（本题8 分）
1.解：
(1)(2,5) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
(2)4 3，(5,4) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(3) (6,2) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
、操作题（本题4 分）
2.解：如图所示，任画一种即可
三、解答题（本题8 分）
3.解：（1）如图1，作CD⊥y 轴于点D.
由题意可得AB=BC ， ABC 90 ，
∴DBC OBA 90 .
∵AOB BDC 90 ，
∴OAB OBA 90 .
∴ OAB DBC .
△OAB≌△ DBC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
OB=DC ，OA=DB . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∵点A的坐标为 ( 4,0) ，点B的坐标为 (0,b) ，点B在y 轴的正半轴上，
∴ OA 4 ， OB b .
∴ OD OB BD b 4，CD OB b. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
由题意知点C 在第二象限，
4分
∴ 点C 的坐标为 ( b ,b+4) .5分
( 2)①画图见图 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
② 线段 C 1C 3 ，其中 C 1， C 3两点的坐标分别为 C 1(2,2) ，C 3( 5,9) ，线段 C 1C 3所 在直线与 y 轴所夹的锐角为 45 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
③ 简要证明过程：如图 3，设点 G 的坐标为 G(0,4) ，点 H 的坐标为 H (4,0) ，可 得∠OGH =45 .
任取满足题意的点 B(0,b)(其中 2≤b ≤5)，作出相应的线段 BC 和线段 AC ，作 CD ⊥y 轴于点 D. 由点 G(0,4) 可
得 OG 4 OA .
同( 1)可得 OB=CD ，AO=BD .
所以 CD OB OD BD OD OA OD OG DG .
由CD ⊥y 轴于点 D 可得∠DGC=45 .
所以无论点 B 在y 轴上如何运动， 相应的点 C 在运动时总落在直线 GH 上.而点 B 在 y 轴上运动满足 2 ≤b ≤5 时，此时点 C 运动的路径是这条直线上的一部分，是线段 C 1C 3 (见图 2)，其中与点 B 1(0, 2) 对应 的端点为 C 1(2,2) ；与点 B 3(0,5) 对应的端点为 C 3( 5,9)
2
a 2
2a 图2
图3 8分。