结构力学位移法8
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§6-6 平衡方程法建立位移法方程
一. 转角位移方程
A
FP t1
杆端力符号规定:
θA EI t2
杆端弯矩---绕杆端顺时针为正
杆端剪力---同前
l
杆端转角---顺时针为正
θA
杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正 4i A
B
θB ΔAB 2i A
M
AB
4i A
2i B
6i l
ΔAB
M
F AB
M
BA
M AB
3i A
3i l
ΔAB
M
F AB
θA
FP t1
A EI t2
FQAB
3i l
A
3i l2
ΔAB
FQFAB
l
FQBA
3i l
A
3i l2
ΔAB
FQFBA
A端固定B端定向杆的转角位移方程为
M AB
i A
M
F AB
M BA
i A
M
F BA
θA
FP t1
EI t2
l
B
ΔAB
二.平衡方程法建立位移法方程
A
l l
4i 2i
FP
M DA
D
C
D
EI=C B
M DB
l/2 l/2
Δ1 1
4i
3i
3FPl/16
2i
M DA M DB M DC 0 M DC M DA 4iΔ1 M AD 2iΔ1
M DB 4iΔ1 M BD 2iΔ1 M DC 3iΔ1 3FPl /16
11iΔ1 3FPl /16 0
4i B
2i A
6i l
ΔAB
M
F BA
FQAB
6i l
A
6i l
B
12i l2
ΔAB
FF QAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
ΔAB
FF QBA
转角位移方程
2i B
6iΔAB / l
M
F AB
+
θB
4i B
+ 6iΔAB / l
ΔAB
+
FP t1
t2
M
F BA
A端固定B端铰支杆的转角位移方程为
例题6-12 已知图示梁的抗弯EI 刚2度10为4kNm2
利用转动刚度和传递系数的概念计算B截面转角
10kN
A EI 4m
A
20kN.m
B EI
C
4m
40kN.m
10kN
B
C
M图
解:
SBA
4i
4 2104 kN m2 4m
2104 kN m
B
M BA
/
SBA
40kN m 2104 kN m
A
B M BA
i
B
M BA =4iB
传递系数：远端弯矩与近端弯矩的比值
1 4i A
i
B 2i
C AB
远端（B端）弯矩 近端（A端）弯矩
2i 4i
1 2
A1 i
i
B
C AB
远端（B端）弯矩 近端（A端）弯矩
i i
1
i
远端为铰支或自由端时，传递系数为零。 有了近端弯矩和传递系数即可算出远端弯
远端弯矩称为传递弯矩。
FP
k11Δ1 F1P 0
k11 11i F1P 3FPl /16
11iΔ1 3FPl /16 0
例6-11. 位移法计算图示结构，作弯矩图。EI=常数。
ql
q
l/2 B
ql
l/2 A EI=常数 l
Δ2Δ1
D
C
ql
FQBA
FQDC
MDB D
MDC
ql FQBA FQDC 0
FQBA
3i l
A
3i l2
ΔAB
FQFBA
3i l2
Δ1
FQDC
6i l
C
6i l
D
12i l2
ΔCD
FQFCD
6i l
Δ2
12i l2
Δ1
ql 2
15i l2
Δ1
6i l
Δ2
3 2
ql
0
M DB M DC 0
M DC
百度文库4iD
2iC
6i l
ΔDC
M
F DC
4iΔ2
6i l
Δ1
1 8
ql 2
M DB
3i D
Δ2
X7 Δ5
ql
q
Δ1 ql
Δ2
ql
X3
k11Δ1 k12 Δ2 k13 X 3 F1P 0 k21Δ1 k22 Δ2 k23 X 3 F2P 0 31Δ1 32 Δ2 33 X 3 Δ3P 0
Δ1 14i k21
k11
2i
4i 4i
2i
2i
M1
31
k12
Δ2 1 4i
转动刚度是施力端没有线位移情况=M下=使4i本端 角所需施加的力矩，是对转动的抵抗能力。施力端 端，另一端称为远端。
SAB A 1i
B
SAB A
B
1
i
S AB
1 A
B i
3i 1 A i
B
1A
B
i
i
0 1A
i
B
SAB =3i
SAB =i
SAB =0
转动刚度除了与线刚度有关，还与远端支承 利用转动刚度可将杆端弯矩用杆端转角表示
3i l
ΔDB
M
F DB
3iΔ2
1 ql2 8
6i l
Δ1
7iΔ2
1 4
ql 2
0
§6-7 混合法
力法: 基本未知量为多余约束力。
q
位移法: 基本未知量为结点位移。 混合法：基本未知量中既有多余
约束力又有结点位移。
ql EI=C ql
q
ql
ql
X3
X1 X6 X4
X2 Δ3
X5 Δ4
q
Δ1 ql
§6-8 力矩分配法
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构 本节中规定所有杆端弯矩均以绕杆端顺时针方 一. 基本概念 1．转动刚度、传递系数
使AB杆的A端产生单位转角，在A端所需施加 M力矩A 1称为Ai B杆AB端的4i 转A1动刚度i ，记作B SASB。AB
k22
2i
M2
32
l
k13
k23
M3
33
X3 1
ql2
ql 2 12
q
F1P
qqll
F2P
EI=C qql l
ql 2
MP
8
Δ3P
q
Δ1 ql
Δ2
ql
X3
k11Δ1 k12 Δ2 k13 X 3 F1P 0 k21Δ1 k22 Δ2 k23 X 3 F2P 0 31Δ1 32 Δ2 33 X 3 Δ3P 0
2 103
m
m
练习：作弯矩图
EI
b
m/2
a
一. 转角位移方程
A
FP t1
杆端力符号规定:
θA EI t2
杆端弯矩---绕杆端顺时针为正
杆端剪力---同前
