电力系统潮流计算
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P T e Q T e 2 V eT P f T Q f T V 2 f T
f J xT
极坐标下牛顿
P SP P(V , ) P(V , ) f ( x) SP Q ( V , ) Q Q(V , )
( X X ) P
XP
1）阻抗矩阵的变化 设原输电系统网络的节点阻抗矩阵为x ，支路 k 两 端的节点为i、j。这里的支路是指两节点间各线路的 并联，线路是支路中的一个元件。当支路 增加一条 电抗为 的线路（称追加线路）时，形成新的网络。
应用支路追加原理，新网络的节点阻抗矩阵为
极坐标下牛顿法修正方程：
P T Q T
P V T P V V Q Q V V T V
将极坐标Jacobian矩阵中的电压平方项移出矩阵
' VP H ' VQ M
ˆ ˆ UYU S
ˆ (G jB )U Pi jQi U i ij ij j
ji
i 1, 2, N
所有节点的功率平衡方程
Pi jQi (ei jf i ) (Gij jBij )(e j jf j )
ji
(ei jf i )(ai jbi )
问题
什么是潮流计算？
指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件 下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。
为什么要进行潮流计算？
电力系统潮流计算的结果是电力系统稳定计算和故障分析的基 础。
如何进行潮流计算？ 简单电力网络（开式网络、环形网络、两端供电网络） 潮流计算计算机算法（高斯—赛德尔法、牛顿法、P-Q分解法）
所有节点的电压、相角； PV节点的无功注入； 平衡节点的有功、无功注入； 所有线路的有功、无功损耗； 系统总网损。
1.概述 2.支路开断模拟 直流法 补偿法 灵敏度分析法
一、概述 随着系统总容量的增加，网络的不断扩大，系统出 现故障的可能性也日趋增加。最终导致用户供电中 断。 为保证供电持续性，要求系统安全可靠。 可靠性：在互连系统规划设计方面，当出现故障， 系统保证对负荷持续供电的能力。是一个长时间 的概念。 安全性：在互连系统的运行方面，当出现故障， 保证对负荷持续供电的能力。是时变的或瞬时性 问题。 目前的安全分析，大部分采用确定性方法，用潮流 和稳定程序对最严重的事故情况进行大量运算。
PQ分解法特点
P、Q迭代交替进行； 功率偏差计算时使用最近修正过的电压值； 注意B’,B’’的生成方法
PQ分解法讨论
XB型算法和BX型算法
对BH进行简化时，保留了支路电阻的影响，忽略了接 地支路项 对BL进行简化时，完全忽略支路电阻的影响，保留接 地支路项
PQ分解法的精度问题 PQ分解法计算速度较牛顿法较快
注意： 写成P, Q 和写成 P, Q 形式相比，Jacobian矩阵 相差一个负号 Jacobian矩阵不对称
Jacobian矩阵的形态
• 直角坐标
Pi Pi SP (ei ai f i bi ) 0 Qi QiSP ( f i ai ei bi ) 0 Vi 2 (Vi SP ) 2 (ei2 f i 2 ) 0
N ' VP P V ' Q VQ L V
则可得到矩阵J
H' J ' M N ' B cos ' L G cos G cos G sin B cos B sin B sin Q P G sin P Q
1.将Jacobian矩阵非对角块 设为0，获得P、Q之间解 BH GN V P / V 耦 GM BL V Q / V 2.将V△Ɵ中V用1来代替 忽略支路电阻和接地支路 进一步化简为 的影响，用-1/x为支路电纳 建立节点电纳矩阵B’ ' 3.B’’为节点导纳矩阵中不 包括PV节点的虚部 即将定Jacobian方法中
( x)的谱半径趋近于0，因此越 随着迭代的进行， 接近收敛点，牛顿法收敛越快，具备局部二阶收 敛性
直角坐标系下的牛顿法
P(e, f ) P SP P (e, f ) SP f ( x) Q(e, f ) Q Q (e, f ) V 2 (e, f ) (V SP ) 2 V 2 (e, f )
H J M R
N L S
• 极坐标
Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin ij ) ji Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij ) ji
H J M
N L
i 1, 2, N
ai (Gij e j Bij f j ) ji bi (Gij f j Bij e j ) ji i 1, 2, N Pi ei ai f i bi i 1, 2, N Qi fi ai ei bi
3 输出计算结果
牛顿法可写成如下简单迭代格式
x ( k 1) x ( k ) ( J ( x ( k ) )) 1 f ( x ( k ) ) ( x ( k ) )
