第一章行列式

(b1a2 a1b2 ) a22 3b22
3 Q( 3)
综上所述，我们有 Q( 3) 是数域。
（2）类似可证明 Q( p ) 是数域，这儿 p 是一个素数。
（3）下面证明：若 p, q 为互异素数，则 Q( p ) Q( q ) 。
（反证法）如果 Q( p) Q( q) ，则 a,b Q p a b q ，从而有
2c
abc bca
2c
abc 2b
cab
提取公因子
11
1
(a b c) 2b b c a 2b
2c 2c c a b
1
R (2b)R
2
1 (a b c) 0
R (2c)R
3
1
0
1 b c a
0
1 0 = (a b c)3 。 c a b
72222
15 2 2 2 2
anjn
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(1) ( j1 j2 jn ) =0。
j1 j2 jn
所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列
任给两个复数 a1 b1 3, a2 b2 3 Q( 3) ，我们有
(a1 b1 3) (a2 b2 3) (a1 a2 ) (b1 b2 ) 3
(a1 b1 3) (a2 b2 3) (a1 a2 ) (b1 b2 ) 3
。
(a1 b1 3)(a2 b2 3) (a1a2 3b1b2 ) (b1a2 a1b2 ) 3
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第一章 行列式
习题 1.1
1. 证明：（1）首先证明 Q( Leabharlann Baidu) 是数域。
因为 Q Q( 3) ，所以 Q( 3) 中至少含有两个复数。
（2） Q( 1) 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。
而 ( 1) C( 1) 复数域。
（3） Z ( 1) 不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如 1 Z ( 1) 。 2
3. 证明：（1）因为 F, K 都是数域，所以 Q F,Q K ，从而 Q F K 。故 F K 含
但是 6 2 3 F K 。
习题 1.2
2. 解：项 a23a31a42a56a14a65 的符号为 (1) (234516) (312645)
习题 1.3
11 11
1．证明：根据行列式的定义
11
1
1 =
(1) ( j1 j2
j1 j2 jn
1
a a jn ) 1 j1 2 j2
a 1 ij
产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的 n 阶排列，故可以得到全体 n 阶排列
中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。
1998 1999 2000
1998 1999 1
1998 1 1
C C
C C
2．解 (1) 2001 2002 2003 3 2 2001 2002 1 2 1 2001 1 1 = 0 ；
2004 2005 2006
2004 2005 1
2004 1 1
1 0 0 1
1 0 00
022
（2）
0 3 3 400
0
C C
3
2
0
2
0 0 下三角形 1 268=96 ；
0 C C 0 3 6 0
4
1
4
4 0 08
1110
11 10 11 10
11 1 0
1
（3）
1
0
1
R R
2
1
0
0
1
1
R 24
0
1
1
1
R R
3
2
0
1
1
1
1 0 1 1 R R 0 1 0 1 0 1 0 1
00 1 2
3
1
0111
0 1 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1
1110
R R
4
3
0
1
1
1 上三角形 111 3=3 ；
0012
0003
abc （4） 2b
2c
2a bca
2c
2a
abc
R R R
2b
1
2
3
2b
cab
如果 b 0 ，则有 p a ，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。
所以假设不成立，从而有 Q( p ) Q( q ) 。
同样可得 Q( q) Q( p) 。
（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在 Q 和 之间存在无穷多个不同的
数域。
2. 解：（1） P( 1) 是数域，证明略（与上面类似）。
有两个以上的复数。
任给三个数 a,b F K,0 c F K ，则有 a,b, c F 且 a,b, c K 。因为 F, K 是
数域，所以有 a b, ab, a F 且 a b, ab, a K 。所以 a b, ab, a F K 。
c
c
c
所以 F K 是数域。
（2）F K 一般不是数域。例如 F Q( 2), K Q( 3) ，我们有 2, 3 F K ，
如果 a2 b2 3 0 ，则必有 a2 , b2 不同时为零，从而 a2 b2 3 0 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以
a1 b1 a2 b2
。
3 (a1 b1 3 (a2 b2
3)(a2 b2 3)(a2 b2
3) 3)
(a1a2 a22
3b1b2 ) 3b22
p ( p)2 (a2 qb2 ) 2ab q 。
由于上式左端是有理数，而 q 是无理数，所以必有 2ab q 0 。 所以有 a 0 或 b 0 。 如果 a 0 ，则 p qb2 ，这与 p, q 是互异素数矛盾。
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因为 Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
(a1 b1 3) (a2 b2 3) (a1 a2 ) (b1 b2 ) 3 Q( 3)
(a1 b1 3) (a2 b2 3) (a1 a2 ) (b1 b2 ) 3 Q( 3)
。
(a1 b1 3)(a2 b2 3) (a1a2 3b1b2 ) (b1a2 a1b2 ) 3 Q( 3)