l
杆端转角---顺时针为正
θA
杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正 4i A
B
θB ΔAB 2i A
M
AB
4i A
2i B
6i l
ΔAB
M
F AB
M
BA
M AB
3i A
3i l
ΔAB
M
F AB
θA
FP t1
A EI t2
FQAB
3i l
A
3i l2
ΔAB
FQFAB
l
FQBA
3i l
A
3i l2
ΔAB
FQFBA
A端固定B端定向杆的转角位移方程为
M AB
i A
M
F AB
M BA
i A
M
F BA
θA
FP t1
EI t2
l
B
ΔAB
二.平衡方程法建立位移法方程
A
l l
4i 2i
FP
M DA
D
C
D
EI=C B
M DB
l/2 l/2
Δ1 1
4i
3i
3FPl/16
2i
M DA M DB M DC 0 M DC M DA 4iΔ1 M AD 2iΔ1
M DB 4iΔ1 M BD 2iΔ1 M DC 3iΔ1 3FPl /16
11iΔ1 3FPl /16 0
4i B
2i A
6i l
ΔAB
M
F BA
FQAB
6i l
A
6i l
B
12i l2
ΔAB
FF QAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
ΔAB
FF QBA
转角位移方程
2i B
6iΔAB / l
M
F AB
+
θB
4i B
+ 6iΔAB / l
ΔAB
+
FP t1
t2
M
F BA
A端固定B端铰支杆的转角位移方程为
例题6-12 已知图示梁的抗弯EI 刚2度10为4kNm2
利用转动刚度和传递系数的概念计算B截面转角
10kN
A EI 4m
A
20kN.m
B EI
C
4m
40kN.m
10kN
B
C
M图
解:
SBA
4i
4 2104 kN m2 4m
2104 kN m
B
M BA
/
SBA
40kN m 2104 kN m
A
B M BA
i
B
M BA =4iB
传递系数：远端弯矩与近端弯矩的比值
1 4i A
i
B 2i
C AB
远端（B端）弯矩 近端（A端）弯矩
2i 4i
1 2
A1 i
i
B
C AB
远端（B端）弯矩 近端（A端）弯矩
i i
1
i
远端为铰支或自由端时，传递系数为零。 有了近端弯矩和传递系数即可算出远端弯
远端弯矩称为传递弯矩。
FP
k11Δ1 F1P 0
k11 11i F1P 3FPl /16
11iΔ1 3FPl /16 0
例6-11. 位移法计算图示结构，作弯矩图。EI=常数。
ql
q
l/2 B
ql
l/2 A EI=常数 l
Δ2Δ1
D
C
ql
FQBA
FQDC
MDB D
MDC
ql FQBA FQDC 0
FQBA
3i l
A
3i l2
ΔAB
FQFBA
3i l2
Δ1
FQDC
6i l
C
6i l
D
12i l2
ΔCD
FQFCD
6i l
Δ2
12i l2
Δ1
ql 2
15i l2
Δ1
6i l
Δ2
3 2
ql
0
M DB M DC 0
M DC
百度文库4iD
2iC
6i l
ΔDC
M
F DC
4iΔ2
6i l
Δ1
1 8
ql 2
M DB
3i D
Δ2
X7 Δ5
ql
q
Δ1 ql
Δ2
ql
X3
k11Δ1 k12 Δ2 k13 X 3 F1P 0 k21Δ1 k22 Δ2 k23 X 3 F2P 0 31Δ1 32 Δ2 33 X 3 Δ3P 0
Δ1 14i k21
k11
2i
4i 4i
2i
2i
M1
31
k12
Δ2 1 4i
转动刚度是施力端没有线位移情况=M下=使4i本端 角所需施加的力矩，是对转动的抵抗能力。施力端 端，另一端称为远端。
SAB A 1i
B
SAB A
B
1
i
S AB
1 A
B i
3i 1 A i
B
1A
B
i
i
0 1A
i
B
SAB =3i
SAB =i
SAB =0
转动刚度除了与线刚度有关，还与远端支承 利用转动刚度可将杆端弯矩用杆端转角表示
3i l
ΔDB
M
F DB
3iΔ2
1 ql2 8
6i l
Δ1
7iΔ2
1 4
ql 2
0
§6-7 混合法
力法: 基本未知量为多余约束力。
q
位移法: 基本未知量为结点位移。 混合法：基本未知量中既有多余
约束力又有结点位移。
ql EI=C ql
q
ql
ql
X3
X1 X6 X4
X2 Δ3
X5 Δ4
q
Δ1 ql
§6-8 力矩分配法
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构 本节中规定所有杆端弯矩均以绕杆端顺时针方 一. 基本概念 1．转动刚度、传递系数
使AB杆的A端产生单位转角，在A端所需施加 M力矩A 1称为Ai B杆AB端的4i 转A1动刚度i ，记作B SASB。AB
k22
2i
M2
32
l
k13
k23
M3
33
X3 1
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ql 2 12
q
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Δ1 ql
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X3
k11Δ1 k12 Δ2 k13 X 3 F1P 0 k21Δ1 k22 Δ2 k23 X 3 F2P 0 31Δ1 32 Δ2 33 X 3 Δ3P 0
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m
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练习：作弯矩图
EI
b
m/2
a