2018年高考数学全部试题及答案word版

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2018年普通高等学校招生全国1卷统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--,则A
B =
A ．{0,2}
B ．{1,2}
C ．{0}
D ．{2,1,0,1,2}--
2．设1i
2i 1i
z -=
++，则||z =
A ．0
B ．
12
C ．1
D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆22
214
x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为
A ．1
3
B ．
12
C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．
B ．12π
C ．
D ．10π
6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x =
7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．
31
44
AB AC -
B ．
13
44
AB AC -
C ．
31
44
AB AC + D ．
13
44
AB AC + 8．已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A
．
B
． C ．3
D ．2
10．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为
A ．8
B
．C
．
D
．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2
cos23
α=
，则||a b -=
A ．15
B
C
D ．1
12．设函数2,0,
()1,
0,x x f x x -⎧=⎨>⎩≤ 则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是
A ．(,1]-∞-
B ．(0,)+∞
C ．(1,0)-
D ．(,0)-∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数22()log ()f x x a =+. 若(3)1f =，则a = .
14．若x ，y 满足约束条件220,10,0,x y x y y --⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≤≥≤ 则32z x y =+的最大值为 .
15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB = .
16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，
2228b c a +-=，则ABC △的面积为 .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+. 设n
n a b n
=. （1）求1b ，2b ，3b ；
（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式. 18．（12分）
如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒. 以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥.
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2
3
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积. 19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.353m 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）
20．（12分）
设抛物线22C y x =：，点(2,0)A ，(2,0)B -，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点. （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠. 21．（12分）
已知函数()e ln 1x f x a x =--.
（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；
（2）证明：当1
e a ≥时，()0
f x ≥.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xO y 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知()|1||1|f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
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文科数学试题参考答案
一、选择题 1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D
7．A
8．B
9．B
10．C
11．B
12．D
二、填空题
13．7- 14．6
15．16
三、解答题 17．解：
（1）由条件可得12(1)
n n n a a n
++=
. 将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =. 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =. 从而11b =，22b =，34b =.
（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得121n n
a a n n +=
+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得12n n
a n
-=，所以12n n a n -=⋅. 18．解：
（1）由已知可得，90BAC ∠=︒，BA AC ⊥. 又BA AD ⊥，所以AB ⊥平面ACD .
又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .
（2）由已知可得，3DC CM AB ===，DA =
又2
3
BP DQ DA ==
，所以BP =作QE AC ⊥，垂足为E ，则QE
1
3
DC . 由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1QE =. 因此，三棱锥Q ABP -的体积为
111
13451332Q ABP ABP V QE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△S .
19．解：
（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.353m 的频率为
0.20.110.1
2.60.1
20.05
0.48????，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.353m 的概率的估计值为0.48. （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
11
(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.50
x =
??????? 该家庭使用了节水龙
头后50天日用水量的平均数为
21
(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.50
x =
??????
估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-?.
20．解：
（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为(2,2)或(2,2)-.
所以直线BM 的方程为112y x =+或1
12
y x =--.
（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以ABM ABN ∠=∠.
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则120,0x x >>. 由2(2),2y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2240ky y k --=，可知12122
,4y y y y k +==-.
直线BM ，BN 的斜率之和为
121222BM BN y y k k x x +=
+++211212122()
(2)(2)
x y x y y y x x +++=++. ①
将112y x k =
+，222y
x k =+及1212,y y y y +的表达式代入①式分子，可得 121221121224()2()y y k y y x y x y y y k +++++=
88
0k
-+==.
所以0BM BN k k +=，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. 综上，ABM ABN ∠=∠.
21．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()e x f x a x
'=-.
由题设知，(2)0f '=，所以2
12e a =.
从而21()e ln 12e x f x x =
--，211
()e 2e x f x x
'=-.
当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>. 所以()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增.
（2）当1
e a ≥时，e ()ln 1e
x f x x --≥.
设e ()ln 1e x g x x =--，则e 1
()e x g x x
'=-.
当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 所以1x =是()g x 的最小值点.
故当0x >时，()(1)0g x g =≥.
因此，当1
e a ≥时，()0
f x ≥.
22．解：
（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为
22(1)4x y ++=. （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆.
由题设知，
1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线. 记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l . 由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.
当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2
2=，故4
3k =-或0k =. 经检验，当
0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点.
当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，
2=，故0k =或4
3
k =
. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =
时，2l 与2C 没有公共点. 综上，所求1C 的方程为4
||23y x =-+.
23．解：
（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,
11,2, 1.
x f x x x x --⎧⎪
=-<<⎨⎪⎩
≤≥ 故不等式()1f x >的解集为1
{|}2x x >.
（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立.
若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤. 综上，a 的取值范围为(0,2].
