电磁感应导轨问题归纳(有问题详解)

应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨＋杆”模型问题
常见模型--------------------------------------------------------------------------------------------------------1
一、单棒问题--------------------------------------------------------------------------------------------------1
1、发电式
(一）导轨竖直-------------------------------------------------------------------------------------------------2
（二）导轨水平-------------------------------------------------------------------------------------------------4
（三）导轨倾斜-------------------------------------------------------------------------------------------------7
1电容有外力充电式------------------------------------------------------------------------------------------14
2、阻尼式-------------------------------------------------------------------------------------------------------17
3、电动式-------------------------------------------------------------------------------------------------------18
二、“双杆+导轨”模型二、双棒问题
1、无外力等距双棒--------------------------------------------------------------------------------------------18
2、有外力等距双棒--------------------------------------------------------------------------------------------19
三、在竖直导轨上的“双杆滑动”问题
1.等间距型-------------------------------------------------------------------------------------------------------20
2.不等间距型----------------------------------------------------------------------------------------------------21
四、在水平导轨上的“双杆滑动”问题
1.等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外）---------------------------------------------------22
2..不等间距水平导轨，无水平外力作用---------------------------------------------------------------------23
3.等间距水平导轨，受水平外力作用（安培力除外）--------------------------------------------------24
五、绳连的“双杆滑动”问题---------------------------------------------------------------------------------26
应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨＋杆”模型问题
大概
1．模型概述
“导轨＋杆”模型是电磁感应问题在高考命题中的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“导轨＋杆”模型又分为“单杆”型和“双杆”型；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，情景复杂，形式多变．
2．
流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度
a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v
最大，最后匀速运动
力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培
力F＝mgsin α时，a＝0，v最大，
最后匀速运动
能
量
转
化
通过安培力做功，把电能转化为动
能
克服安培力做功，把重力势能转化
为能
运动
形式
变加速运动变加速运动
最终
状态
匀速运动，vm＝
E′
BL
匀速运动
vm＝
mgRsin α
B2L2
一、单棒问题
1、发电式
（1）电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv
（2）安培力特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大
（3）加速度特点：加速度随速度增大而减小
（4）运动特点：加速度减小的加速运动
（5）最终状态：匀速直线运动
（6）两个极值
①v=0时,有最大加速度：
②a=0时,有最大速度：
（7）能量关系
（8）动量关系
（9）变形：摩擦力；改变电路；改变磁场方向；改变轨道
F
N
M
m
F mg
a
m
μ
-
=
22
-+
=
()()
m
F mg R r
v
B l
μ
2
1
2
E m
Fs Q mgS mv
μ
=++
m
Ft BLq mgt mv
μ
--=-
F B
F
解题步骤：解决此类问题首先要建立“动→电→动”的思维顺序，可概括总结为： (1)找”电源”，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动势的大小和方向； (2)画出等效电路图，求解回路中的电流的大小及方向；
(3)分析安培力对导体棒运动速度、加速度的动态过程，最后确定导体棒的最终运动情况； (4)列出牛顿第二定律或平衡方程求解． (一）导轨竖直
1、如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 竖直放置，其宽度L ＝1 m ，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M 与P 之间连接阻值为R ＝0.40 Ω的电阻，质量为m ＝0.01 kg 、电阻为r ＝0.30 Ω的金属棒ab 紧贴在导轨上．现使金属棒ab 由静止开始下滑，下滑过程中ab 始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x 与时间t 的关系如图乙所示，图象中的OA 段为曲线，AB 段为直线，导轨电阻不计，g ＝10 m/s2(忽略ab 棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
甲 乙
(1)磁感应强度B 的大小； (2)金属棒ab 在开始运动的1.5 s ，通过电阻R 的电荷量； (3)金属棒ab 在开始运动的1.5 s ，电阻R 上产生的热量． 答案 (1)0.1 T (2)0.67 C (3)0.26 J
解析 (1)金属棒在AB 段匀速运动，由题中图象乙得： v ＝Δx Δt ＝7 m/s I ＝BLv r ＋R
，mg ＝BIL 解得B ＝0.1 T
(2)q ＝I Δt I ＝ΔΦR ＋r Δt ΔΦ＝ΔS
Δt
B 解得：q ＝0.67 C
(3)Q ＝mgx －12mv2 解得Q ＝0.455 J 从而QR ＝R
r ＋R
Q ＝0.26 J
2、 如图所示，竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距L ，导轨间接有一定值电阻R ，质量为m ，电阻为r 的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h 时开始做匀速运动，在此过程中
( )
A ．导体棒的最大速度为2gh
B ．通过电阻R 的电荷量为BLh
R ＋r
C ．导体棒克服安培力做的功等于电阻R 上产生的热量
D ．重力和安培力对导体棒做功的代数和等于导体棒动能的增加量 答案 BD
3、如图2所示，电阻为R ，其他电阻均可忽略，ef 是一电阻
可不计的水平放置的导体棒，质量为m ，棒的两端分别与ab 、cd 保 持良好接触，又能沿框架无摩擦下滑，整个装置放在与框架垂直的 匀强磁场中，当导体棒ef 从静止下滑一段时间后闭合开关S ，则S 闭合后 ( ) A ．导体棒ef 的加速度可能大于g B ．导体棒ef 的加速度一定小于g
C ．导体棒ef 最终速度随S 闭合时刻的不同而不同
D ．导体棒ef 的机械能与回路产生的电能之和一定守恒
4、MN 和PQ 为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l 为0.40m ，电阻不计．导轨所在平面与磁感应强度B 为0.50T 的匀强磁场垂直．质量m 为6.0×10-3kg 、电阻为1.0Ω的金属杆ab 始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R 1．当杆ab 达到稳定状态时以速率υ匀速下滑，整个电路消耗的电功率P 为0.27W ，重力加速度取10m/s 2，试求速率υ和滑动变阻器接入电路部分的阻值R 2．
5、如图，两根足够长的金属导轨ab 、cd 竖直放置，导轨间距离为L 1电阻不计。

