投影与直观图直观图

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不
变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
小结：“横同，纵半， 450 平行性不变”
例题解析
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
例题解析
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
平面图形的直观图画法
（1）画轴.
y
y’
o
x
o’
( 450或1350 )
x’
（2）确定平行线段. 平行x轴的线段平行于x’ 轴 平行y轴的线段平行于y’ 轴
（3）确定线段长度. 平行x轴的线段的长度保持不变.
确定点位置的画法: 在斜坐标系里横坐 标保持不变,纵坐 标变为原来的一半.
平行y轴的线段的长度变为原来的一半. (4) 成图
A
B
O
C
例1.画水平放置的正三角形的直观图.
画法如下: 第一步
在已知的正三角形ABC中,
取AB所在的直线为x轴, 取对称轴CO为y轴.
画对应的 x` 轴、y` 轴, 使x`O`y` 450.
第二步 在x`轴上取O`A` OA, O`B` OB, 在y轴上取O`C ` 1/ 2OC. 第三步
北师大必修2·§1.2
投影与直 观 图
知识探究（一）：中心投影与平行投影
1.光是直线传播的，一个不透明物体 在光的照射下，在物体后面的屏幕上会 留下这个物体的影子，这种现象叫做投 影.其中的光线叫做投影线，留下物体影 子的屏幕叫做投影面.
2.我们把光由一点向外散射形成的 投影叫做中心投影，把在一束平行光 线照射下形成的投影叫做平行投影.
（×）
(2) 两条相交直线的直观图可能平行. (3) 互相垂直的两条直线的直观图仍然互 相垂直. （×）
（×）
(4) 等腰三角形的水平放置的直观图仍 是等腰三角形. （×）
例题解析
例5 如图，直观图所示的平面图形是( B )
A.任意四边形 C.任意梯形
A
B
B.直角梯形
y
D
D.等腰梯形
C
o
x
课内练习 2：如图，直观图所示的平面图形是(C ) A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
空间几何体的直观图的画法：
1.画几何体的底面： 在已知图形中取互相的 x 轴、 y 轴，两轴相交于点 O ，画直观图时， 把它们画成对应的 x 轴、 y / 轴，两轴相交于点 O ，且使 x / O / y / =
/
/
，
已知图形中平行于 x 轴、 y 轴的线段，在直观图中平行于 x 轴、 y / 轴. 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度 平行于 y 轴的线段，长度变为 2．画几何体的高： 在已知几何体中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z 轴， 也垂直于 x O y 平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中 仍平行于 z 轴且长度
y
A
B
C
o
x
课内练习
3：如图，直观图所示的平面图形是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
D
y
A
B
C
o
x
由直观图恢复到平面图形的步骤： （1）先作一个正三角形
（2）然后以BC所在直线为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系， 画对应的x‘、y’轴，使夹角为45°画直观图时与x轴平行的线段长 度保持不变，与y轴平行的线段程度变为 原来的一半
2. 将一个水平放置的平面图形
画在纸上,怎样画才有立体感呢? (立体图形)
感受立体图
问题提出
1.太阳光线(假定太阳光线是平行的)把一个长方形 形状的窗框投射到地板上，变成了什么图形？
影子与窗户
之间有区别吗？
问题提出 1. 窗框的投影图形与原窗框图比较，哪些几何关系或几 何量发生了变化？哪些没有发生变化？ A P M B 平面图
例题解析
例3 画正五棱锥的直观图.
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
y A B G E
y’
O
H
x
O’
x’
C
F
D
例题解析
例4 画棱长为2cm的正方体的直观图.
z
A
/
/
D
/
C
B
/
/
D A
/
/
C
B/
/
y/
D A B x/
C
A
D B
C
课内练习
1：下列说法是否正确？ (1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形.
探究二： 平行于投射面的正方形的平行投影是 什么？

平行于投射面的正方形在平行投影下的投 影形状完全不变，相当于把正方形在平行 光线下“平移”到了地面．
探究二：

2．太阳光线（可看成平行的）照进窗户上， 在地面形成什么图形？
二：平行投影的性质：
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平 行投影都具有以下性质： 1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 2. 平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长；
/ /
/
， .
/
/
/
.
探究一：


