上同调元素对特征标扩张定理的影响

Strongart数学笔记-浅论群同调及上同调

浅析群的同调与上同调群的同调与上同调可以说是同调代数与代数拓扑的一个交叉领域，其成果又可以应用到群论本身，这里我来讲一点它的初步思想，主要还是侧重于中纯代数方面。

对于想了解拓扑背景的朋友，请参阅Kenneth S.Brown 的著作Cohomology of Groups（GTM87），还有他的paper：Lectures on Cohomology of Groups（收录于ALM12）.在群的同调（或上同调）的定义中，一个关键的概念就是由群G给出的G-模，对此可以有两种理解方式。

第一种理解是群作用的，就是把G-模A中G的元素g对A的元素a的数乘ga理解为群（对Abel群）的作用，仔细的读者还会发现这样的作用并不完全，还要满足一个可加条件（g+h）a=ga+ha才行。

其中有一类作用是平凡的：ga=a，它们同调群计算特别简单。

第二种理解是表示论的，它实际上是考虑G到M的自同构群的同态σ：G→Aut（A），而把ga解释成σ（g）（a），它无疑比前者要更加优雅。

一般意义上同调都是在模正合列上定义的，特别是模的正合列，但这里群的同调中怎么会出现模的结构呢？事实上，第一种解释已经有一个雏形了，只不过它的系数还不是环，为此我们可以做一个自然的线性推广，也就是引入群代数ZG的概念，而这个群代数自带的环结构就是模的系数环。

做了上述分析之后，我们就可以引入群的同调（或上同调）的概念。

先ZG上Z的投射分解F（本文中表示链复形的字母加下划线以示区别），然后定义H_*（G，A）=H_*（F⊙A)=Tor_*(Z，A)H^*（G，B）=H^*（Hom（F，B））=Ext^*(B，Z)其中，Hom函子与通常的Hom函子略有区别：Hom（F，B）n=Hom（F-n，B）.在被定义项中，群G实际上是作为张量积与Tor函子（或Hom与Ext函子）的系数出现的，而分解则是在Abel群Z上进行的。

这样一来，群的同调就被纳入到一般链复形同调的结构当中，关于一般链复形同调的结论，比如长正合列定理，也都可以应用到群的同调理论中。

Strongart数学笔记：浅谈局部上同调及其对偶定理

浅谈局部上同调及其对偶定理(2014-06-27 13:51:56)交换代数与同调代数可以说是现代代数学中双塔，他们结合之后就产生了一类非常有意思的代数结构：局部上同调（local cohomology），下面就来介绍一下局部上同调理论的基本内容，暂时不涉及代数几何方面的应用。

约定：本文中的环都是含单位元1的交换环。

首先我们定义I-挠函子的概念，设I是R的理想，M是R-模，令Γ_I（M）={x∈M：I^kx=0对某k≥0}它可以自然诱导在R-模映射M→N上，得到R-模范畴上的函子Γ_I（-）。

下文若无混淆，我们将把I省去。

可以证明函子Γ（-）是左正合的，它有导出函子，就称为局部上同调函子，其中第j阶导出函子记住H^j（-）.把R-模M代入，就得到M的（关于I的）第j阶局部上同调H^j（M），它有如下的基本性质：1）H^0（M）=Γ（M）2）若√I=√J，则Γ_I（M）=Γ_J（M）3）由R-模的短正合列可导出H^*（-）的自然长正合列。

下面我们用这个正合列算一下R=Z对I=（p）的局部上同调，可取Z的内射分解为0→Z→Q→Q/Z→0，容易得到H^j（Z）=0，j≥2，直接计算得H^0（Z）=0，利用长正合列性质，有H^1（Z）=Γ（Q/Z）=Z[1/p]/Z.仔细观察，我们发现H^0（M）=lim Hom（R/I^n,M），由此可以得到局部上同调的计算公式：H^j（M）=lim Ext^j（R/I^n,M），j≥0这里我们遇到了导出函子与正向极限的可交换性，也有作者是通过关于负强连通函子的引理处理的（可以参见[3]、[5]）。

由此可得可以沟通关于I的局部上同调与I-深度之间的关系。

若M是有限生成R-模且IM≠M时，我们有min{j；H^j（M）≠0}=depth（M）这里IM≠M是I-深度的定义的自带条件，当IM=M时，有H^j（M）=0对任何j都成立。