( x) J 1 J 1 1 f ( x ) ( x) I T f ( x) J T f ( x) T T x x x x
B cos 为矩阵的简化写法，实质上应该为 Q=diag[Qi/Vi2]
PQ分解法历史
1974年B.Scott在完成博士论文时提出XB型算法 1989年Van Amerongen发现BX型算法 1990 Monticelli揭示了快速分解法的收敛机理
思路
减少每次迭代所需时间（本质上是一类定Jacobian算 法） 将P、Q的计算进行解耦，交替迭代
PQ分解法方程维数降低 PQ迭代次数较牛顿法多
潮流解的一些说明
什么叫潮流解？
潮流方程的解 包括PQ节点的电压辐值、相角以及PV节点的相角信 息
结合已知量，我们可以得到所有节点的电压和相 角信息，对于任意一个电路，如果我们知道其电 路信息和所有节点电压信息，这个电路对我们就 没有秘密。
因此：
一组潮流解对应着电力系统的一个稳态断面状态 计算潮流之后，实质上就知道电力系统在某一时刻 的状态，具体包括
i 1, 2, N i 1, 2, N
牛顿法基本原理
对于非线性方程： f ( x) 0 给定初值： x (0) 用Talor级数展开，有：
忽略高阶项，则有
牛顿法的几何意义
牛顿法计算流程 1 初始化，形成节点导纳阵，给出初值 2 令k=0 进入迭代循环
(k )
x (0)
2.1 计算函数值 f ( x )，判断是否收敛 f ( x ( k ) ) 2.2 计算Jacobian矩阵 f ( x ( k ) ) 2.3 计算修正量 x ( k ) (f ( x ( k ) )) 1 f ( x ( k ) ) 2.4 对变量进行修正 x ( k 1) x ( k ) x ( k )，k=k+1返回2.1
P T J Q T
P T V Q V T
为了使Jacobian矩阵中对电压的偏导项恢复为关 于V的二次函数，在对V的偏导项处乘以一个V， 在V的修正项中除以一个V，则有
x V V
B P / V
''
B V Q / V
PQ分解法修正方程
V ( k ) B ''1Q( ( k ) ,V ( k ) ) / V ( k ) V ( k 1) V ( k ) V ( k ) ( k ) B '1P ( ( k ) ,V ( k 1) ) / V ( k 1) ( k 1) ( k ) ( k )
支路开断模拟或开断潮流作为在线应用时，对计算
速度要求很高，所以需要快速求解。 常用的计算方法有：
直流法、
补偿法、
灵敏度分析法，
这些方法各具特色，现分别介绍如下。
1 直流法 直流潮流模型把非线性电力系统潮流问题简化为 线性电路问题，从而使分析计算非常方便。直流潮 流模型的缺点是精确度差，只能校验过负荷，不能 校验电压越界的情况。但直流潮流模型计算快，适 合处理断线分析，而且便于形成用线性规划求解的 优化问题．因此，得到了广泛的应用。
极坐标功率平衡方程
如果将节点电压用极坐标表示则有：
Pi jQi U i i (Gij jBij )U j j
ji
=U i (Gij jBij )(cos ij j sin ij )
ji
i 1, 2, N
Pi U i U j (Gij cos ij Bij sin Bij ) ji Qi U i U j (Gij sin ij Bij cos Bij ) ji
安全分析的目的：提高系统安全性。 必须从系统规划、系统调度操作、系统维修等方 面统一考虑，最终体现在系统运行状态上。 电力系统运行状态用四种状态来描述： 安全正常状态 不安全正常状态 紧急状态
恢复状态
二、支路开断模拟 电力系统静态安全分析是根据系统中可能发生 的扰动来评定系统安全性的。预想事故通常包括支 路开断与发电机开断两类。 支路开断模拟就是对基本运行状态的电力系统， 通过支路开断的计算（开断潮流）分析来校核其安 全性。 开断潮流：指网络中的元件开断并退出运行后 的潮流。开断潮流是以开断前的潮流作为初值进行 计算的。
'
式中
0 1 i ek 1 j 0
P T J Q T
P P V T T V Q Q V T V T
P V T P V V Q Q V V T V
直流潮流数学模型
Hale Waihona Puke θ P B0写成另一种形式
XP
其中
' 1 X B0
Pij Bij ij i j
xij
直流潮流的断线模型 应用直流潮流模型求解输电系统的状态和支路有 功潮流非常简单。而且，由于模型是线性的，故可 以快速进行追加和开断线路后的潮流计算。 原理：原网络直流潮流公式： XP 当支路（或追加）开断后，而注入功率P没有变化 时，直流潮流公式为：
2.1.1节点类型
2 4 3
6
5
1
6
K1ZT1
G
Z110
5
ZL1
4
K2ZT2
3
ZL2
2
K3ZT3
1
PD+jQD
Z120
YL1/2
YL1/2
Z210
Z220
YL2/2
YL2/2
Z310
Z320
