第十一章质点动力学_理论力学

第十一章质点动力学

1.质点动力学的基本方程为

矢量形式的微分方程为

经常应用的为直角坐标形式和自然坐标形式的微分方程。

2.质点动力学的两类问题

★已知质点的运动规律，求作用于质点的力，通常是求约束力；

★已知质点所受的作用力，求其运动规律。

一般一个问题中同时包含以上两类问题。求解动力学问题，建立动力学微分方程是关键的一步。对质点的运动及受力作初步的分析后，应选定合适的坐标系，将质点放在任意位置上，画受力图，写出它所受主动力的函数式，然后建立相对应坐标系的运动微分方程。求解运动微分方程要根据初始条件确定积分常数，即质点的运动是由质点的受力和初始条件同时决定。

3.质点相对非惯性参考系矢量形式的微分方程为

其中为相对非惯性参考系的矢径，为牵连惯性力，为科式惯性力。具体应用时取适当形式的投影方程。

质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。

本章根据牛顿第二定律建立了质点运动微分方程，应用此方程可求解质点动力学的两类问题。牛顿定律不适用于非惯性坐标系。本章应用复合运动的分析方法，建立非惯性坐标系与惯性坐标系运动量之间的关系，进而得到适用非惯性坐标系的动力学基本定律。

§11-1质点运动微分方程

1.动力学基本定律--牛顿三定律第一定律--惯性定律：任何质点如不受力作用，则将保持原来静止或等速直线运动状态。

物体保持其运动状况不变的固有属性，称为惯性。质量为物体惯性的度量。

第二定律--在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。即

（11-1）

在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m（米），时间的单位为s（秒）。力的单位为N（牛顿）是导出单位：1N=1kg×1m/s

第三定律--作用反作用定律：两物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，并沿同一条直线分别作用在两个物体上。

2.运动微分方程当物体受几个力作用时，式（11-1）的右端应为这几个力的合力。即

（11-2）

或（11-3）

式（11-3）是矢量形式的微分方程，实际计算时，需应用投影形式。

直角坐标形式微分方程（图11-1）

（11-4）

自然坐标形式的微分方程（图11-2）

（11-5）

§11-2质点动力学的两类问题

第一类问题：已知质点的运动,求作用于质点的力；

第二类问题：已知作用于质点的力,求质点的运动。

第一类问题比较简单，如已知质点的运动方程，只需求两次导数,代入微分方程，即可求解。第二类问题，从数学的角度看，是解微分方程或求积分的问题，积分需确定积分常数，积分常数由初始条件决定。在工程实际中，力一般比较复杂，有的是常力，有的则为变力，变力可表示为时间、速度、坐标等的函数。积分往往比求导数困难，当力的函数形式比较复杂时，只能求出近似的数值解。

例11-1在简谐力作用下质点沿直线的运动

质量为m的质点在已知力作用下沿轴运动，设时，，

，求质点的运动规律。

解：这是一个求质点的直线运动规律的问题，已知力为时间函数。

图11-3为质点在任意位置的受力图。

质点的运动微分方程为：

或

上式可分离变量积分，由运动的初始条件，，确定积分的下限，即：

得

上式可分离变量积分，有

得

图11-4为质点沿x轴的运动图。

例11-2抛射体在与速度一次方成正比的阻尼介质中的运动

在重力作用下，以仰角、初速v0抛射出一物体。假设空气阻力与速度一次方成正比，

方向与之相反，即为阻力系数。试求抛射体的运动方程。

解：作用于质点上的为：重力（常力）和阻力（变力，速度的函数）。取直角坐标系如图示，坐标原点为质点开始运动的位置。列出质点直角坐标形式的运动微分方程：

令，上式可写为：

这是两个独立的线性微分方程，一般解为：

积分常数由运动起始条件时，，，确定，即

求得

将积分常数代入一般解后，得到质点的运动方程为：

上式是以时间t为参数的轨迹方程。质点的速度公式为：

由轨迹方程可看出当时，轨迹以铅垂线为其渐近线。如图11-6所示。由速度公式可看出质点在水平方向的速度不是常数，而是随时间的增加不断地减小，当

时，，。所以当，质点将以其极限速度沿渐近线降落。图11-5中虚线为抛射体在真空中的运动轨迹，对于速度小、射程短的物体来说，忽略空气阻力的影响是合理的。但对于象导弹、火箭等高速、远射程的物体，如略去阻力，理论结果与实际情形就相差甚远。因此研究弹道问题时必须考虑空气阻力。实验证明，空气

阻力值与速度大小的n次方成正比，n又决定于速度大小的范围，可写成。比例系

数决定于空气密度、物体的形状和迎风面面积。

例11-3单摆的大摆动球磨机

图11-7为一单摆。设球的质量为m，杆的质量不计，杆长为l。当杆在

铅垂位置时，球因受冲击，具有水平初速v0。不计空气阻力，研究球的运动和杆对球的约束力。

解：这是非自由质点动力学问题。本题应先由已知的主动力P求质点的运动规律，再根据求得的运动求未知约束力，故同时包含第一类问题和第二类问题。

由于质点运动轨迹是圆弧，故用自然轴系研究较方便。如图11-8所示

，。建立小球的运动微分方程：

上式中第一式建立了主动力与切向加速度的关系，这是非线性的运动微分方程；第二式建立了法向加速度与约束力的关系。

下面分两种情况讨论：（1）微幅摆动

当杆的摆角很小时（），，运动微分方程即成

或

令，则

这是一个常系数二阶线性微分方程，其通解为：

积分常数由起始条件决定。将时，代入后得：

于是，摆角随时间变化的规律为：

小球的运动方程为：

这表明小球沿圆弧作简谐运动，其周期为：

即微幅摆动的周期与摆动的初始条件无关，这种性质称为单摆微幅摆动的等时性。

（2）大幅摆动或圆周运动

如起始速度较大，则不能用代替，质点的运动微分方程的切向投影式为

这是一个常系数二阶非线性微分方程，其解为一椭圆积分，现仅研究其首次积分。

用分离变量后得：