7专题31 应用基本不等式求最值的求解策略(学生版)——王彦文

专题七：应用基本不等式求最值的解题策略
【高考地位】
基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。

应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。

【方法点评】 方法一 凑项法
使用情景：某一类函数的最值问题
解题模板：第一步 根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；
第二步 使用基本不等式对其进行求解即可；
第三步 得出结论.
例1 已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

【变式演练1】当时，求(82)y x x =-的最大值。

【变式演练2】求函数2
1
(1)2(1)
y x x x =+>-的最小值。

方法二 分离法
使用情景：某一类函数的最值问题
解题模板：第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式； 第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；
第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.
例2 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

【变式演练3】求函数()()y x x x
=++49
的最值。

方法三 函数法
使用情景：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况
解题模板：第一步 运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；
第二步 运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则直接得出结果即可； 第三步 结合函数()a
f x x x
=+的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可； 第四步 得出结论. 例3 求函数22
54
x y x +=+的值域。

【变式演练4】下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x =+ B ．4sin sin y x x
=+（0x π<<） C ．4x x y e e -=+ D ．3log 4log 3x y x =+
【高考再现】
1. 【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，
在区间122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）
（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81
2
2. 【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足
12
ab a b
+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 3. 【2015高考福建，文5】若直线1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
4. 【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,则1++3a b +的最大值为________.
5. 【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.
6. 【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）
A ．q r p =<
B ．q r p =>
C ．p r q =<
D ．p r q => 【反馈练习】
1. 【2016河南中原名校一联】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量
()B A m cos ,cos =，()b c a n -=2,，且n m //．
（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值．
2.【2017届山西右玉一中高三上期中数学（理）试卷，理5】当1x >时，不等式1
1
x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,2]-∞
B ．[2,)+∞
C ．[3,)+∞
D ．(,3]-∞
3. 【2017届宁夏石嘴山三中高三10月月考数学试卷，文9】直线)0,0(022>>=-+b a by ax 平分圆
064222=---+y x y x ，则
b
a 1
2+的最小值是（ ） A.22- B.12- C.223+ D.223-
4. 【2016-2017学年河北馆陶县一中高二上期中数学试卷，理6】已知点),(y x P 在直线12=+y x 上运动，则y
x
42+的最小值是( ）
A.2
B.2
C.22
D.42
5. 【2017河南郑州一中高二上期中考试试卷，理10】若实数,x y 满足0xy >，则
22x y
x y x y
+
++的最大值为（ ） A ．22- B ．22+ C.422+ D ．422-
6. 【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试试卷，文10】设x R ∈，对于使22x x M -≥成立的所有常数M 中， 我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界．若,a b 为正实数，且1a b +=，则12
2a b
+的下确界为（ ） A ．5 B ．4 C.
9
2
D ．3 7. 【2016-2017学年河南郑州一中网校高二上期中联考文数试卷，文11】设()
2
110,a b a ab a a b >>++-则的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8. 【2016-2017年河南西平县高级中学高二十月月考数学试卷，文9】已知xy y x =+，且0x >，0y >，则y x +的取值范围是（ ）
A ．]1,0(
B ．),2[+∞
C ．]4,0(
D ．),4[+∞
9. 【2017届山东潍坊中学高三上学期月考一数学试卷，文9】已知0,0x y >>，且21
2x y
+=，若2x y a +≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．6
D ．8
10. 【2016-2017学年重庆市第一中学高二10月月考数学试卷，理10】若正实数,x y 满足
()()2242log 3log log 2x y x y +=+，则3x y +的最小值是（ ）
A ．12
B ．6
C ．16
D ．8
11. 【2017届河北武邑中学高三上期中数学试卷，理15】已知定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立．若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则12
a b
+的最小值为___________．
12. 【2016广西桂林调研考试】已知m 、n 为正实数,向量()(),1,1,1m n ==-a b ,若b a ⊥,则12
m n
+的最小值为______．
13. 【2016届浙江绍兴柯桥区高三教学质量调测二模理数试卷，理15】已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ,y 的取值范围是 ．
14. 【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试理数试卷，理13】若0,0,2a b a b ab >>+=，则3a b +的最小值为__________.
15. 【2016-2017学年辽宁大连二十高级中高二上期中数学试卷，文19】已知正数b a ,满足b a ab +=2． （Ⅰ）求ab 的最小值； （Ⅱ）求2a b +的最小值.。