在导轨上端并接两个额定功率均为P 、电阻均为R 的小灯泡。

整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。

现将一质量为m 、电阻可以忽略的金属棒MN 从图示位置由静止开始释放。

金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好。

已知某时刻后两灯泡保持正常发光。

重力加速度为g 。

求： (1)磁感应强度的大小：
(2)灯泡正常发光时导体棒的运动速率。

解析：每个灯上的额定电流为P
I R
=
额定电压为：P U R = （1）最后MN 匀速运动故：B2IL=mg 求出：2mg PR
B PL
=
（2）U=BLv 得：2PR P
v BL mg
==
（二）导轨水平
3． 如图3所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面，间距为l ，导轨左端连接一个电阻．一根质量为m 、电阻为r 的金属杆ab 垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d 处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加一个大小为F 、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v ，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求： (1)导轨对杆ab 的阻力大小Ff. (2)杆ab 过的电流及其方向．
(3)导轨左端所接电阻的阻值R.
答案 (1)F －mv22d (2)mv22Bld ，方向由a 流向b (3)2B2l2d
mv －r
解析 (1)杆ab 进入磁场前做匀加速运动，有 F －Ff ＝ma v2＝2ad
解得导轨对杆的阻力Ff ＝F －mv2
2d
(2)杆ab 进入磁场后做匀速运动，有 F ＝Ff ＋F 安
杆ab 所受的安培力F 安＝IBl
解得杆ab 过的电流I ＝mv2
2Bld
由右手定则判断杆中的电流方向自a 流向b (3)杆运动过程中产生的感应电动势E ＝Blv
杆中的感应电流I ＝E
R ＋r
解得导轨左端所接电阻阻值R ＝2B2l2d
mv －r
13．如图 ，二相互平行的光滑金属导轨位于水平面，间距，在导轨的一端接有阻值为
的电阻；
在
区域有一与水平面垂直的均匀磁场
；一质量为
的金属杆垂直放置在导轨上并以
的初速度进入磁场中，在安培力及垂直于杆的水平外力F 共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为方向与初速度方向相反；设导轨及金属杆的电阻均不计且接触良好
求：（1）电流为0时金属杆所处的位置？（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小及方向？（3）保持其它条件不变而初速度取不同值，则
开始时外力F 的方向与初速度
取值的关系？
解析：由题意知杆必向右作匀减速直线运动到速度为0后再向左作匀加速直线运动直到离开磁场区域，故电流为0时表示杆的速度为0；
杆向右匀减速直线运动的位移为得；杆的运动速度变化时电路中的电动势变化，故电流相应变化，由电动势有杆运动的速度最大则电路中感应电动势最大、电流最大，即最大电流必为；当电流为最大值的一半时即时：
①若此时杆向右运动，则外力方向不定，我们假设外力F水平向右由牛顿定律有即
，故杆向右运动中外力F大小为0．18N方向水平向左；②若此时杆向左运动，则外力F方向必水平向左且有即代入数据得。

