第三章(第3节)单自由度系统的强迫振动解析

0 0 0


0
ˆ F (t )dtdt

ˆ 常量 (t )dt F
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——脉冲响应
ˆ (t )dt m[ x (0 ) x (0 )] c[ x(0 ) x(0 )] _ kxdt F
注意，(t-a)是一个沿着时间轴的正向移动了 a时间的单 位脉冲。
Байду номын сангаас


(t a)dt 1
(3.3-2)
图 3.3-1
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——单位脉冲
数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面积 和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实应用中实 现。
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——脉冲响应
脉冲响应为
1 nt e sin d t h(t ) md 0 (t 0) (t 0)
(3.3-13)
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
2 卷积积分
利用脉冲响应，可以计算对任意激励函数 F(t) 的响 应，把 F(t) 视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近 似地代替激励F(t )。 如图 3.3-2 所示，在任意时刻 t=处，相应的时间增量为，由 一个大小为 F() 的脉冲，相应 的力可以用数学表示为
0 0
根据式(3.3-6),考虑到x(0-)=0，则有 x(0+)= 0 (3.3-8) ˆ (t )作用的极短时间内，质量 m 也就是说，在脉冲力 F 还来不及发生位移。 对方程(3.3-4)在区间0-t 0+上积分一次，有
0 0
同理，得
ˆ F x (0 ) m
假定系统在作用脉冲力F(t)之前处于静止，即
x (0 ) x ( 0 )0
(3.3-5)
由于F(t)作用在t=0处，对于t0+，系统不再受脉冲力的作 用，但其影响依然存在。
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——脉冲响应
把求解单自由度阻尼系统对脉冲力 F(t) 的响应问题 变换为系统对于零初始条件的响应问题，将变成 t=0+处 的初始条件引起的自由振动。 为了找出t=0+的初始条件，对方程(3.3-4)在区间0-t 0+上积分两次，有
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——单位脉冲
一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，称 为系统的脉冲响应。 宽度T0，高度1/T0的矩形脉冲，如图3.3-1(a)所示。 这个矩形脉冲的面积为1。
图 3.3-1
为了得到单位脉冲，使脉冲宽度T0接近于零，而保 持面积为1。
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
ˆ m v0 F
(3.3-9) (3.3-10)
若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时 变化，可以认为在 t=0 时作用的脉冲力等效于初始速度
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——脉冲响应
方程(3.3-4)等价于初始速度引起的自由振动，即
cx kx 0 m x
1 脉冲响应——脉冲响应
ˆ ，则对应 如果在 t=0与 t=a处分别作用有瞬时冲量 F 的脉冲力可方便地写成
ˆ t F F (t ) ˆ t a F ˆ的单位为N· 式中 F s。 (t 0) (t a)
(3.3-3)
ˆ (t ) 的响应， 单自由度阻尼系统对脉冲力F (t ) F 系统振动微分方程为 ˆ (t ) (3.3-4) m x cx kx F
简谐激励是周期激励的一种特例；周期激励是任意激 励的一种特例。
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
求解系统任意激励响应的方法
◆傅里叶积分法
该方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶 级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。 实质上激励不再是周期性的。
◆卷积积分法
该方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加， 引用卷积积分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程， 都可以用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的 解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。
1 脉冲响应——单位脉冲
在极限情况下，单位脉冲的数学定义为 (t ) 0 （t 0) (t )dt 1 这个脉冲发生在 t=0处，如图 3.3-1(b) 所示。如果单位脉冲发生在 t=a 处， 则它可由下式定义
(3.3-1)
(t a) 0 （t a)
在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系 统的固有周期 (T=1/f ) 相比时非常的短，则激励就可以 考虑为一个脉冲。 具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形脉冲)， 都可用来作为一个脉冲，而且称为函数。
函数的单位为s-1，在其它方面的情况，函数将有
不同的量纲。
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
其解为 ˆ F
ˆ F (0) x(0) 0, x m
n t
(3.3-11)
e x(t ) md 0
sin d t , d 1 n
2
(t 0) (t 0)
(3.3-12) ˆ 1 令 F ，则系统受单位脉冲力 F(t)=(t) 的作用，其响 应称为脉冲响应。
m[ x(0 ) x(0 )] cxdt
0 0 0
0
0
0


0
0

kxdtdt
(3.3-6)
因为
(3.3-7) 则方程(3.3-6)中的左端第二项、第三项、右端项的积分 值均为无限小量，可以略去不计。

ˆ F (t )dt

ˆ (t )dt F ˆ F
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
任意激励
在许多实际问题中，激励并非是周期性函数，而是 任意的时间函数，或者是在极短时间间隔内的冲击作用。 ●列车在起动时各车厢挂钩之间的冲击力； ●火炮在发射时作用于支承结构的反座力； ●地震波或爆炸形成的冲击波等对建筑物的作用； ●精密仪表在运输过程中包装箱速度的突变。 系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作用停 止后的自由振动，称为任意激励的响应。