2.2.2 潮流计算数学模型节点功率平衡方程
节点电压方程 节点功率平衡方程：
I YU
将其代入可得： 即：
f J xT
极坐标下牛顿
P SP P(V , ) P(V , ) f ( x) SP Q ( V , ) Q Q(V , )
( X X ) P
XP
1）阻抗矩阵的变化 设原输电系统网络的节点阻抗矩阵为x ，支路 k 两 端的节点为i、j。这里的支路是指两节点间各线路的 并联，线路是支路中的一个元件。当支路 增加一条 电抗为 的线路（称追加线路）时，形成新的网络。
应用支路追加原理，新网络的节点阻抗矩阵为
极坐标下牛顿法修正方程：
P T Q T
P V T P V V Q Q V V T V
将极坐标Jacobian矩阵中的电压平方项移出矩阵
' VP H ' VQ M
ˆ ˆ UYU S
ˆ (G jB )U Pi jQi U i ij ij j
ji
i 1, 2, N
所有节点的功率平衡方程
Pi jQi (ei jf i ) (Gij jBij )(e j jf j )
ji
(ei jf i )(ai jbi )
问题
什么是潮流计算？
指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件 下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。
为什么要进行潮流计算？
电力系统潮流计算的结果是电力系统稳定计算和故障分析的基 础。
如何进行潮流计算？ 简单电力网络（开式网络、环形网络、两端供电网络） 潮流计算计算机算法（高斯—赛德尔法、牛顿法、P-Q分解法）
所有节点的电压、相角； PV节点的无功注入； 平衡节点的有功、无功注入； 所有线路的有功、无功损耗； 系统总网损。
1.概述 2.支路开断模拟 直流法 补偿法 灵敏度分析法
一、概述 随着系统总容量的增加，网络的不断扩大，系统出 现故障的可能性也日趋增加。最终导致用户供电中 断。 为保证供电持续性，要求系统安全可靠。 可靠性：在互连系统规划设计方面，当出现故障， 系统保证对负荷持续供电的能力。是一个长时间 的概念。 安全性：在互连系统的运行方面，当出现故障， 保证对负荷持续供电的能力。是时变的或瞬时性 问题。 目前的安全分析，大部分采用确定性方法，用潮流 和稳定程序对最严重的事故情况进行大量运算。
PQ分解法特点
P、Q迭代交替进行； 功率偏差计算时使用最近修正过的电压值； 注意B’,B’’的生成方法
PQ分解法讨论
XB型算法和BX型算法
对BH进行简化时，保留了支路电阻的影响，忽略了接 地支路项 对BL进行简化时，完全忽略支路电阻的影响，保留接 地支路项
PQ分解法的精度问题 PQ分解法计算速度较牛顿法较快
注意： 写成P, Q 和写成 P, Q 形式相比，Jacobian矩阵 相差一个负号 Jacobian矩阵不对称
Jacobian矩阵的形态
• 直角坐标
Pi Pi SP (ei ai f i bi ) 0 Qi QiSP ( f i ai ei bi ) 0 Vi 2 (Vi SP ) 2 (ei2 f i 2 ) 0
N ' VP P V ' Q VQ L V
则可得到矩阵J
H' J ' M N ' B cos ' L G cos G cos G sin B cos B sin B sin Q P G sin P Q
1.将Jacobian矩阵非对角块 设为0，获得P、Q之间解 BH GN V P / V 耦 GM BL V Q / V 2.将V△Ɵ中V用1来代替 忽略支路电阻和接地支路 进一步化简为 的影响，用-1/x为支路电纳 建立节点电纳矩阵B’ ' 3.B’’为节点导纳矩阵中不 包括PV节点的虚部 即将定Jacobian方法中
( x)的谱半径趋近于0，因此越 随着迭代的进行， 接近收敛点，牛顿法收敛越快，具备局部二阶收 敛性
直角坐标系下的牛顿法
P(e, f ) P SP P (e, f ) SP f ( x) Q(e, f ) Q Q (e, f ) V 2 (e, f ) (V SP ) 2 V 2 (e, f )
H J M R
N L S
• 极坐标
Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin ij ) ji Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij ) ji
H J M
N L
i 1, 2, N
ai (Gij e j Bij f j ) ji bi (Gij f j Bij e j ) ji i 1, 2, N Pi ei ai f i bi i 1, 2, N Qi fi ai ei bi
3 输出计算结果
牛顿法可写成如下简单迭代格式
x ( k 1) x ( k ) ( J ( x ( k ) )) 1 f ( x ( k ) ) ( x ( k ) )