（3）杆开始运动时速度为，则电动势为，故安培力为；那么对杆由牛顿定律有即：
当即时，表示外力F方向与X轴方向相反；
当即时，表示外力F方向与X轴方向相同.
【例2】如图所示，质量m1=0.1kg，电阻R1=0.3Ω，长度l=0.4m的导体棒ab横放在U型金属框架上。

框架质量m2=0.2kg，放在绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，相距0.4m的MM’、NN’相互平行，电阻不计且足够长。

电阻R2=0.1Ω的MN垂直于MM’。

整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T。

垂直于ab施加F=2N 的水平恒力，ab从静止开始无摩擦地运动，始终与MM’、NN’保持良好接触，当ab运动到某处时，框架开始运动。

设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.
（1）求框架开始运动时ab 速度v 的大小；
（2）从ab 开始运动到框架开始运动的过程中，MN 上产生的热量Q=0.1J ，求该过程ab 位移x 的大小。

【解析】：（1）ab 对框架的压力11F m g
= ①
框架受水平面的支持力
21
N F m g F =+
②
依题意，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则框架受到最大静摩擦力
2N
F F μ= ③
ab 中的感应电动势E Blv =
④
MN 中电流
12E I R R =
+ ⑤ MN 受到的安培力F IlB =安 ⑥ 框架开始运动时
2
F F =安
⑦
由上述各式代入数据解得6/v m s = ⑧
（2）闭合回路中产生的总热量
12
2
R R Q Q R +=
总 ⑨
由能量守恒定律，得211
2Fx m v Q =
+总 ⑩
代入数据解得 1.1x m =
○11
【例3】如图7-9甲所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距L=0.20m ，电阻R=1.0Ω，有一导体杆静止放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻可忽略不计，整个装置处于磁感强度B=0.50T 的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下，现用一外力F 沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F 与时间t 的关系如图7-9乙所示，求杆的质量m 和加速度a.
（1）如图所示。