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理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1i
2i 1i
z -=
++，则||z =
A ．0
B ．
12
C ．1
D 2．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R ð A ．{|12}x x -<< B ．{|12}x x -≤≤ C ．{|1}{|2}x x x x <->U
D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x =
6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu r
A ．3144A
B A
C -uu u r uu u r B ．1344AB AC -uu
u r uu u r
C ．3144AB AC +uu u r uu u r
D ．1344
AB AC +uu
u r uu u r
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧
面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A
． B
． C ．3
D ．2
8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2
3
的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?uuu r uuu r
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
9．已知函数e ,0,
()ln ,0,
x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是
A ．[1,0)-
B ．[0,)+∞
C ．[1,)-+∞
D ．[1,)+∞
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个
半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则
A ．12p p =
B ．13p p =
C ．23p p =
D ．123p p p =+
11．已知双曲线2
213
x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，
N . 若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．
32
B ．3 C
． D ．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A
B
C
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件220,10,0,x y x y y --⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≤≥≤ 则32z x y =+的最大值为 .
14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和. 若21n n S a =+，则6S = .
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用
数字填写答案）
16．已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是 .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =
.
（1）求cos ADB ∠； （2
）若DC =，求BC .
18．（12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别
为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位
置，且PF BF ⊥.
（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 19．（12分）
设椭圆2
212
x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0).
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立.
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p .
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值. 已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分）
已知函数1
()ln f x x a x x
=-+.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：
1212
()()
2f x f x a x x -<--.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xO y 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知()|1||1|f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
绝密★启用前
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理科数学试题参考答案
一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B
8．D
9．C
10．A
11．B
12．A
二、填空题 13．6 14．63-
15．16
16
．
三、解答题 17．解：
（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠. 由题设知，
52
,sin 45sin ADB
=︒∠
所以sin ADB ∠=
由题设知，90ADB ∠<︒，
所以cos ADB ∠= （2）由题设及（1
）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=.
在BCD △中，由余弦定理得
2222cos 2582525.
BC BD DC BD DC BDC
=+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=
所以5BC =.
18．解：
（1）由已知可得，BF PF ⊥，BF EF ⊥，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .
（2）作P H E F ⊥，
垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .
以H 为坐标原点，
HF uuu r
的方向为y 轴正方向，||BF uu u r
为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.
所以PE . 又1PF =，
由（1）可得，DE PE ⊥. 又2DP =，
1DE =，2EF =，故PE PF ⊥.
可得PH =
3
2
EH =.
则(0,0,0)H
，P , 3
(1,,0)2
D --
，3(1,2DP =uu u r
，HP =uu u r 为平面ABFD 的法向量.
设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则
3sin ||||||
HP DP HP DP θ⋅=uu u r uu u r
uu u r uu u r 所以DP 与平面ABFD
.
19．解：
（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =. 由已知可得，点A
的坐标为
或(1,. 所以AM
的方程为y =
y =.
（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y
，则1x <
，2x 直线MA ，MB 的斜率之和为12
1222
MA MB y y k k x x +=
+--. 由11y kx k =-，22y kx k =-得
12121223()4(2)(2)
MA MB kx x k x x k
k k x x -+++=
--.
将(1)y k x =-代入2
212
x y +=得
2222(21)4220k x k x k +-+-=.
所以，22121222
422
,2121
k k x x x x k k -+==++. 则33312122
44128423()4021
k k k k k
kx x k x x k k --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.
20．解：
（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218
20()C (1)f p p p =-. 因此 218217217
2020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--.
令()0f p '=，得0.1p =. 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈
时，()0f p '<.所以()f p 的最大值点为00.1p =.
（2）由（1）知，0.1p =. （ⅰ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，20225X Y =⨯+，即
4025X Y =+.
所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于400EX >，故应该对余下的产品作检验.
21．解：
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222
11
()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.
（ⅰ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.
（ⅱ）若2a >，令()0f x '=
得，x =
x =
当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；
当x ∈时，()0f x '>. 所以()f x
在
，)+∞
单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.
由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于 121212212121212
22
()()ln ln ln ln 2ln 1
1221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以
1212()()2f x f x a x x -<--等价于222
1
2ln 0x x x -+<.
设函数1
()2ln g x x x x
=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <. 所以2221
2ln x x x -+<0，即1212
()()2f x f x a x x -<--.
22．解：
（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为
22(1)4x y ++=. （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆.
由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线. 记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l . 由于
B 在圆2
C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与
2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.
当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2
2=，故4
3k =-或0k =. 经检验，当
0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =-
时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点. 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，
2=，故0k =或4
3
k =
. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =
时，2l 与2C 没有公共点. 综上，所求1C 的方程为4
||23y x =-+.
23．解：
（1）当1
a=时，()|1||1|
f x x x
=+--，即
2,1, ()2,11,
2, 1.
x
f x x x
x
--
⎧
⎪
=-<<
⎨
⎪
⎩
≤
≥
故不等式()1
f x>的解集为
1 {|}
2 x x>.
（2）当(0,1)
x∈时|1||1|
x ax x
+-->成立等价于当(0,1)
x∈时|1|1
ax-<成立. 若0
a≤，则当(0,1)
x∈时|1|1
ax-≥；
若0
a>，|1|1
ax-<的解集为
2
0x
a
<<，所以
2
1
a
≥，故02
a
<≤.
综上，a的取值范围为(0,2].