( x) J 1 J 1 1 f ( x ) ( x) I T f ( x) J T f ( x) T T x x x x
B cos 为矩阵的简化写法，实质上应该为 Q=diag[Qi/Vi2]
PQ分解法历史
1974年B.Scott在完成博士论文时提出XB型算法 1989年Van Amerongen发现BX型算法 1990 Monticelli揭示了快速分解法的收敛机理
思路
减少每次迭代所需时间（本质上是一类定Jacobian算 法） 将P、Q的计算进行解耦，交替迭代
PQ分解法方程维数降低 PQ迭代次数较牛顿法多
潮流解的一些说明
什么叫潮流解？
潮流方程的解 包括PQ节点的电压辐值、相角以及PV节点的相角信 息
结合已知量，我们可以得到所有节点的电压和相 角信息，对于任意一个电路，如果我们知道其电 路信息和所有节点电压信息，这个电路对我们就 没有秘密。
因此：
一组潮流解对应着电力系统的一个稳态断面状态 计算潮流之后，实质上就知道电力系统在某一时刻 的状态，具体包括
i 1, 2, N i 1, 2, N
牛顿法基本原理
对于非线性方程： f ( x) 0 给定初值： x (0) 用Talor级数展开，有：
忽略高阶项，则有
牛顿法的几何意义
牛顿法计算流程 1 初始化，形成节点导纳阵，给出初值 2 令k=0 进入迭代循环
(k )
x (0)
2.1 计算函数值 f ( x )，判断是否收敛 f ( x ( k ) ) 2.2 计算Jacobian矩阵 f ( x ( k ) ) 2.3 计算修正量 x ( k ) (f ( x ( k ) )) 1 f ( x ( k ) ) 2.4 对变量进行修正 x ( k 1) x ( k ) x ( k )，k=k+1返回2.1
P T J Q T
P T V Q V T
为了使Jacobian矩阵中对电压的偏导项恢复为关 于V的二次函数，在对V的偏导项处乘以一个V， 在V的修正项中除以一个V，则有
x V V
B P / V
''
B V Q / V
PQ分解法修正方程
V ( k ) B ''1Q( ( k ) ,V ( k ) ) / V ( k ) V ( k 1) V ( k ) V ( k ) ( k ) B '1P ( ( k ) ,V ( k 1) ) / V ( k 1) ( k 1) ( k ) ( k )
支路开断模拟或开断潮流作为在线应用时，对计算
速度要求很高，所以需要快速求解。 常用的计算方法有：
直流法、
补偿法、
灵敏度分析法，
这些方法各具特色，现分别介绍如下。
1 直流法 直流潮流模型把非线性电力系统潮流问题简化为 线性电路问题，从而使分析计算非常方便。直流潮 流模型的缺点是精确度差，只能校验过负荷，不能 校验电压越界的情况。但直流潮流模型计算快，适 合处理断线分析，而且便于形成用线性规划求解的 优化问题．因此，得到了广泛的应用。
极坐标功率平衡方程
如果将节点电压用极坐标表示则有：
Pi jQi U i i (Gij jBij )U j j
ji
=U i (Gij jBij )(cos ij j sin ij )
ji
i 1, 2, N
Pi U i U j (Gij cos ij Bij sin Bij ) ji Qi U i U j (Gij sin ij Bij cos Bij ) ji
安全分析的目的：提高系统安全性。 必须从系统规划、系统调度操作、系统维修等方 面统一考虑，最终体现在系统运行状态上。 电力系统运行状态用四种状态来描述： 安全正常状态 不安全正常状态 紧急状态
恢复状态
二、支路开断模拟 电力系统静态安全分析是根据系统中可能发生 的扰动来评定系统安全性的。预想事故通常包括支 路开断与发电机开断两类。 支路开断模拟就是对基本运行状态的电力系统， 通过支路开断的计算（开断潮流）分析来校核其安 全性。 开断潮流：指网络中的元件开断并退出运行后 的潮流。开断潮流是以开断前的潮流作为初值进行 计算的。
'
式中
0 1 i ek 1 j 0
P T J Q T
P P V T T V Q Q V T V T
P V T P V V Q Q V V T V
直流潮流数学模型
Hale Waihona Puke θ P B0写成另一种形式
XP
其中
' 1 X B0
Pij Bij ij i j
xij
直流潮流的断线模型 应用直流潮流模型求解输电系统的状态和支路有 功潮流非常简单。而且，由于模型是线性的，故可 以快速进行追加和开断线路后的潮流计算。 原理：原网络直流潮流公式： XP 当支路（或追加）开断后，而注入功率P没有变化 时，直流潮流公式为：
2.1.1节点类型
2 4 3
6
5
1
6
K1ZT1
G
Z110
5
ZL1
4
K2ZT2
3
ZL2
2
K3ZT3
1
PD+jQD
Z120
YL1/2
YL1/2
Z210
Z220
YL2/2
YL2/2
Z310
Z320
2.2.2 潮流计算数学模型节点功率平衡方程
节点电压方程 节点功率平衡方程：
I YU
将其代入可得： 即：