（4分） （2）对杆应用牛顿定律，得 (2分)
（1分） （1分） （1分） 由以上各式得：
(3
分) 分别把t 1＝0、F 1＝2N 及t 1＝10s 、F 1＝3N 代入上式解得 m=0.2kg (1分)、 a =10m/s 2
(1分)
【答案】m=0.1kg, a=10m/s2
16．（13分）如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN 、M ´N ´位于同一水平面上，两轨道之间的距离l=0.50m ．轨道的MM ´端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，NN ´端与两条位于竖直面的半圆形光滑金属轨道NP 、N ´P ´平滑连接，两半圆轨道的半径均为R 0=0.50m ．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64 T 的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=0.80m ，且其右边界
与NN ´重合．现有一质量m =0.20kg 、电阻r =0.10Ω的导体杆ab 静止在距磁场的左边界s=2.0m 处．在与杆垂直的水平恒力F=2.0N 的作用下ab 杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F ，结果导体杆ab 恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP ´．已知导体杆ab 在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab 与直轨道之间的动摩擦因数μ=0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g =10m/s 2，求： ⑴导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向； ⑵导体杆穿过磁场的过程过电阻R 上的电荷量； ⑶导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．
9．（本题特点：B 变S 不变）如图所示，导轨是水平的，其间距l 1=0.5m ，ab 杆与导轨左端的距离l 2=0.8m ，由导轨与ab 杆所构成的回路电阻为0.2Ω，方向垂直导轨平面向下的匀强磁场的磁感应强度B 0=1T ，滑轮下挂一个重物M 质量为0.04kg ，ab 杆与导轨之间的摩擦不计，现使磁场以
s T t
B
/2.0=∆∆的变化率均匀的增大， 问：当t 为多少时，M 刚离开地面。

解析：闭合回路的磁通量发生变化，要产生感应电流，在磁场中受到安培力的作用，当绳子绷紧，物体M 刚要离开地面时，绳子中拉力大小F 1应等于重力大小，也等于棒ab 所受的安培力F 2的大小，即 Mg F =1 21F F = 而12BIl F =，从而得1BIl Mg =
其中t t t B B B 2.010+=⋅∆∆+
=， A R
t B
l l R
E I 4.021=∆∆⋅
== 代入数据得s t 5.0=
（三）导轨倾斜
【例3】如图所示，AB 、CD 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L ，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B ，在导轨的 AC 端连接一个阻值为 R 的电阻，一根质量为m 、垂直于导轨放置的金属棒ab ，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab 棒的最大速度。

已知ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计。

求金属棒的最大速度？
解析：ab 沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力mg ，支持力FN 、摩擦力Ff 和安培力F 安，如图所示，ab 由静止开始下滑后，将是↓
↑→↑→↑→↑→a F I E v 安（↑为增大符
号），所以这是个变加速过程，当加速度减到a=0时，其速度即增到最大v=vm ，此时必将
处于平衡状态，以后将以vm 匀速下滑
ab 下滑时因切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律： E=BLv ① 闭合电路AC ba 中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律： I=E/R ②
据右手定则可判定感应电流方向为aAC ba ，再据左手定则判断它受的安培力F 安方向如图示，其大小为： F 安=BIL ③
取平行和垂直导轨的两个方向对ab 所受的力进行正交分解，应有：
FN = mgcos θ Ff= μmgcos θ
由①②③可得
R v L B F 22=
安 以ab 为研究对象，根据牛顿第二定律应有：
mgsin θ –μmgcos θ-R v
L B 22=ma
ab 做加速度减小的变加速运动，当a=0时速度达最大
因此，ab 达到vm 时应有： mgsin θ –μmgcos θ-R v
L B 22=0 ④
由④式可解得()22cos sin L B R mg v m θμθ-=
注意：（1）电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量、动量方面来解决问题。

（2）在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图。

4．如图所示，金属框架与水平面成30°角，匀强磁场的磁感强度B=0.4T ，方向垂直框架平面向上，金属棒长l ＝0.5m ，重量为0.1N ，可以在框架上无摩擦地滑动，棒与框架的总电阻为2Ω，运动时可认为不变，问：
(1)要棒以2m ／s 的速度沿斜面向上滑行，应在棒上加多大沿框架平面方向的外力？ (2)当棒运动到某位置时，外力突然消失，棒将如何运动？ (3)棒匀速运动时的速度多大？
(4)达到最大速度时，电路的电功率多大？重力的功率多大？
13.如图13所示，MN 、PQ 两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨间距为d .空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B .P 、M 间所接电阻阻值为R .质量为m 的金属杆ab 水平放置在轨道上，其有效电阻为r .现从静止释放ab ，当它沿轨道下滑距离s 时，达到最大速度．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g .求：
(1)金属杆ab 运动的最大速度； (2)金属杆ab 运动的加速度为1
2g sin θ时，电阻R 上的电功率；
(3)金属杆ab 从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功．
12． 如图所示，倾角θ=30º、宽度L =1m 的足够长的“U ”形平行光滑金属导轨固定在磁感应强度B =1T ，围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下。