除了Ext函子之外，我们还可以用Koszul复形来计算局部上同调。

一致局部上同调零化子和多项式扩张

一致局部上同调零化子和多项式扩张刘刚剑;宋传宁【摘要】A是有限维Noether环.证明了:如果环A有一致局部同调零化子,则A上的r元多项式环A[X1,X2,…,Xr]也有一致局部同调零化子.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2006(035)001【总页数】4页(P52-55)【关键词】一致局部同调零化子;局部同调群;Koszul同调群;多项式扩张【作者】刘刚剑;宋传宁【作者单位】上海师范大学,数理信息学院,上海,200234;上海师范大学,数理信息学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O153.3;O1541 前言设A是Noether交换环,I为A的理想.用表示A的支撑集包含在V(I)中的第i个局部同调群,这里V(I)={P∈SpecA|P⊇I}.设x∈A且x不包含在A的任意极小素理想中，如果对每个A的极大理想m,均有称x为A的一致局部上同调零化子.众所周知,当时,几乎不是有限生成的.即使是的零化子也很难找到.在文[1]中,M.Hochster和C.Hunke证明了如果A是Gorenstein环的商环,则A有一致局部同调零化子.在文[2]中,周给出了环A具有一致局部上同调零化子的刻画,证明了具有一致局部上同调零化子的环一定是泛分层次环.任何具有局部相等维数的环A 如果是Cohen-Macaulay环的商环,则A具有一致局部上同调零化子.泛分层次环是通过多项式扩张来刻画的.称一个环A是分层次环,如果A的任何两个素理想P⊂Q之间素理想的极大饱和链P=P0P1…Pn=Q均有相同的长度.称A是泛分层次环,如果A的任何多项式扩张均为分层次环.由于上面提到的周的结果,我们在本文中研究一致局部上同调零化子在多项式扩张下的性质,得到了如下的结论:定理1.1 设A为有限维Noether环,若A有一致局部上同调零化子,则A上的r元多项式环A[X1,X2,…,Xr]也有一致局部上同调零化子.在下文中,用A表示一个有限维Noether环,用SpecA表示A的所有素理想的集合.为方便起见，用A0表示A中所有不属于A的任意极小素理想的元素所成的集合. 给定A的的理想I，I的高度用符号htI表示.设I1，I2为A的理想，用(I1:AI2)表示{a∈AaI2I1}.设a1,…,an,是A中的n个元素，我们用Hi(a1,…,an,A)表示环A的Koszul复形K.(a1,…,an)的第i个同调群.2 准备工作在本节中，先讨论一些与一致局部上同调零化子有关的结果，证明几个引理.设A为Noether环,m为A的极大理想，由局部同调群的定义得⋍(∀i≥0).在文[2]中证明了如下结果：引理2.1 设A是d-维Noether环,则下列条件等价：(1)A有一致局部上同调零化子.(2)存在x∈A0,对任意P∈SpecA,有在此基础上,可继续得到下面的结论:引理2.2 设A是d-维Noether环,则下列条件等价：(1)A有一致局部上同调零化子.(2)存在x∈A0,对任意P∈SpecA,设htP=h，存在a1,a2,…,ah∈P,满足ht(a1,a2,…,ah)=h,对任意正整数n1,n2,…,nh,有证明利用引理2.1证明(1)⟹(2):由引理2.1,存在x∈A0,对任意P∈SpecA,有:根据定理11.4(b)[1],对任意a1,a2,…,ah∈P,满足ht(a1,a2,…,ah)=h,和任意正整数n1,n2,…,nh,有考虑A的Koszul复形K.(a1,…,ah)的同调群的长正合列由于且因此而由知所以有⊆不妨用x替换x2d-1,即得结论.下面用归纳法证明(2)⟹(1):对A的任意极大理想m,设htm=s,归纳证明:对i<s,有因为就在(Am,mAm)上进行讨论,不妨用Am替换A.由已知,存在a1,a2,…,as∈m,满足ht(a1,a2,…,as)=s,对任意正整数n1,n2,…,ns,有⊆当s=1,由A是Noether环知,存在正整数n,使得由得结论成立.假定结论对s-1维情况成立.则由假设对所有i<s-1和任意正整数n,有考虑短正合列(2.1)与(2.2)分别得局部同调的长正合列(2.3)与(2.4)由(2.1)和(2.2)有交换图(2.5)因此对任意a∈A.又由(2.3)和(2.4)有交换图(2.6)所以对任意对任意则存在正整数n0,有不妨用n0替换(2.1)～(2.6)中的n,即有ψ∘φ(y)=0.所以φ(y)∈kerψ.由正合列(2.4)知Kerψ=Imω,结合假设因此x2sφ(y)=0,从而φ(x2sy)=0,即x2sy∈φ.又由正合列(2.3)知kerφ=Imφ,因此x2sy∈Imφ.而已知xImφ=0,所以x2s+1y=0,即有更有归纳证明完毕.因为对所有A的极大理想m,dimA≥htm,显然不妨用x替换x2(d+1)就得结论. 下面再补充2个证明定理需要的引理:引理2.3 设A是环,B=A[X].I1,I2是A的理想.则(1)(I1∩I2)B=I1B∩I2B;(2)当I2有限生成,有(I1:AI2)B=I1B:BI2B.证明 (1)定义环同态Φ:A→A/I1⊕A/I2其中和分别表示a在A/I1和A/I2中的像.则0→I1∩I2→A→A/I1⊕A/I2→0为短正合列,因此0→(I1∩I2)⊗AB→A⊗AB→(A⊗AB)/(I1⊗AB)⊕(A⊗AB)/(I2⊗AB)→0也是短正合列.所以(I1∩I2)⊗AB=(I1⊗AB)∩(I2⊗AB).对A的理想I,I⊗AB为A⊗AB的子集,且I⊗AB=IB.因此有(I1∩I2)⊗AB=I1B∩I2B.(2)设I2=Aa1+Aa2+…+Aat,则因此不妨设I2=(a0)为主理想,可得短正合列与B做张量积,得短正合列⊗AB)/(I1⊗AB)→0.所以(I1:AAa0)B=I1B:AAa0B.即(I1:AI2)B=I1B:BI2B.引理2.4 设环A为有限维Noether环，x∈A0.令B=A[X],则x∈B0.证明首先证明B的极小素理想均为pB的形式,其中p为A的极小素理想:设P为B的极小素理想,令p=P∩A,则p为A的素理想.又令p1为包含在p中的极小素理想,则P⊇p1B.由A/p为整环,知其多项式扩张A/p[X]也为整环,即B/p1B=A/p[X]为整环,因此p1B是B的素理想.所以由P的选取得P=p1B.下面证明,对A的任意极小素理想p,有xpB：由(A/P)⊗AB与B/pB同构,建立(A/P)⊗AB到B/pB的同态x:对任意其中为a在A/p中的像,为ax在B/pB中的像.因为B为平坦A-模，所以x为单同态.由xp,当得即xpB.命题得证.3 定理的证明下面就对定理1.1进行证明.证明对r进行归纳，只须证明r=1的情形．设dim A=d,令B=A[X].任取B的极大理想P,因为对所以要证明B有一致局部上同调零化子,只需证明BP有一致局部上同调零化子.由引理2.2知,只要证明条件:存在使得对(BP,P)的参数系b1,b2,…,bd+1,和任意正整数n1,n2,…,nd+1,有⊆(3.1)成立.我们证明(3.1)成立:令P∩A=m.则BP也是Am[X]的一个局部化.所以不妨用(Am,mAm)替换A来讨论,这样A就是有极大理想m的局部环,且A有一致局部上同调零化子.又由引理2.2知,存在x0∈A0,对A的任意参数系a1,a2,…,ad,和任意正整数n1,n2,…,nd,有⊆令k=A/m,得B/mB=k[X].则P/mB是k[X]的主理想,设由不可约首一多项式Ψ(X)生成.取首一多项式f(X)∈B,使(f(X))在B/mB中的像等于Ψ(X),则P=(m,f(X)).为叙述方便,不妨用B表示BP.选取A的参数系b1,b2,…,bd,使得b1,b2,…,bd,bd+1=f(X)为B的参数系.则(1)由引理2.4知x0∈B0.因为B是A的平坦扩张,由引理2.3知,在环B上,对任意正整数n1,n2,…,nd,有⊆(2)对bd+1=f(X),有((b1,b2,…,bd)B:Bbd+1)⊆(b1,b2,…,bd)B.事实上,设g(X)=c0Xr+c1Xr-1+…+cr,这里r=degg(X),使得f(X)g(X)∈(b1,b2,…,bd)B，则f(X)g(X)是(b1,b2,…,bd)上首项为c0Xr+s的r+s次多项式,其中s=degf(X).因此c0∈(b1,b2,…,bd)B.同理可知对所有0≤i≤r,ci∈(b1,b2,…,bd).所以g(X)∈(b1,b2,…,bd)B.即((b1,b2,…,bd)B:Bf(X)) ⊆(b1,b2,…,bd)B.综合 (1),(2) 得条件 (3.1) 成立. 命题得证.参考文献：[1] HOCHSTER M, HUNKE C. Tight closure, Invariant theory, the Brancon-skoda theorem[J]. J Amer Math, 1990, 9(1): 31-117.[2] ZHOU C J. Uniform annihilators of local cohomology, J Algebra, 2006.[3] MATSUMURA H. Commutative ring theory[Z]. Cambridge University Press: 127-140.。

