角平分线判定定理课件1

证明： ∵PB⊥AB，PC⊥AC，
A
∴ΔABPΔACP是直角三角形,
在Rt△ABP和Rt△ACP中 ∵PB=PC，
PA=PA，
D
B
C
∴ Rt△ABP≌Rt△ACP,∴∠ BPD=∠CPD P
在ΔDBP和ΔDCP 中,
∵ PB=PC，
∠BPD=∠CPD
PD=PD
∴ △DBP≌△DCP ∴∠BDP= ∠CDP
定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距 离相等.
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA,PE⊥OB垂足分别是D、E
B
求证: PD＝PE
E C
证明：在ΔPOD和ΔPOE中
∠DOP=∠EOP
O
∠PDO=∠PEO
P
D
A
OP=OP
∴ ΔPOD≌ΔPOE
∴PD=PE
问题：你能说出以下定理的逆命题吗？ 角平分线性质定理： 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
•上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条 定理，我们可以用集合叙述：角的平分线是到 角的两边距离相等的所有点的集合
拓展：
我们很容易证明：
三角形三条角平分线交于一点．
图 19.4.6
提示：从图中可以看出，要证明三条角平分线
交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点 一定在第三条角平分线上就可以了．
请你口述完成证明．
• 此定理的逆命题是
• “到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上”，
• 这个命题是否是真命题呢？即到一 个角的两边的距离相等的点是否一 定在这个角的平分线上呢？我们可 以通过“证明”来解答这个问题．
图 19.4.5
定理2、到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平 分线上
• 已知： 如图QD⊥OA， QE⊥OB，点D、E为垂足，
二 选择题：
1：下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2 的距离的是（ 图1 ）
l1
l1
P
P
图1
A
图2
B l2
2：下列两l图2 中，能表示角的平分线上的一点P到角的
边上的距离的是（图1 ）
M
N
P
图1
P
图2
A
A
三.证明：如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D 是AP上一点。
求证： ∠BDP= ∠CDP
• （１） a=8, b=15, c=17；
• （２） a=6, b=10, c=8；
• （3） a=1, b=3, c=2.
• 4． 给定一个三角形的两边长分别为5、12，当 第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？
在一个三角形居住区内修有一个 水厂P，P到AB、BC、CA三边的距离 都相等,请在三角形居住区内标出 水厂P的位置,P在何处？
A BE
证明:如图，过I分别作AM、AN、 D
BC的垂线，垂足分别是D、F、E。M
I
∵ I是△ ABC外M，IE⊥BC，
∴ID=IE，同理， IF=IE，
因此，ID=IF
又∵ID⊥AM，IF⊥AN，
所以，I在∠A的平分线上
C
F N
A
一 填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
华东师大版:初中数学八年级下册—第十九章全等三角形
课题：角平分线的判定定理
课本P91练习题
1． 说出定理“等边三角形的三个内角都相等” 的逆命题，并证明该逆命题为真命题． 2． 如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点， 并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大 小．
(第 2 题)
• 3． 三角形三边长a、b、c分别是下列各组数， 试判断各三角形是不是直角三角形？如果是， 那么哪一个角是直角？
A
B
C
角平分线的性质： 在角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等.
判断：下列说法是否正确
B
1、∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）A
D
∴BD=CD （×）
C
2、∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴BD=CD （×）
A B
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，
D
C
DE⊥AB （已知）
B
∴BD=CD （√） A
例题1、△ABC中，∠B＝∠C，D是BC中点， DE⊥AB,DF⊥AC，求证：DF=DE
证明: ∵∠B＝∠C，
A
∴ △ABC是等腰三角形.
又∵ D是BC中点， ∴∠BAD＝∠ADC， ∵DE⊥AB,DF⊥AC，
F
E
B
D
C
∴DF=DE
例题2、I是△ ABC外角∠MBC， ∠NCB的的平分线的交点 求证：I在∠A的平分线上
•
QD＝QE．
B
• 求证： 点Q在∠AOB的平分线上．
• 证明： 作射线OQ，
• ∵QD⊥OA， QE⊥OB
O
• ∴△DOQ和△EOQ是Rt△ ，
E
C
Q
D
A
• 在Rt△DOQ和Rt△EOQ中，
• ∵QD＝QE．
• QO＝QO
• ∴Rt△DOQ≌Rt△EOQ，∴∠AOQ＝∠BOQ． • ∴点Q在∠AOB的平分线上
D
C
• 回忆 • 相等我．们角知平道分角线平的分这线条上性的质点是到怎这样个得角到的的两呢边图 1？的9.4.距4 离 • 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，
PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．当时是 在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折， 通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝ PE． • 与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻 辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形 △PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便 可证得PD＝PE．
E
∴__D_C__=_D_E____
CD
B
(__角__平__分__线__上__的__点__到__角__的__两__边__的__距__离__相__等_____)
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=__∠__2__
(_到__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__角__平__分__线__上__。___)
定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离 相等. 定理2、到一个角的两边的距离相等的点在这个角的 平分线上 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
交流反思
等边三角形三条对称轴的交点到各边的
距离都相等吗？请说明理由。
A
F O
E
B
D
C
• 课本P92:练习
• 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到 ∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
• 2． 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平 分线相交于点F，求证： 点F在∠DAE的平分线 上．