用平行于轨道的牵引力拉一根质量m =0.2㎏、电阻R =1Ω的垂直放在导轨上的金属棒a b ，使之由静止开始沿轨道向上运动。

牵引力做功的功率恒为6W ，当金属棒移动2.8m 时，获得稳定速度，在此过程中金属棒产生的热量为5.8J ，不计导轨电阻及一切摩擦，取g =10m/s 2。

求：
（1）金属棒达到稳定时速度是多大？
（2）金属棒从静止达到稳定速度时所需的时间多长?
解：（1）金属棒沿斜面上升达稳定速度时，设所受的安培力为F 安，由平衡条件得：
F =mg sin θ+F 安
而F 安=BIL =B
R BLv L 又v
P
F 联立以上三式解得v = 2m/s
（2）由能量转化与守恒定律可得 Pt = mgs sin θ+
2
2
1mv +Q 代入数据解得：t =1.5s
1． (2012·理综·20)如图8所示，相距为L 的两条足够长的光滑 平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R ，匀强 磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B.将质量为m 的导体棒由 静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加 一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P ，导体棒
最终以2v 的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好， 图8 不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g.下列选项正确的是 ( ) A ．P ＝2mgvsin θ B ．P ＝3mgvsin θ
C ．当导体棒速度达到v 2时加速度大小为g
2
sin θ
D ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功 答案 AC
解析 根据I ＝E R ＝BLv
R ，导体棒由静止释放，速度达到v 时，回路中的电流为I ，则根据
共点力的平衡条件，有mgsin θ＝BIL.对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，使其以2v 的速度匀速运动时，则回路中的电流为2I ，则根据平衡条件，有F ＋mgsin θ＝B ·2IL ，所
以拉力F ＝mgsin θ，拉力的功率P ＝F ×2v ＝2mgvsin θ，故选项A 正确，选项B 错误；
当导体棒的速度达到v 2时，回路中的电流为I 2，根据牛顿第二定律，得mgsin θ－B I 2L ＝ma ，解得a ＝g
2sin θ，选项C
正确；当导体棒以2v 的速度匀速运动时，根据能量守恒定律知，重力和拉力所做的功之和等于R 上产生的焦耳热，故选项D 错误．
如图所示，电阻可忽略的光滑平行金属导轨长s ＝1.15 m ，两导轨间距L ＝0.75 m ，导轨倾角为30°，导轨上端ab 接一阻值R ＝1.5 Ω的电阻，磁感应强度B ＝0.8 T 的匀强磁场垂直轨道平面向上．阻值r ＝0.5 Ω、质量m ＝0.2 kg 的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab 处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热Qr ＝0.1 J ．(取g ＝10 m/s2)求：
(1)金属棒在此过程中克服安培力做的功W 安； (2)金属棒下滑速度v ＝2 m/s 时的加速度a ；
(3)为求金属棒下滑的最大速度vm ，有同学解答如下：由动能定理，WG －W 安＝12mv 2
m ，….由此所得结果是否正确？
若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答． 答案 (1)0.4 J (2)3.2 m/s2 (3)见解析
解析 (1)下滑过程中安培力做的功即为电阻上产生的焦耳热，由于R ＝3r ，因此 QR ＝3Qr ＝0.3 J
所以W 安＝Q ＝QR ＋Qr ＝0.4 J
(2)金属棒下滑时受重力和安培力
F 安＝BIL ＝B2L2
R ＋r
v
由牛顿第二定律得mgsin 30°－B2L2
R ＋r
v ＝ma
所以a ＝gsin 30°－B2L2
m R ＋r v
＝ m/s2＝3.2 m/s2 (3)此解确．
金属棒下滑时受重力和安培力作用，其运动满足
mgsin 30°－B2L2
R ＋r
v ＝ma
上式表明，加速度随速度增大而减小，棒做加速度减小的加速运动．无论最终是否达到 匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大．由动能定理可以得到棒的最大速度，因此 上述解确．
mgssin 30°－Q ＝12mv 2
m
所以vm ＝ 2gssin 30°－2Q
m
＝
2×10×1.15×12－2×0.4
0.2
m/s ≈2.74 m/s.
【例1】如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m ，上、下两端各有一个电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B ＝2T.ab 为金属杆，其长度为L ＝0.4 m ，质量m ＝0.8 kg ，电阻r ＝0.5Ω，棒与框架的动
摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R0
产生的热量Q0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g 取10m ／s2)求：（1）杆ab 的最大速度；（2）从开始到速度最大的过程中ab 杆沿斜面下滑的距离；（3）在该过程过ab 的电荷量.
【解析】该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。

