数学有限差分法模板

Ex 1 H Z H y ( Ex ) t y z
E y 1 Hx H z ( Ey ) t z x
Ez 1 H y H x ( Ez ) t x y
Hx 1 E y Ez ( mHx ) t z y
Ex t
1 (i , j ,k ,n ) 2

1 2
Ex
n 1
H y Ex 1 H Z ( Ex ) t y z
(i, j , k ) Ex (i, j , k ) t
n
n 1 2
1 { (i, j , k )
Hz
n
1 (i, j , k ) H z 2 y
n
n
1 2 ）这给实际编程带来不便，
为此，采用如下近似：
Ex
1 n 2
(i, j, k )
(4-23)
1 n 1 n E ( i , j , k ) E ( i , j , k ) x x 2
Ex n 1 (i, j , k ) Ex n (i, j , k ) t { (i, j , k ) Hy Hz
1 2 n 1 2
1 (i, j , k ) H z 2 y
n 1 2
n
1 2
1 (i, j , k ) 2
n

1 (i, j , k ) H y 2 z
n 1
1 (i, j , k ) 2
Ex 2
} (i, j , k ) Ex (i, j , k )
(i, j, k ) (ix, jy, kz )
（4-18）
其中 i , j 和 k 均为整数，分别表示 x, y 和 z 坐标 方向的网格标号或空间步长个数，时间步长用 t 表示，以 n 表示时间步长的个数。
在电磁场方程中， 时变参量既与空间坐标 有关， 也与时间变量有关。 为方便表示时间 变量与空间变量之间的关系，以简化形式， 令
中心差商
（4-5）
df f ( x) f ( x h) f ( x h) （4-6） dx x 2h
在上面三种差商形式中，中心差商的精度最高。
函数 f ( x) 的二阶导数 f ( x) 为
''
d f 1 df df ( ) 2 dx x dx x x dx x 1 f ( x h) f ( x ) f ( x ) f ( x h) h h h f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) 2 h
H 时每个 H 场四周由 E 场环绕。 这样 E ，
配置符合 Maxwell 方程的基本要求，也符 合电磁波空间的传播规律。
z
Ey
Ex Ez
Hz
Ex
Ez
Ey
Hx
Hy
Ez
(i, j, k)
Ey
y
x 图 4.2 Yee 氏网格单元及电磁场空间离散点的关系
电磁场问题与空间媒质的电磁特性 直接相关，在网格空间中除规定 E 和 H 的离散值点外，还必须给出各离散点相应 媒质的电磁参量，即电磁场离散点处的介 电常数 ，导磁率 和电导率 ，于是便 可以处理电磁场与复杂媒质的相互作用。
第四章 时域有限差分法
在电磁散射计算方法中，有限差分法自上世纪五十 年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简 单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更 有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其 重要地位。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数 学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离 散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上 函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的 偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方 程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函 数值—离散解。
2
2 f ( x) f ( x h) f ( x) （4-2）
函数 f ( x) 的一阶导数 f ( x) 为：
'
df f ( x) f ( x) lim dx x 0 x
'
应用差分，
f ( x) 可表示为 f ( x) f ( x h) f ( x) ' f ( x) (4-3) x h
'
'
故 f ( x) 可表示为差分 f ( x) 除以有限小 差分 x 的商，称为差商。
一阶导数 f ( x) 还可表示为： 向前差商
'
df f ( x) f ( x ) f ( x h) dx x h
向后差商
（4-4）
df f ( x) f ( x h) f ( x ) dx x h
F (i, j, k ) F (ix, jy, kz, nt ) (4-19)
n
具有二阶精度的中心差商近似的 Maxwell 旋 度方程的差分形式为可表为
1 1 n F (i , j, k ) F (i , j, k ) n F (i, j, k ) 2 2 x x
n
Ex
n 1
t t n (i, j , k )(1 ) Ex (i, j, k )(1 ) 2 (i, j, k ) 2 (i, j, k )
t { (i, j , k ) Hy Hz
1 2 n 1 2
1 (i, j , k ) H z 2 y