元素周期律123

氧化性与还原性氧化性增强，
氧化性减弱
同一周期元素：电子层数相同。从左向右，核电荷数增多，原子半径减小，失电子的能力逐渐减弱，得电子的能力逐渐增强。元素的金属性逐渐减弱，非金属性逐渐增强。
同一主族元素：最外层电子数相同。自上而下，电子层数增多，原子半径增大，失电子的能力逐渐增强，得电子的能力逐渐减弱。元素的金属性逐渐增强，非金属性逐渐减弱。
元素周期表中元素性质递变规律
内容电子层数
同周期元素（左→右）同主族元素（上→下）
相同
增多
最外层电子数原子半径
从1-8 (或1-2) 从大到小
相同从小到大
元素主要化合价从+1--+7或-4 ---- -1
相同
金属性
减弱
增强
非金属性
增强
减弱
得失电子能力单质
失减弱，得增强还原性减弱
失增强，得减弱还原性增强，
2. 研究发现新物质 (1) 预言新元素预测它们的结构与性质
(2) 研究新农药非金属右上方处 (3) 寻找半导体材料、催化剂、耐高温耐腐蚀材料.
金属和非金属的交界处
过渡元素
3. 论证了量变引起质变的规律性
1. 在周期表中金属和非金属的分界线附近能找到 C
A、制农药的元素 B、制催化剂的元素 C、做半导体的元素 D、制耐高温合金材料的元素
（2）一般而言，电子层数越多，半径越大
（3）同种元素的不同粒子，电子越多，半径越大。
练习：4.比较下列几组微粒的半径大小
Li与C O与S Na与Na+ Cl-与Cl
Li > C S >O Na > Na+
Cl- > Cl