杆ab 达到平衡时的速度即为最大速度v ，这时mgsin θ—F —N μ =0，N=mgcos θ ∴F=mg （sin θ—μcos θ）
总电阻Ω=+=
120r R R ，Blv E =，R E I =，BIL F = R v L B F 22=，得s m L
B R mg v 5.2)cos (sin 22=-=θμθ
克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即
J
Q Q Q W 5.12200=+==，
由动能定理：
021cos sin 2
-=
--mv mg W smg θμθ
)cos (sin 212
θμθ-+=
mg W mv s =2.5m
通过ab 的电荷量
R BLs
t I q =
∆=，代入数据得q ＝2 C
如图所示，固定的光滑金属导轨间距为L ，导轨电阻不计，上端a 、b 间接有阻值为R 的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。

质量为m 、电阻为r 的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上。

初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v0。

整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。

已知弹簧的劲度系数为k ，弹簧的中心轴线与导轨平行。

⑴求初始时刻通过电阻
R 的电流I 的大小和方向；
⑵当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v ，求此时导体棒的加速度大小a ；
⑶导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为Ep ，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 。

【答案】⑴棒产生的感应电动势
1BLv E = （1分）
通过R 的电流大小
r R BLv r R E I +=
+=
01
1（1分）
电流方向为b→a
（2分）
⑵棒产生的感应电动势为BLv E =2 （1分）
感应电流
r R BLv
r R E I +=
+=
22
（1分）
棒受到的安培力大小
r R v
L B BIL F +=
=22，方向沿斜面向上 （2分） 根据牛顿第二定律 有 ma F mg =-θsin （1分）
解得
)(sin 22r R m v
L B g a +-
=θ （1分）
⑶导体棒最终静止，有 kx mg =θsin 压缩量
k mg x θ
sin =
（2分）
设整个过程回路产生的焦耳热为Q0，根据能量守恒定律 有
2
00
1sin 2P mv mgx E Q θ+=+ 22001(sin )2P mg Q mv E k θ=+- （2分） 电阻R 上产生的焦耳热2
2001(sin )[]
2P R R mg Q Q mv E R r R r k θ==+-++
针对性演练.如图13所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上（两导轨与水平面的夹角也为θ），导轨上端连接一个定值电阻。

导体棒a 和b 放在导轨上，与导轨垂直并良好接触。

斜面上水平虚线PQ 以下区域，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场。

现对a 棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b 棒恰好静止。

图13
当a 棒运动到磁场的上边界PQ 处时，撤去拉力，a 棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b 棒已滑离导轨。

当a 棒再次滑回到磁场上边界PQ 处时，又恰能沿导轨匀速向下运动。

已知a 棒、b 棒和定值电阻的阻值均为R ，b 棒的质量为m ，重力加速度为g ，导轨电阻不计。

求：
⑴a 棒的质量m a ；
⑵a 棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力F 。

解 ⑴a 棒在PQ 上方运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，故可知a 棒在磁场中沿导轨向上匀速运动和向下匀速运动的速度大小相等，进一步结合法拉第电磁感应定律可知，在这两个过程中，a 棒因切割磁感线而产生的感应电动势的大小相等，设为E 。