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国卷2统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()i 23i += A ．32i -
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -+
2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A
B =
A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
3．函数()2
e e x x
f x x
--=的图像大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3
6．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y =
7．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =
A ．B
C D ．8．为计算111
11
123499100
S =-+-+
+
-
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
A．1
i i=+B．2
i i
=+
C．3
i i=+D．4
i i
=+
9．在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，E为棱
1
CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为
A B C D
10．若()cos sin
f x x x
=-在[0,]a是减函数，则a的最大值是
A．
π
4
B．
π
2
C．
3π
4
D．π
11．已知
1
F，
2
F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若
12
PF PF
⊥，且
21
60
PF F
∠=︒，则C的离心率为A．1B．2C D1
-
12．已知()
f x是定义域为(,)
-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)
f x f x
-=+．若(1)2
f=，则(1)(2)(3)
f f f
++(50)
f
++= A．50
-B．0 C．2 D．50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2ln
y x
=在点(1,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y满足约束条件
250,
230,
50,
x y
x y
x
+-
⎧
⎪
-+
⎨
⎪-
⎩
≥
≥
≤
则z x y
=+的最大值为__________．
15．已知
5π1
tan()
45
α-=，则tanα=__________．
16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30︒，若SAB
△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
记
n
S为等差数列{}
n
a的前n项和，已知
1
7
a=-，
3
15
S=-．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并求n S 的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
20．（12分） 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
21．（12分）
已知函数()()
321
13
f x x a x x =-++．
（1）若3a =，求()f x 的单调区间；
（2）证明：()
f x只有一个零点．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2cos,
4sin
xθ
yθ
=
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数），直线l的参数方程为
1cos,
2sin
x tα
y tα
=+
⎧
⎨
=+
⎩
（t为
参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数()5|||2|
f x x a x
=-+--．
（1）当1
a=时，求不等式()0
f x≥的解集；
（2）若()1
f x≤，求a的取值范围．
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文科数学试题参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C 二、填空题
13．y=2x–2 14．9 15．3
2
16．8π
三、解答题
17．解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．
（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．
18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y$=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y$ =99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网
19．解：
（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP
=． 连结OB ．因为AB =BC
AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC =2．
由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．
（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC =12AC =2，CM =23BC
，∠ACB =45°． 所以OM
，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠
．
所以点C 到平面POM
． 20．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由2(1)
4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k
++=． 所以2122
44
(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k +=，解得k =–1（舍去）
，k =1． 因此l 的方程为y =x –1．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则
0022
000
5(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，
解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，
因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．
21．解：（1）当a =3时，f （x ）=321
3333
x x x ---，f ′（x ）=263x x --．
令f ′（x ）=0解得x
=3-x
=3+
当x ∈（–
∞，3-
3++∞）时，f ′（x ）>0； 当x
∈（3-
3+ f ′（x ）<0．
故f （x ）在（–
∞，3-
3++
∞）单调递增，在（3-
3+
（2）由于2
10x x ++>，所以()0f x =等价于32301
x
a x x -=++．
设()g x =3
231
x
a x x -++，则g ′（x ）=
2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．学·科网
又f （3a –1）=2
2111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103
>，故f （x ）有一个零点．
综上，f （x ）只有一个零点．
22．解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +
=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．
23．解：
（1）当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国2卷统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．
12i
12i
+=- A ．43i 55
--
B ．43i 55
-+
C ．34i 55
--
D ．34i 55
-+
2．已知集合(){}
2
23A x y x
y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
3．函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5
．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
A ．y =
B ．y =
C ．y x =
D ．y =
6．在ABC △中，cos
2C =1BC =，5AC =，则AB =
A ．
B
C
D ．
7．为计算11111
123499100
S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，
则在空白
框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德
巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如
30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其
和等于30
的概率是 A ．
112
B ．
114
C ．
1
15
D ．
118
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15
B
C
D
10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是
A ．
π4
B ．
π2
C ．
3π4
D ．π
11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
12．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．
23
B ．
12
C ．13
D ．
14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，，， 则z x y =+的最大值为__________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，
SB 所成角的余弦值为7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若S A B △
的面积为则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。

第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，
，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，
，…，）建立模型②：ˆ9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数2()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，
（θ为参数），直线l 的参数方程为
1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨
=+⎩
，
（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
C
2018年普通高等学校招生全国2
卷统一考试
理科数学参考答案
一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B
8.C
9.C
10.A
11.C
12.D
二、填空题
13.2y x =
14.9
15.1
2
-
16.
三、解答题 17. (12分)
解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-. 由17a =-得d =2.
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--. 所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为−16. 18.(12分)
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ30.413.519226.1y
=-+⨯=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ9917.59256.5y
=+⨯=(亿元). （2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明
利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型
ˆ9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.KS5U
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)
解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2
(1),
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.
2
16160k ∆=+>，故1222
24
k
x k x ++=. 所以122244
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.
由题设知22
44
8k k
+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=. 20.(12分)
解：（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥
，且OP =连结OB .
因为2
AB BC AC ==
，所以ABC △为等腰直角三角形，。