代数拓扑中上同调的计算理论

代数拓扑中上同调的计算理论代数拓扑是代数学和拓扑学的一个交叉学科，研究代数结构与拓扑空间之间的联系和相互作用。

其中一个重要的研究对象是上同调，它是一个用来描述拓扑空间性质的代数不变量。

本文将介绍代数拓扑中上同调的计算理论。

一、上同调的基本概念上同调是拓扑学中一个重要的代数不变量，用来研究拓扑空间的性质。

它通过一系列代数结构来描述空间的拓扑性质。

在代数拓扑中，上同调的计算主要依赖于复形和链复性质的理论基础。

1.1 复形复形是代数拓扑中的一种重要工具，它是由一系列交错的正整数维度的单纯形组成的，且满足一定的边界和奇异性条件。

复形的边界是指复形中各单纯形之间的边界共享关系。

1.2 链复形链复形是复形的抽象代数对象，它由链群和边界算子组成。

链群是复形中各维度的链构成的向量空间，边界算子则表示各维度之间边界的映射关系。

二、上同调的计算方法在代数拓扑中，我们可以通过计算上同调来研究拓扑空间的性质和结构。

上同调的计算方法主要包括以下几个方面：2.1 上同调群上同调群是指通过链复形的边界算子计算得到的相应维度上的代数不变量。

上同调群可以用来描述拓扑空间的连通性、同伦性等性质。

2.2 上同调序列上同调序列是一种通过上同调群之间的映射关系来计算上同调的方法。

在代数拓扑中，我们可以通过构造上同调序列来计算更高维度的上同调。

2.3 上同调的计算定理上同调的计算定理是代数拓扑中的重要理论工具，通过一系列的等式和运算关系，可以计算得到上同调群的具体表达式。

三、应用实例上同调的计算理论在代数拓扑中有广泛的应用。

以下是几个常见的应用实例：3.1 同伦不变性通过计算拓扑空间的上同调，可以判断空间是否同伦不变。

同伦不变性是指具有相同上同调的拓扑空间可以进行同伦变换。

3.2 Poincaré双纽结定理Poincaré双纽结定理是代数拓扑中的一个重要结果，通过上同调的计算理论可以证明该定理。

3.3 拓扑流形的分类上同调的计算理论在拓扑流形的分类问题中起着重要作用。

拓扑学中的同伦与同调理论

拓扑学中的同伦与同调理论拓扑学是数学中的一个重要分支，研究的是空间的性质和变形。

在拓扑学中，同伦与同调理论是两个基本的概念和方法。

本文将从理论角度介绍同伦与同调的基本概念、性质以及在实际问题中的应用。

一、同伦的概念和性质同伦是拓扑学中重要的关系，用于描述一个空间中一个连续变形到另一个连续的过程。

设X和Y是两个拓扑空间，f和g是X到Y的连续映射。

如果存在一个连续映射H：X×[0,1]→Y，使得对于任意的x∈X，有H(x,0)=f(x)和H(x,1)=g(x)，则称f和g是同伦的，映射H称为f到g的同伦。

同伦关系具有以下性质。

1. 自反性：每一个映射f:X→Y都与自身同伦。

2. 对称性：如果f与g同伦，则g与f也同伦。

3. 传递性：如果f与g同伦，g与h同伦，则f与h也同伦。

通过同伦关系，可以刻画空间中的“连续变形”。

同伦的研究为后续的同调理论提供了基础。

二、同调的概念和性质同调是拓扑学中研究空间的代数不变量的方法。

同调理论通过一系列的映射与边界算子之间的关系来刻画空间的性质。

在拓扑学中，定义单形为一个几何对象，比如顶点、边、面等。

复形是由一系列单形按一定规则粘合而成的一个几何对象。

我们可以定义复形的边界算子，将复形的每个单形映射到其边界上的相应部分。

复形的同调群就是边界算子的核和像之间的商群。

同调的研究可以帮助我们理解空间的拓扑特征，比如空间的连通性、孔洞的存在等。

不同维度的同调群可以提供空间的不同维度上的拓扑信息。

三、同伦与同调的应用同伦与同调在数学、物理等领域有着广泛的应用。

在数学领域，同伦与同调理论可以帮助我们理解拓扑空间的性质。

例如，同调群可以判断一个空间是否是欧拉特性（Euler characteristic），并可以用于分类拓扑空间。

同调理论还在代数几何、流形论等领域有重要应用。

在物理领域，同伦与同调理论也有广泛的应用。

例如，在高能物理中，同调论可以帮助我们研究物质的相变问题；在天体物理学中，同伦的概念可以帮助我们推导时空的结构和性质。

de rham上同调的计算

de rham上同调的计算De Rham上同调是微分几何中的一个重要概念，它描述了流形上的微分形式的特性。

本文将介绍De Rham上同调的计算方法，以及它在几何学和物理学中的应用。

我们来了解一下什么是De Rham上同调。

在微分几何中，我们经常研究流形上的微分形式，例如1-形式、2-形式等。

这些微分形式可以用来描述流形的性质，例如曲率、体积等。

然而，不同的微分形式之间可能存在一些关系，例如某些微分形式的导数等于另一些微分形式。

De Rham上同调就是研究这些微分形式之间的关系的工具。

De Rham上同调可以通过外微分算子来计算。

外微分算子是一个将微分形式映射到更高阶微分形式的算子，它可以用来描述微分形式之间的导数关系。

通过对微分形式进行外微分运算，我们可以得到更高阶的微分形式，从而揭示了微分形式之间的关系。

De Rham上同调就是通过研究外微分算子的核和像，来描述微分形式之间的关系的。

De Rham上同调的计算方法是基于外微分算子的核和像的性质。

通过计算外微分算子的核和像，我们可以确定哪些微分形式是闭形式（即在外微分算子的核中），哪些微分形式是恰当形式（即在外微分算子的像中），以及哪些微分形式既不是闭形式也不是恰当形式。