（2分）
a 棒在磁场中沿导轨向上匀速运动时，
b 棒中的电流为：1322
b E
I R
=⨯ （1分）
此时，b 棒恰好静止，有：I b LB =mg sin θ （1分）
a 棒在磁场中沿导轨向下匀速运动时，设a 棒中的电流为I a ′，有：
´2a E
I R
=
（1分） I a ′LB =m a g sin θ （2分） 解得：m a =1.5m 。

（1分）
⑵a 棒在磁场中沿导轨向上运动时，设a 棒中的电流为I a ，有：I a =2I b （1分） 处于磁场中的a 棒在平行导轨斜向上的拉力F 作用下沿导轨匀速向上运动，有： F =I a LB +m a g sin θ （2分） 又：I b LB =mg sin θ （1分） 解得：F =3.5mg sin θ。

（1分）
如图所示，有一足够长的光滑平行金属导轨，电阻不计，间距L ＝0.5 m ，导轨沿与水平方向成θ＝30°倾斜放置，底部连接有一个阻值为R ＝3 Ω的电阻．现将一个长也为L ＝0.5 m 、质量为m ＝0.2 kg 、电阻r ＝2 Ω的均匀金属棒ab ，自轨道顶部静止释放后沿轨道自由滑下，下滑中均保持与轨道垂直并接触良好，经一段距离后进入一垂直轨道平面的匀强磁场中，如图所示．磁场上部有边界OP ，下部无边界，磁感应强度B ＝2 T ．金属棒进入磁场后又运动了一段距离便开始做匀速直线运动，在做匀速直线运动之前这段时间，金属棒上产生了Qr ＝2.4 J 的热量，且通过电阻R 上的电荷量为q ＝0.6 C ，取g ＝10 m/s2.求：
(1)金属棒匀速运动时的速度v0；
(2)金属棒进入磁场后速度v ＝6 m/s 时，其加速度a 的大小及方向； (3)磁场的上部边界OP 距导轨顶部的距离s.
解(1)此时金属棒沿斜面方向受力平衡：BIL ＝mgsin θ…………(1分) ( 对闭合电路有：I ＝，E ＝BLv0…………………………………………. (1分) (
联立解得：v0＝＝5 m/s……………..(1分)
(2)由牛顿第二定律得：mgsin θ－BIL ＝ma…………..(1分) 而由电路：I ＝………………………………………. (1分)
a ＝gsin θ－＝－1 m/s2……………..(1分)
因此，此时加速度大小为1 m/s2，方向沿斜面向上．……………..(1分)
(3)由于金属棒r 和电阻R 上的电流瞬时相同，根据焦耳定律产生的电热应与阻值成正比，因此可求出金属棒匀速运动前R 上产生的电热为：
QR ＝Qr ＝3.6 J……………..(1分) gkstk
因此，该过程中电路中的总电热为：Q ＝Qr ＋QR ＝6 J 又该过程中电路平均电流为：＝＝……………..(1分)
设匀速前金属棒在磁场中位移为x ，则此过程过R 的电荷量为：
q ＝·Δt ＝＝……………..(1分) gkstk
从释放到刚好达到匀速运动的过程中，由能量守恒得到： mgsin θ(s ＋x)＝mv ＋Q……………..(1分) gkstk 联立解得：s ＝－
＝5.5 m. ……………..(1分)
与电容器结合
电容有外力充电式
（1）电路特点：导体为发电边；电容器被充电。

（2）三个基本关系
导体棒受到的安培力为：
导体棒加速度可表示为：
回路中的电流可表示为： （3）四个重要结论：
B F BIl =B
F F a m -=
Q C E CBl v
I CBla t t t ∆∆∆====∆∆∆
F。