i H x Hx
j y Hy
k z Hz
H y H x H x H z H z H y ( )i ( )j( )k y z z x x y i j k E x y z Ex E y Ez E y Ex Ex Ez Ez E y ( )i ( )j( )k y z z x x y
时域有限差分法的特点
(1)直接时域计算。 时域有限差分法直接把含时间变量的 Maxwell 旋度方程在 Yee 氏网格空间中转换 为差分方程，使电磁波的时域特性被直接反 映出来。这一特点使它能直接给出非常丰富 的电磁场问题的时域信息。如果需要频域信 息，则只需对时域信息进行 Fourier 变换。为 获得宽频带的信息，只需在宽频谱的脉冲激 励下进行一次计算。
假定媒质为线性，各向同性，有耗媒质，于是无源 区内 Maxwell 方程组中的两个旋度方程为：
E H E t
H E m H t
（4-13）
（4-14）
式中 为介电常数（ F/m）; 为磁导率（H/m）; 为 电导率（ / M ) ； m 为等效磁导率 ( / m) ，式中 m 的引入是为使方程（4-13） ， （4-14）具有对称性。
Hy 1 EZ Ex ( mH y ) t x z
Hz 1 Ex E y ( m H z ) （4-15） t y x
利用图 4.2 中 Yee 式网格，用 x ，y ，z 分别代表在， x , y , z 坐标方向上的网格空间步 长，网格点的空间坐标以下式简单表示，即
频域麦克斯韦方程只适用于正弦稳态时变电磁场
(2)广泛的适用性。 时域有限差分法的直接出发点是概括电 磁场普遍规律的 Maxwell 方程，这就预示着 这一方法具有最广泛的适用性。在网格空间 中媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和 非线性等均能很容易地进行精确模拟。任何 问题只要能正确地对源和结构进行模拟，时 域有限差分法就能够给出正确的解答，不管 是散射、辐射、传输、透人或吸收中的哪一 种，也不论是瞬态问题还是稳态问题。
时域和频域的麦克斯韦方程
时域 频域
H E t H J E t E B 0
E j H H J j E E B 0
(4-7)
2
u 对偏导数，可仿照上述方法，将 表示为： x u u ( x h, y, z ) u ( x, y, z ) （4-8） x h
同样，二阶偏导数可表示为：
u u ( x h, y, z ) 2u ( x, y, z ) u ( x h, y, z ) 2 2 x h
2
（4-9）
§4.2 Yee 氏网格和 Maxwell 旋度方程的有限差分法
在三维电磁空间， 为了建立差分方程， 首先要将求解空间离散化，通常是以一定 形式的网格来划分求解空间，取空间网格 节点上的未知量作为计算对象，用差分代 替微商，用离散变量的差分方程近似替代 连续变量的微分方程进行求解。
K.S.Yee 于 1966 年提出求解电磁问题 的时域有限差分法，并给出如图 4.2 的网 格划分。其特点是在同一网格中，E 和 H 的各分量在空间取值点交叉的放置，使每 个坐标面上的 E 的四周由 H 分量环绕， 同
§4.1 差分与差商
设函数 f ( x) 的自变量 x 有一小增量 x h ，则
f ( x) 的增量为 f ( x) f ( x h) f ( x) （4-1）
f ( x) 为函数 f ( x) 的一阶差分。当增量 h 足够小，差分
f 与微分 df 之间的差才足够小。
一阶差分 f 是自变量 x 的函数。按式（4-1）计算 f ( x) 的差分 f ( x) 称二阶差分，且
将（4-13） ， （4-14）两方程写成标量形式， 利用空间和时间上的中心差商代替微商， 便可获 得该两旋度方程的 Yee 网格上的差分方程。 为此，令在直角坐标系中
E x E x y E y z Ez H x H x y H y z Hz
则（4-13） ， （4-14）展开后可得六个分量所满足 的方程。
1 (i, j , k ) 2
Hy
n
1 2
1 (i, j , k ) H y 2 z
n 1 2
n
1 2
1 (i, j , k ) 2 (4.22)
Ex
(i, j , k )}
Fra Baidu bibliotek
1 (4-22) 式中包含相隔半个步长 t 的三个 E x 值 2
（ Ex
n 1
， Ex ， Ex
n 1 2
n
1 2
1 (i, j , k ) 2
n
1 (i, j, k ) H y 2 z
1 (i, j , k ) 2 }
可使（4-22）式中仅出现 E （4-22）可表为：
n 1
x和
E n x 两个 E x 值，在此近似下
(i, j, k )t 1 t 1 2 (i, j, k ) n n 1 E x (i, j, k ) E x (i, j, k ) (i, j, k )t (i, j, k )t ( i , j , k ) 1 1 2 (i, j, k ) 2 (i, j, k )
n
（4-20） 同理，对时间微商也采用中心差商近似，可得
F n (i, j , k ) F t
n
1 2
(i, j , k ) F t
n
1 2
(i, j , k )
(4-21)
（4-20）和（4-21）是采用空间场量之 间相距半个步长，时间间隔半个步长给出 的。以此两式中心差商形式近似替代 Maxwell 旋度方程中的微商，就可获得 Yee 氏形式的差分方程。如可由方程（4-15）直 接写出（n+1/2）时间步长对 i, j, k 空间点 的 E x 的中心差商近似
(3)节约存储空间和计算时间 时域有限差分法所需要的存储空间 直接由所需的网格空间决定，与网格总 数 N 成正比，所需的计算时间也是与网 格总数 N 成正比。相比之下，若离散单 元也是 N，则矩量法所需的存储空间与 2 (3N) 成正比，而所需的 CPU 时间则与 2 3 (3N) 至(3N) 成正比。