闭形式表示微分形式的导数等于零，恰当形式表示微分形式可以表示为某个更低阶微分形式的导数。

De Rham上同调的关键就是研究闭形式和恰当形式的性质，并通过它们的差异来描述微分形式之间的关系。

De Rham上同调在几何学和物理学中有着广泛的应用。

在几何学中，De Rham上同调可以用来研究流形的拓扑性质。

通过计算De Rham 上同调群的维数，我们可以得到流形的拓扑不变量，例如欧拉数和Betti数。

这些拓扑不变量可以帮助我们区分不同拓扑类型的流形，并研究它们的性质。

在物理学中，De Rham上同调可以用来描述场论中的守恒定律。

物理学中的守恒定律可以通过微分形式的闭性来表示，而De Rham上同调的计算方法可以帮助我们确定哪些守恒定律是真正的，哪些是假设的。

同调和上同调群

1
2
流形上的积分
2
1.2
流形上单形的同调群
现在我们可将 Rr 上定义的 r 单形 σr 推广到流形 M 上去。显然，可
以定义映射 f : σr → M ，将 r 单形映射为流形 M 上的一个子集 Sr ，这个子集也称为 M 上的 r 单形。实际上就是同胚变换，将直角坐标系中的图形变换到任意流形上去，如下图：
c ∂c
用内积表示为 (c, dω ) = (∂c, ω ). 可以证明，对 c ∈ Br , ω ∈ Z r , (c, ω ) = 0; c ∈ Zr , ω ∈ B r , (c, ω ) = 0. 由于群代表元的等价性，可以将内积推广为等价类的内积，对 [c] ∈ Hr , [ω ] ∈ H r : ∫ ∧([c], [ω ]) = (c, ω ) =
p+q =r
bp (M1 ) × bq (M2 )
χ(M ) = χ(M1 ) · χ(M2 ) 例如，对 torus T 2 H 0 (S 1 ) = H 1 (S 1 ) = R, H (S 1 ) = 0 H 0 (T 2 ) = H 0 (S 1 ) ⊗ H 0 (S 1 ) = R ⊗ R = R
4.2
上同调群的外积
对 m 维的流形 M，取 ω ∈ H r , η ∈ H m−r ，有：ω ∧ η ∈ Ωm . 可定义内 ∫ 积 ⟨ω, η ⟩ = M ω ∧ η ∈ R.
4
上同调群的性质
7
可以证明庞加莱对偶性：H r ∼ = H m−r . 由此得到推论：betti number br = bm−r , χ(M ) = 若 m 是偶数，则 χ(M ) = 0 ∧ 也有等价类的表示：对 [ω ] ∈ H q , η ∈ H r , [ω ] ∧ [η ] = [ω ∧ η ] ∈ H q+r (M )