Leabharlann Baidu

问题: 1.如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个 不同位置: (1)铁丝平行于投射面;按如图所示投射线，指出其平 行投影，线段与它的投影的大小关系为 . (2)铁丝倾斜于投射面，按如图所示投射线，指出其 平行投影，线段与它的投影的大小关系为 . (3)铁丝垂直于射影面(铁丝不一定要与投射面有公共 点)，按如图所示投射线，指出其平行投影.
一、平行投影1)点的平行投影：
已知图形F，直线l与平面α 相交，过F上任一点M作直 线l’平行于l，交平面α于点 M’，则M’叫做点M在平面α 内关于直线l的平行投影. （2）图形的平行投影：如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线l的平行投影构成 图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l 的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投 射线。
/
D/
x
/
F/
E/ D/
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
B/
C/
探究五




画空间几何体的直观图，和平面图形比较， 空间几何体多了一个“高”： （1）z轴在已知图形和直观图中位置是否改 变？ （2）在已知图形中与z轴平行的线段在直观 图中平行关系是否改变？ （3）在已知图形中与z轴平行的线段的长度 在直观图中是否改变？
A
A
A
A
B
C
D
A
B
C
D
中心 投影 A
B
C
D
平行投影 A
中心 投影
B
C
D
平行投影 A
中心 投影
B
C
D
平行投影 A
中心 投影
B
C
D
平行投影 A
中心 投影
B
C
D
平行投影 A
中心 投影
B
C
D
平行投影 A
中心 投影
B 正投影
C
D
平行投影 A
中心 投影
B 正投影
C
D
平行投影 A
中心 投影
连结A`C `, B`C `, 所得 的 三 角形A`B`C ` 就是正三角形ABC的直观图.
应用举例:画出水平放置的直角梯形的直观图
y D C D′ A
O
y′ C′
B x
A′
B′
x′
例题解析
例2 画水平放置的正六边形的直观图 . /
F
y H
y
E
A
O
B
Dx
C
A/
A/
F
/
H/
/
E/
B
G
/
O / G C
P’ A’ M’ B’
直观图
归纳总结
直观图: 表示空间图形的平面图形，
叫做空间图形的直观图.
如何画空间图形的直观图?
斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o 点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
x Oy=45 或135

，它确定的平面表示水平平面。
例1：下列说法正确的是________．
②③
①直线或线段的平行投影仍为直线或线段 ②与投射面平行的平面图形，其投影与这个图 形一定全等 ③平行四边形的平行投影可能是矩形
④两平行直线的平行投影一定平行
⑤如果一条长为2米的线段，其平行投影为1米， 则长为10米的线段，其平行投影的长为5米
想一想
1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?
B 正投影
C
D
平行投影
中心 投影
斜投影
A
B 正投影
C
D
在平行投影中，投影线正对着投影面叫做正投影， 否则叫做斜投影
平行投影与中心投影有什么区别？

平行投影的投射线都互相平行，中心投影 的投射线是由同一点出发的．
绘画时经常使用中心投影，但 立体几何中很少使用中心投影原 理来画图。常用平行投影来画图。
结论：
S 直观图 S 原图形
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当堂检测
如图Δ A‘B‘C’是水平放置的Δ ABC的直观图， 则在Δ ABC的三边及中线AD中，最长的线 段是（ ） AC
总结 1. 平行投影的性质; 2.斜二测画法步骤 (1)平面图形的斜二测画法, (2)简单几何体的斜二测画法； 3.坐标系的选取是画直观图的关 键，选取不同的坐标系，画出的 直观图可能不一样.
4．与投射面平行的平面图形，它的投影
与这个图形全等； 5．在同一直线或平行直线上，两条线段
平行投影长度的比等于这两条线段长度
的比。
1. 直线的平行投影可能是（ A ） （A）点 （B）线段 （C）射线 （D）曲线
2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能 是（ D ） （A）两条平行线. （B）一点和一条直线 （C）两条相交直线 （D）两个点