抽象代数中的Galois扩张判定法

抽象代数中的Galois扩张判定法Galois扩张是抽象代数中的一个重要概念，由法国数学家Évariste Galois 在19世纪初提出。

它对应了一个域的扩张，可以帮助我们判断一个扩张是否为Galois扩张。

本文将介绍抽象代数中的Galois扩张判定法，探讨其基本理论和应用。

一、Galois扩张的定义在抽象代数中，Galois扩张是指一个域的扩张，同时满足两个条件：可分性和正规性。

可分性要求扩张的每个元素都是可分的，即不可约多项式的根都是单重根。

正规性要求扩张的每一个自同构都能保持原来域中的元素不变。

如果一个扩张同时满足可分性和正规性，那么它就是一个Galois扩张。

二、Galois群的定义与Galois扩张相关的一个重要概念是Galois群。

对于一个Galois扩张，其Galois群是指扩张中的自同构构成的群。

Galois群的元素是域的自同构，它可以保持原来域中的元素不变。

Galois群的结构和性质有助于我们判断一个扩张是否为Galois扩张。

三、Galois扩张判定法根据Galois扩张的定义和性质，我们可以得到Galois扩张判定法。

具体步骤如下：1. 选取一个域扩张的生成元素α，并找到α在扩张中的极小多项式f(x)。

2. 计算极小多项式f(x)在原始域中的根的全体，得到一个集合S。

3. 扩张域中的自同构可以通过α的任意一个根对应到原始域中的一个根。

通过这种对应，我们可以将扩张域中的自同构映射到原始域的一个置换。

4. 根据这种对应关系建立Galois群G，即将扩张域中的自同构构成的集合映射到原始域的置换群。

5. 判断Galois群G的性质。

如果G是一个置换群，且α的原始域的每个根都有一个对应的置换，那么该扩张就是一个Galois扩张。

四、Galois扩张的应用Galois扩张在数论、几何和物理等领域都有广泛的应用。

其中一个重要的应用是求解不定方程。

对于一个不定方程，我们可以通过构造其对应的Galois扩张，利用Galois群的性质在扩张域中求解方程。

同调代数基本定理

同调代数基本定理同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构中的同调与上同调。

同调理论在数学和物理学中有广泛的应用，例如在拓扑学、代数几何、代数拓扑、莱斯提定理、场论等方面。

同调代数的基本定理是同调降纬定理和同调升维定理，它们揭示了同调群之间的关系，为其他代数结构的研究提供了有力的工具和引导。

下面将对同调降纬定理和同调升维定理进行全面而生动的介绍。

同调降纬定理是同调代数中最基本的定理之一。

它指出对于一个拓扑空间X及其子空间A，在一定条件下，我们可以通过降维的方式来计算X和A的同调群之间的关系。

具体来说，同调降纬定理告诉我们如果A是X的收缩，即存在一个连续映射r: X → A使得 r|A = id_A，则对于任意整数q，有同构映射H_q(X) ≅ H_q(A)，其中H_q(X)表示X的第q个同调群。

这个定理表明，通过适当构造收缩，我们可以将原本复杂的拓扑空间的同调群简化为一个更容易计算的子空间的同调群。

同调升维定理则是同调代数中的另一个重要定理。

它指出如果我们知道拓扑空间X的一个闭子空间A的同调群，我们可以通过构造一个另外的新空间来计算X的同调群。

具体而言，同调升维定理告诉我们，对于任意一个拓扑空间X和一个闭子空间A，存在一个拓扑空间Y和一个连续映射f: X → Y，使得对于任意整数q，有同构映射H_q(X)/f_*H_q(A) ≅ H_{q+1}(Y)，其中f_*: H_q(A) → H_q(X)是f诱导的同调映射。

此外，如果A是Y的变缩，即存在连续映射r: Y →A使得 r|A = id_A，则我们还可以得到同构映射H_q(X)/f_*H_q(A) ≅H_q(Y)。

同调升维定理的重要性在于它为我们计算复杂拓扑空间的同调群提供了一种较为简便的方法。

同调降纬定理和同调升维定理是同调代数中的两个基本定理，它们提供了同调群之间的关系和计算方法，为我们研究拓扑空间提供了有力的工具和指导。

通过这两个定理，我们可以将复杂的同调问题转化为计算相对简单的子空间的同调问题，或者通过构造新空间的方式来计算原本空间的同调群。

拓扑群同调论中的上同调理论

拓扑群同调论中的上同调理论拓扑群同调论是研究拓扑空间及其对称性的一个重要分支。

在这个领域中，上同调理论是一种基本工具，用于描述空间的拓扑性质。

本文将介绍拓扑群同调论中的上同调理论，并探讨其在数学和物理学中的应用。

一、定义与基本概念在开始介绍上同调之前，我们先回顾一下拓扑群的概念。

拓扑群是指一个拓扑空间和一个群结构同时存在，并且群运算与拓扑结构相容。

具体而言，拓扑群要满足以下几个性质：闭合性、结合律、单位元存在性以及逆元存在性。

上同调是拓扑群同调论中的一个重要概念。

它描述了一个拓扑空间中闭合曲线的“不可缩”。

简单来说，上同调是用来描述空间中存在的“洞”或“孔”的性质。

上同调理论具体建立在链复形和同调群的概念之上。

二、链复形与上同调群链复形是拓扑群同调论中的一个重要工具。

它由链群和边缘算子组成。

链群是一组形如C_n的群，其中n代表链的维度。

边缘算子是一种映射，将高维链映射到低维链上，用来描述链之间的边界关系。

利用链复形，我们可以定义上同调群。

上同调群是链复形的同调群，它描述了链之间的“闭合性”。

通过对链复形的边缘算子进行计算，我们可以得到一系列上同调群，分别对应着不同维度的“洞”或“孔”。

三、上同调理论的应用上同调理论在数学和物理学中具有广泛的应用。

在数学领域，上同调理论被用于研究空间的同伦不变性、拓扑分类以及奇点论等方面。

在拓扑学中，通过上同调理论可以判断两个拓扑空间是否同伦等价，从而揭示了空间的基本性质。

在物理学中，上同调理论被应用于描述场论和几何物理等问题。

特别地，上同调理论在量子力学和弦论中扮演着重要角色。

例如，通过研究空间的上同调群，可以描述量子场论中的荷耦合、规范变换以及拓扑激发等现象。

四、总结拓扑群同调论中的上同调理论是研究拓扑空间的重要工具。

通过链复形和上同调群的定义，我们可以描述空间中的“洞”或“孔”的性质。

上同调理论在数学和物理学中都具有广泛的应用，揭示了空间的拓扑性质以及丰富的物理现象。

超同调代数

超同调代数超同调代数是一种数学领域中的代数工具，它在代数拓扑学、代数几何学和数学物理学中得到广泛应用。

超同调代数的基本思想是将同调群的概念推广到一般的交换环上，从而提供了一种更一般的拓扑不变量的计算方法。

在传统的代数几何和代数拓扑学中，同调群是一种用于刻画空间的拓扑性质的代数不变量。

它对于计算弯曲空间的拓扑性质（如空间的连通性、紧致性等）非常有用。

然而，同调群的定义是基于拓扑空间上的连续函数和连续映射的概念，因此无法直接推广到一般的环上。

超同调代数通过引入分解上同调算子（cup product）和边界算子（coboundary operator）的概念，使得我们可以在一般的环上定义类似于同调群的代数结构。

这种代数结构称为超同调环（cohomology ring）。

超同调环是一个环，它由一个向量空间和一些涉及分解上同调算子和边界算子的额外结构组成。

这些分解上同调算子和边界算子使得我们可以定义环的乘法结构，即两个元素的乘积等于它们对应的向量之间的分解上同调算子的作用。

而环的加法结构则通过向量之间的直和来定义，即将两个向量视为一对坐标，然后逐项相加。

超同调环还具有一些重要的性质。

首先，它是一个反交换的环，即对于任意两个元素，它们的乘积与它们的顺序无关。

其次，超同调环上的乘法也满足结合律和分配律。

此外，超同调环还具有Białynicki-Birula分解和Lefschetz定理等重要的结构定理。

超同调环的概念在拓扑学、几何学和物理学中得到了广泛的应用。

在代数拓扑学中，它被用来研究拓扑流形的同伦类型和同伦不变量。

在代数几何学中，它则用于研究概形的上同调理论。

此外，在数学物理学中，超同调环还被用于描述量子场论的拓扑不变量和量子态之间的关系。

总的来说，超同调代数是一种重要的数学工具，它通过引入分解上同调算子和边界算子的概念，将同调群的定义推广到一般的环上，从而提供了一种更一般的拓扑不变量的计算方法。

它在代数几何学、代数拓扑学和数学物理学中发挥着重要的作用，并为研究拓扑空间、几何对象和物理现象提供了有力的工具。

数学的同调代数与代数拓扑

数学的同调代数与代数拓扑数学中的同调代数和代数拓扑是相互关联的两个重要分支，在研究拓扑空间的性质和结构时发挥着关键作用。

本文将探讨同调代数和代数拓扑的基本概念、方法和应用，以及它们之间的联系和相互关系。

一、同调代数的基本概念与方法1. 同调群同调代数是研究拓扑空间性质的重要工具，其中的核心概念之一是同调群。

同调群是通过将拓扑空间映射到一系列构造的代数结构来描述其性质。

同调群可以通过微分形式、链复形、上同调和下同调等多种方式构造和计算。

2. 上同调和下同调上同调和下同调是同调代数中的两个基本概念，用于描述拓扑空间的性质。

上同调是通过流形的微分形式来定义的，它反映了拓扑空间的局部性质。

下同调则是通过链复形和上同调之间的对偶关系来定义的，它反映了拓扑空间的整体性质。

3. 集合论和范畴论集合论和范畴论是同调代数的基础，它们提供了同调代数的框架和语言工具。

范畴论将同调代数中的结构和概念抽象为范畴的对象和箭头，从而使得同调代数的研究更加系统和统一。

二、代数拓扑的基本概念与方法1. 拓扑空间拓扑空间是代数拓扑研究的对象，它是一个集合和一个定义在该集合上的拓扑结构的组合。

拓扑结构描述了集合中的元素之间的邻近关系和连续性，是代数拓扑的基础。

2. 同伦等价和同伦类型代数拓扑中的同伦等价是拓扑空间中一个重要的等价关系，它刻画了两个拓扑空间之间的连续变形关系。

同伦类型则将同伦等价的拓扑空间分类，研究它们的基本性质和不变量。

3. 紧致性和连通性紧致性和连通性是代数拓扑中常用的性质和概念。

紧致性用于描述拓扑空间的有界性和有穷性，而连通性则用于描述拓扑空间的连续性和完整性。

三、同调代数与代数拓扑之间的联系1. 集合论和拓扑学的桥梁同调代数和代数拓扑都借助集合论和拓扑学的基本概念和方法来描述和研究拓扑空间的性质。

它们之间的联系在于，同调代数通过代数结构来描述拓扑空间的性质，而代数拓扑则通过拓扑结构来定义和计算同调群。

2. 同伦等价与同调同构同伦等价和同调同构是同调代数与代数拓扑之间的重要联系。

上同调代数

上同调代数上同调代数同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构之间的映射和同态，特别是群或模的同态关系。

同调代数在几何学、代数学、数论和物理学等领域中都有广泛的应用。

一、同调代数的基本概念1.1群同调群同调是同调代数的最基本概念之一，它描述了群的代数结构与其拓扑性质之间的关系。

给定两个群G和H，它们的群同调是在一定条件下从G到H的同态映射的集合。

群同调可以用来研究群之间的同构、自同态和拓扑性质等。

1.2模同调类似于群同调，模同调研究的是模之间的同态关系。

给定两个模M 和N，它们的模同调是从M到N的同态映射的集合。

模同调的研究对于研究代数结构的性质和模之间的映射具有重要意义。

二、同调代数的基本性质2.1同调函子同调函子是同调代数中的重要工具，它将一个范畴上的对象映射为另一个范畴上的对象，并保持对象之间的映射关系。

同调函子可以用来构造新的代数结构，并研究它们之间的关系。

2.2长正合列在同调代数中，长正合列是一种重要的序列。

对于给定的同态映射，如果它们构成一个准同态序列，且满足一定条件，那么这个序列就是长正合列。

长正合列为研究代数结构和同态映射提供了有力的工具。

2.3上同调和下同调上同调和下同调是同调代数中的两个基本概念。

上同调是在同调函子作用下得到的同态映射的集合，而下同调是在同调函子作用下得到的模的集合。

上同调和下同调可以用来研究群或模之间的同态关系，并提供了计算同调群的方法。

三、同调代数的应用3.1几何学中的同调代数在几何学中，同调代数可以用来研究拓扑空间的性质和结构。

通过构建拓扑空间的上同调或下同调群，可以研究空间的连通性、维度、同伦不变性等问题。

同调代数在代数拓扑学、流形学和代数几何学等领域都有广泛的应用。

3.2代数学中的同调代数在代数学中，同调代数可以用来研究代数结构的同态关系和同构性质。

通过构建模的同调群，可以研究模的结构、模的分解和模的分类等问题。

同调代数在代数编码理论、代数数论和代数几何学等领域中都有重要的应用。

上同调代数

上同调代数摘要：一、上同调代数简介1.上同调代数的定义2.上同调代数的基本性质二、上同调代数的结构1.上同调代数的对象2.上同调代数的运算3.上同调代数的单位元和逆元三、上同调代数在数学中的应用1.拓扑学中的应用2.代数学中的应用3.几何学中的应用四、上同调代数的意义和价值1.对数学理论的贡献2.对实际问题的解决3.对未来数学发展的影响正文：上同调代数是数学中一种重要的代数结构，它涉及到多个数学分支，如拓扑学、代数学和几何学等。

上同调代数的研究不仅丰富了数学理论，还为解决实际问题提供了有力的工具。

一、上同调代数简介上同调代数是一种具有封闭性的代数结构，它的定义可以从拓扑学的同调论中引入。

上同调代数的基本性质包括封闭性、结合律、单位元和逆元等。

二、上同调代数的结构上同调代数的对象通常是一组向量空间，这些向量空间之间通过一些特定的映射相互关联。

上同调代数的运算包括并集、差集和笛卡尔积等，这些运算使得上同调代数具有丰富的代数结构。

此外，上同调代数还有单位元和逆元，这些元素在代数的运算中起到关键作用。

三、上同调代数在数学中的应用上同调代数在数学的各个分支中都有着广泛的应用。

在拓扑学中，上同调代数可以用于描述流形上的同调性质；在代数学中，上同调代数可以用于研究代数结构之间的同调关系；在几何学中，上同调代数可以用于描述几何对象的拓扑性质。

四、上同调代数的意义和价值上同调代数作为一种基本的代数结构，对数学理论的发展具有重要意义。

它不仅丰富了数学的理论体系，还为解决实际问题提供了有力的工具。

代数拓扑中上同调的计算理论

代数拓扑中上同调的计算理论代数拓扑是拓扑学中的一个重要分支，研究代数结构在拓扑空间上的作用和相互关系。

而上同调是代数拓扑中的一个重要概念，用于描述拓扑空间的性质和结构。

上同调的计算理论是研究如何计算拓扑空间上的上同调群以及它们之间的关系的一门学科。

本文将介绍代数拓扑中上同调的计算理论的基本概念、方法和应用。

一、上同调的基本概念1.1 复形和链复形在代数拓扑中，复形是一种用链（chain）来描述拓扑空间的结构的方法。

对于一个给定的拓扑空间，可以通过选择一组适当的基点（base point），来构造一个复形。

链复形是复形上附加了群结构的一种特殊复形。

链复形的边界算子是链之间的映射，它描述了复形间的关系和转换。

1.2 上同调群上同调群是通过链复形和边界算子来定义的。

对于一个给定的链复形，通过边界算子将链映射到链复形的边界上。

上同调群是由边界算子的核和像按照一定的方式确定的。

上同调群反映了拓扑空间的像和核之间的关系，它提供了一种衡量拓扑空间局部或整体性质的工具。

二、上同调的计算方法2.1 单纯上同调单纯上同调是一种计算上同调群的方法。

它通过对拓扑空间的简化来进行计算。

具体而言，单纯上同调是通过将拓扑空间分解成一些简单的单纯形（simplex）来描述和计算的。

通过对单纯上同调的计算，可以得到拓扑空间的几何和代数性质的信息。

2.2 奇异上同调奇异上同调是另一种常用的计算上同调群的方法。

它通过奇异链复形和奇异边界算子来定义和计算上同调群。

奇异上同调具有一些良好的性质和计算上的便利，因此在实际计算和应用中得到了广泛的应用。

2.3 同调代数和复函子同调代数和复函子是研究上同调的另外两种方法。

同调代数通过代数结构的方式来研究上同调群的性质和计算方法。

复函子是一类函子，它与链复形和上同调群之间有特定的关系。

同调代数和复函子为上同调的计算提供了一种抽象和理论上的基础。

三、上同调的应用上同调在代数拓扑和相关领域中有广泛的应用。

矿产

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

矿产